a第三章參數(shù)曲面保長(zhǎng)及共形對(duì)應(yīng)

1、微分幾何 Differential GeometryChapter 3 參數(shù)曲面保長(zhǎng)對(duì)應(yīng)和保角對(duì)應(yīng)曲面到曲面的連續(xù)可微映射設(shè)有兩個(gè)曲面 . 因?yàn)榍嫔系狞c(diǎn) 與它的參數(shù)(曲紋坐標(biāo))是一一對(duì)應(yīng)的，所以從曲面 到曲面 的映射 可以通過(guò)它們的參數(shù)表示出來(lái). 即有映射 使得 ，或 .曲面到曲面的連續(xù)可微映射將映射 通過(guò)它們的參數(shù)用兩個(gè)函數(shù)表示出來(lái)，則有 如果這兩個(gè)函數(shù)都是連續(xù)可微的，則稱(chēng)映射 是連續(xù)可微的. 可微性與這兩個(gè)曲面的參數(shù)取法無(wú)關(guān). 設(shè)兩個(gè)曲面 的參數(shù)方程分別為 和 映射 是連續(xù)可微的，它的參數(shù)表示為 其中切映射對(duì)每一點(diǎn) ，可以通過(guò)下面的方法定義一個(gè)線(xiàn)性映射 上面定義的映射 稱(chēng)為由連續(xù)可微映射

2、 誘導(dǎo)的切映射.切映射也可以用另一種方法來(lái)定義： 將 上的曲線(xiàn) 映為 上的曲線(xiàn) 定義 為 在 處的切向量，即定理5.1 設(shè)映射 是3次以上連續(xù)可微的. 如果在 點(diǎn)切映射 是線(xiàn)性同構(gòu)，則分別有 點(diǎn)的鄰 域 和 點(diǎn)的鄰域 ， ，以及 上的參數(shù)系 和 ，使得映射 的參數(shù)表示為 其中 . 這種參數(shù)系稱(chēng)為映射 的適用參數(shù)系. 證明 設(shè) 的參數(shù)方程分別為 和 ， 的參數(shù)表示為 由條件， . 設(shè) 點(diǎn)的曲紋坐標(biāo)為 ， 點(diǎn)的曲紋坐標(biāo)為 . 由于 是連續(xù)的，存在 在 中的鄰域 ，使得在 上 ，且在 上 有連續(xù)可微的反函數(shù) ，其中 是 在 中的鄰域. 在 上對(duì)曲面 作參數(shù)變換 . 在 上對(duì)曲面 作參數(shù)變換 . 則在

3、新的參數(shù)下， 的參數(shù)表示為映射 設(shè) 是連續(xù)可微映射， 和 分別是 的曲紋坐標(biāo). 的參數(shù)表示為 .因?yàn)閷?duì)于曲面 上的任意一個(gè)二次微分式 (5.11)我們可定義曲面 上的一個(gè)二次微分式 (5.12) 其中其中 作為復(fù)合函數(shù)，是 的函數(shù)，即(5.15) 二次微分式 稱(chēng)為 上的二次微分式 經(jīng)過(guò)映射 拉回(pull back)到 上的二次微分式. 簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)， 就是將 代入(5.11)右端而得.例 曲面 上的第一基本形式 是一個(gè)二次微分式. 拉回到 上， 由于 ，上式可以簡(jiǎn)單地寫(xiě)成保長(zhǎng)對(duì)應(yīng)(等距對(duì)應(yīng))設(shè)映射 是3次以上連續(xù)可微的. 如果對(duì)每一點(diǎn) ，切映射 都保持切向量的長(zhǎng)度，即 稱(chēng) 是從 到 的保長(zhǎng)對(duì)應(yīng)，

4、或稱(chēng)等距對(duì)應(yīng)(isometric correspondence). 注1. 保持向量長(zhǎng)度的線(xiàn)性映射一定保持內(nèi)積，因此 若 是等距對(duì)應(yīng)，則有 反之，保持內(nèi)積的線(xiàn)性映射也一定保持向量的長(zhǎng)度. 而且，保長(zhǎng)對(duì)應(yīng)也保持連續(xù)可微曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)， 即有 . 注2. 保持內(nèi)積的線(xiàn)性映射必定是線(xiàn)性同構(gòu). 因此對(duì)于保長(zhǎng)對(duì)應(yīng) ，在每一點(diǎn) ，切映射 都是線(xiàn)性同構(gòu)，從而局部地 是微分同胚，存在適用參數(shù)系. 保長(zhǎng)對(duì)應(yīng)(等距對(duì)應(yīng))設(shè)映射 是3次以上連續(xù)可微的. 則 是等距對(duì)應(yīng)的充分必要條件是 即在對(duì)應(yīng)點(diǎn)，成立保長(zhǎng)對(duì)應(yīng)(等距對(duì)應(yīng))定理5.3 曲面 和 之間存在保長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的充分必要條件是，可以在 和 上選取適當(dāng)?shù)南嗤瑓?shù)系 ，使得在

5、這個(gè)參數(shù)系下 和 有相同的第一基本量. 即例5.1 證明：螺旋面 : ， 與單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面 ， 之間可以建立等距對(duì)應(yīng). 證明 計(jì)算得到 和 的第一基本形式分別為 對(duì) 作參數(shù)變換 ，則 對(duì) 作參數(shù)變換 . 則 等距對(duì)應(yīng) 的參數(shù)表示為 保角對(duì)應(yīng)(共形對(duì)應(yīng))設(shè)映射 是三次以上連續(xù)可微的一一對(duì)應(yīng). 如果 ， ， ， 其中 ， 則稱(chēng) 是從 到 的保角對(duì)應(yīng)，或稱(chēng)共形對(duì)應(yīng)(conformal correspondence).對(duì)于保角對(duì)應(yīng) ，在每一點(diǎn) ， 切映射 都是線(xiàn)性同構(gòu)，否則 無(wú)意義. 因此可以選取適用參數(shù)系 使得映射 就是具有相同參數(shù)的點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng).保角對(duì)應(yīng)(共形對(duì)應(yīng))引理 設(shè) 是兩個(gè)歐氏空間(即帶有

6、內(nèi)積 的實(shí)向量空間)， 是線(xiàn)性同構(gòu). 如果 保持向量之間的夾角： ，則 ，使得 (1) 反之，若 ，使得上式成立，則 保持向量之間的夾角. 證明 取 的單位正交基 . 因?yàn)?是同構(gòu)， 是 的基，且兩兩正交. 令 則 是 的單位正交基，且 (2) 對(duì)于 ，由條件，有 ，所以這說(shuō)明 . 于是對(duì) ，有 ，從而(1)成立. 反之，設(shè)(1)成立. 則(3) 從而對(duì)任意兩個(gè)非零向量 ，有 保角對(duì)應(yīng)(共形對(duì)應(yīng))推論 設(shè)映射 是三次以上連續(xù)可微的一一對(duì)應(yīng). 則 是保角對(duì)應(yīng)的充分必要條件是存在 上的正的連續(xù)函數(shù) ，使得在任一點(diǎn) ， ，其中 是 點(diǎn)的曲紋坐標(biāo). 當(dāng)函數(shù) 時(shí)， 其實(shí)就是保長(zhǎng)對(duì)應(yīng). 像前面一樣，上述條件等價(jià)于即有所以在適用參數(shù)系下，保角對(duì)應(yīng)的條件就簡(jiǎn)化為保角對(duì)應(yīng)(共形對(duì)應(yīng))定理5.4 設(shè)映射 是三次以上連續(xù)可微的一一對(duì)應(yīng). 則 是保角對(duì)應(yīng)的充分必要條件是存在 上的正的連續(xù)函數(shù) ，使得其中 ， 分別是 ， 的第一基本形式. 特別地兩個(gè)曲面能夠取適當(dāng)?shù)膮?shù)系 ，則有定理5.5 任意正則參數(shù)曲面 必局部共形于平面，即 上任意一點(diǎn) 都有一個(gè)鄰域 可以與平面上的一個(gè)區(qū)域建立共形對(duì)應(yīng). 由此