2013-應用數理統(tǒng)計課件ch

1、 其中最重要的有兩種:大數定律中心極限定理第五章 大數定律及中心極限定理概率論與數理統(tǒng)計是研究隨機現象統(tǒng)計規(guī)律性的學科. 隨機現象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現出來.也就是說，要從隨機現象中去尋求必然的法則，應該研究大量的隨機現象.研究大量的隨機現象，常常采用極限形式， 由此導致對極限定 理進行研究.極限定理的內容很廣泛，與大數定理是研究中心極限定理是研究即大數定理可說明許多隨機現象具有穩(wěn)定性設是一隨機序列是一常數序列。 令定理一. 切比雪夫大數定律的特殊情況 設 X1, X2, 是相互獨立的隨機變量序列，切比雪夫(1821-1894)第一節(jié) 大數定律切比雪夫大數定律表明

2、，與 偏差很小的概率接近于1. 當 n 很大時，X1, , Xn 的算術平均值在概率意義下接近于它們公共的 均值定理一是算術平均的穩(wěn)定性定理算術平均它們具有相同的數學期望和方差，即 E(Xi)= ，D(Xi)=2，i=1,2, 則對任意的 0，有當n充分大時，定義： 設 Y1, Y2, Yn 是隨機變量序列，a 是一個常數。則稱序列Y1, Y2, Yn 以概率收斂于常數a 記為故上述定理一可以敘述如下 定理一： 設 X1, X2, 是相互獨立的隨機變量序列，它們具有相同的數學期望和方差，即 E(Xi)= ， D(Xi)= 2 ，i=1,2, 則序列以概率收斂于 .記為即：具有相同數學期望和方差

3、的獨立隨機變量序列的算術平均值依概率收斂于數學期望 若對任意的 0，有證明契比雪夫大數定律的主要數學工具是契比雪夫不等式： 設隨機變量Y的期望E(Y)和方差D(Y)都存在，則對于任給的定理二 （辛欽大數定律） 設X1, X2, 是獨立同分布的隨機變量序列，且E(Xi)= ，i=1, 2, 辛欽(1894-1959)顯然辛欽大數定律是契比雪夫大數定理的特殊情況。證明略辛欽大數定律在應用中很重要 辛欽大數定律為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑. 當 n 足夠大時，算術平均值幾乎就是一個常數,可以用算術平均值近似地代替數學期望.則對任給 0,定理三（貝努里大數定律）或(1654-1705

4、) 設 是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數，證明:設 是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的 次數，設則有獨立同分布，滿足辛欽大數定律條件，有： p 是一次試驗中事件A發(fā)生的概率，則對任給的 0，p 是一次試驗中事件A發(fā)生的概率且由辛欽大數定律，對任給出了頻率逐漸穩(wěn)定于概率 的理論證明和數學表達式；貝努里大數定律表明，頻率概率定理三結論：對于有1|lim=-ePnnPAn當重復試驗次數n充分大時，事件A發(fā)生的頻率 與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.貝努里大數定律提供了通過試驗來確定事件概率的方法.；貝努里大數定律為小概率原理（或實際統(tǒng)計推斷原理）提供了理論依據；小概率原理是：小概率事件在一次試驗中

5、，它是幾乎不能發(fā)生的。 在客觀實際中有許多隨機變量，它們是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合影響所形成的. 該結論得益于高斯對測量誤差分布的研究.他指出測量誤差服從正態(tài)分布高斯1777-1855第二節(jié) 中心極限定理例如：考慮炮彈的射擊誤差。設靶心為坐標原點，彈著點的坐標為( X, Y )， X, Y 分別表示彈著點與靶心的橫向和縱向誤差。我們來看造成誤差的原因是什么？ 每發(fā)炮彈外形上的細小差別引起空氣阻力不同，由此出現的誤差 每發(fā)炮彈內炸藥的數量和質量上的微小差異而引起的誤差 等等許多原因，每種原因引起一個微小的誤差，有的為正，有的為負，都是隨機的以下我們從數學上來研究這種隨機變量之和的分布 而

6、其中每一個別因素在總的影響中所起的作用都是微小的。 我們只討論幾種簡單情形，下面我們將要研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題當n無限增大時，這個和的極限分布是什么？在什么條件下極限分布是正態(tài)分布？ 在概率論中，習慣把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理 下面僅給出獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理，也稱列維林德伯格（Levy-Lindberg）中心極限定理和 對中心極限定理我們不證明，只要求同學會運用定理計算簡單的應用問題 棣莫佛拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)定理定理四 獨立同分布的（列維林德伯格Levy-Lindberg）中心極限定理設是獨立同分布的隨機變量序

7、列，存在，則 這說明，當n 充分大時有另外，利用該定理，當 n 較大時特別地且 設用一個5位小數 x* 近似表示一個實數時，其誤差可看作是區(qū)間（0.000005， 0.000005)上的均勻分布。設Xi表示第i個數近似時產生的誤差解：則：XiU(-0.000005,0.000005)且知所以：例題見參考書 P.151.例一。P.152.例三。滿足獨立同分布中心極限定理條件當n較大時，可以用正態(tài)分布獨立同分布隨機變量的算術平均值 有關事件的概率近似計算與n個相互定理四表明，例. 假如在市場調查中獨立獲得10000個由四舍五入獲得的用5位小數表示的近似數。 求這10000個近似數和的誤差的分布。定

8、理五 （棣莫佛拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)定理） 設隨機變量 服從參數n, p(0p1)的二項分布，顯然。該定理是定理四的特殊情況：二項分布可以分解成幾個相互獨立服從參數為nY即有且知可由定理四推知定理五 定理表明，當 n 較大，0p1時，即對任意的 a b則對任意x，有為P的(01)分布的褚之和，可以用正態(tài)分布 N(np,np(1-p)近似二項分布.常有下面的近似計算。例1.設有一大批種子，其中良種占1/6. 試估計在任選的6000粒種子中，良種所占比例與1/6比較上下不超過1%的概率.解：設 X 表示6000粒種子中的良種數,則X B(6000,1/6)近似所求概率為：比較

9、幾個近似計算的結果用二項分布(精確結果)用Poisson 分布用Chebyshev 不等式用中心極限定理例2. (供電問題)某車間有200臺車床,.問應供應多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產?解：對每臺車床的觀察作為一次試驗，每次試驗觀察該臺車床在某時刻是否工作,依題意：XB(200,0.6)設最多供應N臺車床工作，現在的問題是：求滿足P(XN)0.999的最小的N. 在生產期間由于需要檢修、調換刀具、變換位置及調換工件等常需停車. 設開工率為0.6,并設每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力1千瓦共進行200次試驗.用X表示在某時刻工作著的車床數工作的概率為0.6，由德莫佛-拉普拉斯極限定理近似N(0,1),于是 P(XN)= P(0XN)由 0.999，從中解得N141.5,即所求N=142. 也就是說,應供應142 千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產車床用電一千瓦 np=120, np(1-p)=48 3.1,故查表中心極限定理的意義在實際問題中，若某隨機變量可以看作是有相互獨立的大量隨機變量綜合作用的結