易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型

1、易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型查建飛鄭嫻雅金蘭貞(2006年獲全國(guó)二等獎(jiǎng))摘要：目前，易拉罐飲料在市場(chǎng)上的銷(xiāo)量很大，易拉罐的需求也是難以估計(jì)的。而資源 是有限的，因此易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)是非常有必要的。本文著重從形狀和尺寸的角度分析 碳酸飲料的鋁質(zhì)易拉罐，在容積確定的條件下以材料最省為目標(biāo)建立優(yōu)化模型。首先對(duì)雪碧、可口可樂(lè)、藍(lán)帶啤酒等易拉罐容器進(jìn)行測(cè)量，獲取實(shí)測(cè)值。針對(duì)易拉 罐現(xiàn)有形狀和尺寸等數(shù)據(jù)，進(jìn)行綜合分析，建立了逐漸改進(jìn)的三個(gè)數(shù)學(xué)模型。模型I:把易拉罐近似地看成一個(gè)正圓柱體，在易拉罐的容積一定時(shí)，以材料最省 為目標(biāo)，用求極值的方法求得易拉罐高度h與底面半徑r之間的關(guān)系為h =(a1 +a2

2、， 用實(shí)測(cè)值進(jìn)行驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)比較吻合，但還是有一定誤差存在，因此進(jìn)一步建立模型II進(jìn)行 分析。模型II:進(jìn)一步考慮易拉罐的形狀，即罐體上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一 個(gè)正圓柱體時(shí)，利用線(xiàn)性規(guī)劃方法求得此時(shí)易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)。通過(guò)對(duì)模型I中的圓柱 型易拉罐的對(duì)比，所得模型與實(shí)測(cè)值更加吻合。模型III：以材料最省為主要目的，兼顧易拉罐的舒適度進(jìn)行設(shè)計(jì)，建立模型，并給 出具體的設(shè)計(jì)方案。最后結(jié)合本模型的建立過(guò)程寫(xiě)對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)與數(shù)學(xué)建模過(guò)程的難點(diǎn)。關(guān)鍵詞：最優(yōu)設(shè)計(jì)形狀與尺寸合適度一、問(wèn)題重述生活中我們發(fā)現(xiàn)飲料量為355毫升的可口可樂(lè)、青島啤酒等銷(xiāo)量很大的飲料易拉罐 的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。這應(yīng)該

3、是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，對(duì)于單個(gè)的易 拉罐來(lái)說(shuō)，這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢(qián)可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾 十億個(gè)易拉罐的話(huà)，可以節(jié)約的錢(qián)就很可觀(guān)了。請(qǐng)通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)分析上述情況并回答如下問(wèn)題：取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐，測(cè)量你們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，并把 數(shù)據(jù)列表加以說(shuō)明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測(cè)量得到的，請(qǐng)注明出處。設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理說(shuō)明你們 所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸。設(shè)易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè) 正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說(shuō)明你們所測(cè)量的易拉罐的形 狀和尺

4、寸。圖一（4）利用你們對(duì)所測(cè)量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和 尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。（5）用你們做本題以及以前學(xué)習(xí)和實(shí)踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗(yàn)，寫(xiě)一篇短文，闡述什么 是數(shù)學(xué)建模、它的關(guān)鍵步驟，以及難點(diǎn)。二、問(wèn)題分析要使易拉罐達(dá)到最優(yōu)設(shè)計(jì)，必須滿(mǎn)足以下條件：（1）保證容量是足夠的。（2）材料要最節(jié)省，使生產(chǎn)者在保證質(zhì)量的情況下，成本能降到最低。（3）能夠保證易拉罐對(duì)容器內(nèi)液體和氣體的壓力。（4）易拉罐是大批量生產(chǎn)、運(yùn)輸?shù)?，要避免運(yùn)輸過(guò)程中瓶罐之間因碰撞造成的損失， 必須穩(wěn)定放置兩個(gè)易拉罐，才能保證安全運(yùn)輸。三、模型假設(shè)（1）研究的對(duì)象是容量為355ml的碳酸飲料的易拉罐，如可口可樂(lè)

5、、雪碧、藍(lán)代啤酒。（2）測(cè)量的是無(wú)變形、無(wú)損壞的易拉罐。（3）測(cè)量的是鋁制易拉罐。四、符號(hào)定義n易拉罐側(cè)壁的厚度。人：易拉罐上底厚度。1b :易拉罐下底厚度。2Z :所用材料的體積。a 1 :下底厚與側(cè)壁厚的比值。a 2 :上底厚與側(cè)壁厚的比值。d :上底內(nèi)直徑。d2:下底內(nèi)直徑。V :易拉罐的容量，為一固定值。，:易拉罐柱體部分的內(nèi)半徑。S :易拉罐的總面積。h :易拉罐的內(nèi)高度。H :易拉罐的總體高度。七：上底內(nèi)高。a2 :下底內(nèi)高。h 3 :上底內(nèi)高。七：下底拱高。5 :舒適度。圖一五、模型建立與求解問(wèn)題一1.1測(cè)量方法測(cè)厚度：把易拉罐切開(kāi)壓平，n層的易拉罐壁進(jìn)行疊加，直至總厚度可達(dá)m

6、mm,則單個(gè)易拉罐 壁厚則為m/n mm，同樣方法對(duì)不同品種的易拉罐進(jìn)行測(cè)量，取平均值.測(cè)外徑：用一條無(wú)彈力的繩子水平繞標(biāo)準(zhǔn)易拉罐的柱體部分一圈，再利用直尺測(cè)出繩子的長(zhǎng) 度。為減少誤差，用以上相同方法進(jìn)行多次測(cè)量，取得平均值。由c = 2兀Y，得出r。 其余的數(shù)據(jù)全由千分尺測(cè)得。近似取值為小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)。對(duì)易拉罐所測(cè)得的數(shù)據(jù)見(jiàn)下表一:表一：自己測(cè)量得到的易拉罐所需數(shù)據(jù)表（單位:mm）雪碧藍(lán)代可樂(lè)平均數(shù)罐總高度H122.50122.50122.80122.60上內(nèi)高a15.205.004.805.30下內(nèi)高a25.005.005.105.00上蓋厚b10.300.300.300.30下底厚b20

7、.280.270.300.27側(cè)壁厚b0.120.130.130.13罐身直徑2r60.3060.6060.5060.47上內(nèi)直徑2d157.4057.1057.2057.23下內(nèi)直徑d。250.4053.0050.2051.20上外高h(yuǎn)313.8013.6013.5013.63下底拱高h(yuǎn)49.909.8010.209.90問(wèn)題二（模型I）2.1模型假設(shè)：易拉罐的形狀為正圓柱體，如圖二圖二2.2模型分析：把易拉罐近似看成一個(gè)正圓柱，要求易拉罐內(nèi)的體積一定時(shí)，求能使易拉罐制作所 用的材料最省。2.3模型的建立與求解：易拉罐側(cè)面所用材料的體積：Rh（r + b）2 -nhr2 = 2nrbh +

8、nhb2 ,br 兀hb 2可以忽略所以側(cè)面材料的體積可以近似看作2兀rbh易拉罐上底面所用材料的體積：氣兀r2 b易拉罐下底面所用材料的體積：a兀r2b2Z(r,h)=nbW +a )r2 + 2rh 】代入得:2V+兀 r(a +以)r 2 爵-V r2=2bg +a )tr3 -V )r 212,dz令dr=0，解得臨界點(diǎn)為r=：(-,代入得：+ a M2!(a+a節(jié)J123 V氣+aV)= (x +aV +a 人 1又因?yàn)轶胐r 2S = 4b 2a +a)+ L r 0r 3所以柴 0所以當(dāng)h = (x1 +% )r時(shí),Z取得最優(yōu)值. 一. . .一 h根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)氣牝2;a2牝2，

9、則氣+a2 = 4，代入公式得-=4圓柱型的易拉罐的尺寸雖然與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)相對(duì)比較吻合，但還是有一定的誤差。通過(guò) 觀(guān)察發(fā)現(xiàn)實(shí)際中易拉罐的上部分有類(lèi)似圓臺(tái)的地方，這是為了減少材料還是其他目的 呢？因此建立模型。問(wèn)題三(模型II)3.1補(bǔ)充假設(shè)(如圖三)I為圓臺(tái)部分的母線(xiàn)長(zhǎng)。七表示圓臺(tái)部分的高度。h表示圓柱上線(xiàn)高度。251表示圓臺(tái)上底的面積。s表示圓柱上底面積。2七表示圓臺(tái)的體積。為表示圓柱上線(xiàn)的體積。355- v =355-v 即 v = v。1212圖三3.2模型分析:此問(wèn)題考慮的是把易拉罐的上部分改成圓臺(tái)使得它跟原先的體積一樣，求出h1,h2 使得易拉罐的用材最省。3.3模型的建立與求解：圓臺(tái)的

10、表面積為：臺(tái)表二屈+兀r )d + h2 + nd 2a b圓柱高h(yuǎn) 2的表面積為：s圓柱=2nrhb + nr2a 1 b圓臺(tái)表 圓柱其中由模型一可知:化簡(jiǎn)得：n(d + rN(r 一 d * + h 2 +a d 2max = na = 2, d = 0. 1 3mm, H = 1 22.6mm)r 27 2rh b)”一2rh2 b(d + r)氣 一 d * + h 2 +a d 2-h (d2 + r2 + d r)+nr2 (H - h )= 3550003 1 112s.t. di+1/2=尸rh10 d rR= 30.36716mm h1=0mm利用LINGO軟件求得 d1=

11、30.36716皿h2 = 0mm材料為 752.8548mm3 (見(jiàn)附錄一)從模型所求結(jié)果可以看出，圓臺(tái)的上底半徑只有6.11毫米，這樣一來(lái)易拉罐罐口 只有117.283平方毫米，這與我們所測(cè)易拉罐的實(shí)際尺寸相差比較大。因此我們對(duì)所假 設(shè)的模型做如下改進(jìn)：在實(shí)際中圓臺(tái)上底半徑與易拉罐中間半徑相差很小約5；圓臺(tái)的 高度也是很小約為5。因此模型修正為：max Z = n d + r )G-d * + d2 +a (d 2 r2) 2rh bd 環(huán)3+1/2 =-r ph 4改 d 2 + r2 + d rZ 兀r2 (122.6 - h )= 355000彳 3 ii2hi = 5h1=5.00

12、0000mm 材di = 5d1=5.000000mm r=30.55185mm h2=3.462191mm料為-450.1384(mmL3(見(jiàn)附錄二)由于實(shí)際中易拉罐的圓臺(tái)與罐底，方便運(yùn)輸，而問(wèn)題三中討論的易拉罐上部是圓 臺(tái)用料與圓柱的廢料問(wèn)題，因此，浪費(fèi)點(diǎn)原料來(lái)提高人對(duì)易拉罐的舒適度。本文在對(duì)問(wèn) 題四的回答中進(jìn)一步的闡述這個(gè)改進(jìn)。問(wèn)題四（模型三）改進(jìn)后易拉罐模型的母線(xiàn)為:l = h / cos 0改進(jìn)后易拉罐模型的上底半徑：d= r + h tan 0因此，可求得改進(jìn)后易拉罐模型的表面積：S 臺(tái)側(cè)2cos 0上下底面積之和為:規(guī)定改進(jìn)后易拉罐模V = 1N3S = Kr 2 +K(r +

13、h tan 0底ii言的容積不變，還是V:r 2 +k r + h tan 0 * +Kr(r + h tan 0 )】h)2 M b1，則圓柱形的表面積:S側(cè)=2兀rhb圓柱上下底的面積:S 廣=Kr2a b + Kr2a b因此，可得原型易拉罐的面積為:s i = 2兀 rhb + Kr2a b + Kr2a b+450改進(jìn)后易拉罐模型與原型易拉罐的面積的差值:h bS = 1/2(4兀r + 2兀h tan9) + 兀(r + h tan9)2以 b - 2兀rh b 兀r2以 b - 4501cos91121舒適程度的函數(shù)曲線(xiàn):8= f（9）它的圖象為可以根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查的散點(diǎn)圖形式來(lái)擬合

14、曲線(xiàn)，如下圖:綜上所述，浪費(fèi)材料與舒適程度的關(guān)系式為：p = ksp1 ；（k:舒適程度的增加錢(qián) 的增值；p 1 :表示每個(gè)單位的價(jià)格）問(wèn)題五：淺談數(shù)學(xué)建模在未接觸建模時(shí)，就已經(jīng)聽(tīng)說(shuō)過(guò)它了，但不太了解，直到真正接觸，才發(fā)現(xiàn)原來(lái)數(shù) 學(xué)建模就在我們的身邊。早在中學(xué)，甚至是小學(xué)時(shí)就已經(jīng)用建立數(shù)學(xué)模型的方法來(lái)解決 過(guò)一些簡(jiǎn)單或理想化的實(shí)際問(wèn)題。例如航行問(wèn)題、速度問(wèn)題等。數(shù)學(xué)建模不只是對(duì)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，它還包括了對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行的解 釋、求解、驗(yàn)證并解決的全過(guò)程。數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用如同MATLAB、LINGO等數(shù)學(xué)工具來(lái)得 到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用各種數(shù)學(xué)方程、表格、圖形等表現(xiàn)模型的思想。它是為解決現(xiàn)實(shí)

15、中 存在的特定的對(duì)象，特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)有規(guī)律進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，而設(shè)計(jì)的 模型。另外，對(duì)于同一個(gè)客觀(guān)事物可以有多種數(shù)學(xué)描述，因此有必要在若干模型中選擇一 個(gè)最簡(jiǎn)單，最恰當(dāng)，最易于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的模型。對(duì)于模型，可以選擇一個(gè)最簡(jiǎn)單，最恰當(dāng)，最易于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的模型。如下圖：實(shí)際問(wèn)題模型暇設(shè)k 模型建立一k模犁求解 應(yīng)用V國(guó)與評(píng)價(jià)模型痂在易拉罐模型中，我們?cè)趯忣}時(shí)，結(jié)合實(shí)際中普遍飲用的易拉罐，大概了解易拉罐 的構(gòu)造，形狀，并在某些生產(chǎn)產(chǎn)品的公司網(wǎng)站上查閱了一些有關(guān)易拉罐具體尺寸、材料 組成等，以及它的制作工藝、過(guò)程?？紤]到罐內(nèi)物質(zhì)對(duì)瓶罐的壓力，再查閱了有關(guān)于應(yīng) 力等方面的知識(shí)。我們也通過(guò)各種

16、方法，測(cè)量了易拉罐的直徑、高度、厚度等。其次，建立數(shù)學(xué)模型。通過(guò)觀(guān)察可以發(fā)現(xiàn)，飲料罐總體上可分為部分：圓臺(tái)、圓柱。 當(dāng)然，這不是偶然，必定是某種意義上的最優(yōu)設(shè)計(jì)。對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)募僭O(shè)與簡(jiǎn)化，這是建立模型的關(guān)鍵一步，必須對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行統(tǒng) 一，即認(rèn)定都為飲料量為355毫升的易拉罐。為減少誤差，對(duì)于測(cè)得的數(shù)據(jù)用多次測(cè)量 取平均值。根據(jù)題目要求，明確易拉罐要達(dá)到最優(yōu)，必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一、材料最省。二、 能夠保證易拉罐的舒服度。在認(rèn)為易拉罐是一個(gè)長(zhǎng)方體繞軸心旋轉(zhuǎn)360度的模型時(shí)，求極值問(wèn)題則可利用求導(dǎo) 方法取臨界值。當(dāng)易拉罐是由圓臺(tái)和圓柱構(gòu)成時(shí)，可與第一個(gè)模型進(jìn)行比較，從節(jié)省材料的角度來(lái) 考慮，得出最

17、優(yōu)模型。在模型中，考慮了舒適度，建立此函數(shù)關(guān)系時(shí)，需要通過(guò)顧客心理來(lái)描述圖形，但 是由于沒(méi)有充裕的時(shí)間，整個(gè)模型過(guò)于簡(jiǎn)略，不夠精確。六、模型改進(jìn)就問(wèn)題四而言，本文只是針對(duì)易拉罐的形狀和尺寸進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)，并沒(méi)有對(duì)易拉 罐所用材料進(jìn)行改進(jìn)。但是鋁質(zhì)易拉罐的原材料需大量進(jìn)口，且價(jià)格昂貴，加上污染 環(huán)境等因素，國(guó)家已不再批準(zhǔn)新建鋁質(zhì)易拉罐生產(chǎn)線(xiàn)。因此能否找到一種新型材料用 來(lái)代替鋁質(zhì)易拉罐已成為我國(guó)關(guān)心的問(wèn)題。對(duì)此，可以在易拉罐取材上進(jìn)行分析，將 會(huì)得到一定的效果的。七、模型評(píng)價(jià)7.1模型優(yōu)點(diǎn)（1）模型I運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求極值的數(shù)學(xué)方法，計(jì)算方便，簡(jiǎn)單易懂。（2）通過(guò)利用數(shù)學(xué)工具和Lingo編程的方法，嚴(yán)格地

18、對(duì)模型求解，具有科學(xué)性。（3）建立的模型能與實(shí)際緊密聯(lián)系，結(jié)合實(shí)際情況對(duì)所提出的問(wèn)題進(jìn)行求解，使模型 更貼近實(shí)際，通用性、推廣性較強(qiáng)。7.2模型的缺陷（1）由于未能查得易拉罐的具體尺寸，只能運(yùn)用測(cè)量工具對(duì)易拉罐進(jìn)行測(cè)量，因此所 測(cè)得的測(cè)量值與實(shí)際值之間有一定的誤差，（2）模型只考慮了半徑與高之比，沒(méi)有考慮其他，可能有點(diǎn)不全面。八、參考文獻(xiàn)唐煥文賀明峰，數(shù)學(xué)模型引論（第三版），高等教育出版社，2005.3楊啟帆方道元，數(shù)學(xué)建模，浙江大學(xué)出版社，1993.3葉其孝，最優(yōu)化-導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（極值問(wèn)題）教學(xué)單元， HYPERLINK :8060 :8060上海聯(lián)合制罐有限公司， HYPERLINK /in

19、dex.htm /index.htm附件一model:max=3.14*(d1+r)*(r-d1)八2+d1八2)八(1/2)*0.13+0.26*(d1八2-r八2)-0.26火r*h2);d1/r+1/2=(3火h2/h1-3/4)八1/2;1/3*3.14*(d1八2+r八2+d1*r)*h1+3.14*(122.6-h2)*r八2=355000;h2=122.6;d1=r;endLocal optimal solution found atiteration:406Objective value:752.8548VariableValueReduced CostD130.367160.000000R30.367160.0000