三角形中的角平分線

1、第一章 三角形的證明4 角平分線（2）學習目標1.能夠證明三角形的三條角平分線交于一點且這一點到三條邊的距離相等；2.角平分線的性質定理和判定定理的靈活運用. 1.角平分線的性質定理 定理：角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.這個結論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一. 如圖, OC是AOB的平分線,P是OC上任意一點, PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知) PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等)CB1A2PDEO 2.角平分線的判定定理 定理：在一個角的內部, 且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.如圖, PD=PE, PDOA, PEOB, 垂足分別是D, E

2、(已知), 點P在AOB的平分線上. (在一個角的內部,且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上).這個結論又是經(jīng)常用來證明點在直線上(或直線經(jīng)過某一點)的根據(jù)之一.CB1A2PDEO準備一個三角形紙片通過折疊找出每個角的平分線.觀察這三條角平分線, 你發(fā)現(xiàn)了什么?結論: 三角形三個角的平分線相交于一點.你想證明這個命題嗎?你能證明這個命題嗎?利用尺規(guī)作出三角形三個角的角平分線.觀察這三條角平分線, 你發(fā)現(xiàn)了什么?結論: 三角形三個角的角平分線相交于一點.你想證明這個命題嗎?你能證明這個命題嗎?思考分析 命題: 三角形三個角的平分線相交于一點.基本思路: 我們知道, 兩條直線相交只有一個交點

3、. 要想證明三條直線相交于一點, 只要能證明兩條直線的交點在第三條直線上即可.這時可以考慮前面剛剛學到的逆定理.如何證三條直線交于一點？ABCPMNDEF如圖,設ABC的角平分線BM,CN相交于點P,過點P分別作BC,AC,AB的垂線,垂足分別E,F,D.BM是ABC的角平分線,點P在BM上PD=PE (角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).同理, PE=PF.點P在BAC的平分線上 (在一個角的內部,且到角兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上)，并且PD=PE=PF.ABC的三條角平分線相交于一點P，并且P點到三條邊的距離相等.定理: 三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離

4、相等. 如圖, 在ABC中,BM,CN,AH分別是ABC的三條角平分且PDAB,PEBC,PFAC.BM,CN,AH相交于一點P,且PD=PE=PF.(三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等).ABCPMNDEF例3 如圖, 在ABC中,已知 AC=BC,C=90, AD是ABC的角平線, DEAB, 垂足為E.(1)如果CD=4cm, 求AC的長;(2)求證:AB=AC+CD.EDABC解:（1） AD是ABC的角平線, DEAB, DCAC, DE=CD=4cm AC=BC B=BAC(等邊對等角) C=90 B= 45 BDE= 90- 45= 45BE=DE 在等腰

5、直角三角形BDE中,EDABCEDABC解:（2）證明：由（1）的求解過程可知， RtACDRtAED(HL) AC=AE. BE=DE=CD, AB=AE+BE=AC+CD1. 如圖：直線L1、L2、L3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？ 滿足條件共4個 l3l21lCBA2. 已知: 如圖, C=90,B=30 ,AD是RtABC的角平分線. 求證: BD=2CD. ABCD證明: C=90， B= 30 RtABC中，AB=2BC, BAC= 60 AD是ABC的角平分線 BAD= DAC= 30, AD=BD RtACD中，

6、AD=2CD BD=2CD3. 已知: 如圖, ABC的外角CBD和BCE的角平分線相交于點F.求證: 點F在DAE的平分線上. ABCFDE證明: BF是CBD的角平分線 F到BC,AD的距離相等 CF是BCE的角平分線 F到BC,AE的距離相等 F到AD,AE的距離相等 從而點F在DAE的平分線上.證明：(1) P是AOB平分線上的一個點， PCOA, PDOB PC=PD 在 RtPOC和 RtPOD，OP=OP RtPOC RtPOD OC=OD4. 已知: 如圖, P是AOB平分線上的一個點,并且PCOA,PDOB,垂足分別是C, D.求證: (1)OC=OD; BAPDCO4. 已知: 如圖, P是AOB平分線上的一個點,并且PCOA,PDOB,垂足分別是C, D.求證: (2)OP是CD的垂直平分線. BAPDCO證明：(2) 由PC=PD得P在CD的垂直平分線上 由OC=OD得O在CD的垂直平分線上 OP是CD的垂直平分線. 定理: 三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等. 如圖, 在ABC中,BM,CN,AH分別是ABC的三條角平分線且PDAB,PEBC,PFACBM,CN,AH相交于一點P,且PD=PE=PF (三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等).比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的