量子力學(xué)課件第5講

1、 第 五 講 . 態(tài)疊加原理 A.態(tài)疊加原理： 如果 是體系的一個(gè)可能態(tài)， 也是體系的一個(gè)可能態(tài)，則 是體系的可能態(tài)，并稱 為 和 態(tài)的線性疊加態(tài)。 B討論（經(jīng)典波函數(shù)與量子波函數(shù)比較） ， 系數(shù) 不僅僅是展開系數(shù)。而是對(duì)體系測(cè)量 獲得 值的幾率振幅。 而描述自由粒子狀態(tài)的最普遍的形式為 一個(gè)動(dòng)量為 的自由粒子是以一個(gè)平面波 這表明，這一自由粒子有一定幾率處于 態(tài)上，其幾率為 態(tài)疊加原理的直接后果是要求波函數(shù)滿足的方程，必須是線性齊次方程。 作為例子，介紹了一個(gè)描述波包的波函數(shù) ， . 含時(shí)間的薛定諤方程（Austrian） 2526年間，將能量不連續(xù)和波動(dòng)性聯(lián)系起來，并將求粒子能量可能值的問

2、題歸結(jié)為一定邊條件下的本征方程求解問題，隨后給出了含時(shí)間的薛定諤方程。這方程給出了描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)是怎樣演化的。 A. Schroedingers equation的建立 有確定動(dòng)量的自由粒子：根據(jù)de Broglie關(guān)系和Einstein關(guān)系 它應(yīng)相應(yīng)于一個(gè)de Broglies波這波函數(shù)滿足 在這方程中無特殊參量 。它不僅對(duì)有確定動(dòng)量的自由粒子的波函數(shù)成立，對(duì)最普遍的自由粒子的波函數(shù)也成立。 而 這一微分方程決定了描述自由粒子狀態(tài)隨時(shí)間的演化。 將上述情況推廣，對(duì)于質(zhì)量為 的粒子，在位勢(shì) 中運(yùn)動(dòng)時(shí)，則因此，描述這一粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)應(yīng)滿足 最為普遍的方程是：體系的Hamiltonia

3、n 則稱為含時(shí)間的 Schroedingers equation。 但應(yīng)注意，同一力學(xué)量的經(jīng)典表示，可得不同的量子力學(xué)表示 因此，經(jīng)典的力學(xué)量，變?yōu)榱孔恿W(xué)的力學(xué)量表示（即量子化），即算符時(shí)，應(yīng)注意 和 對(duì)經(jīng)典是一樣的， 但對(duì)量子力學(xué)而言是不同的 。 所以規(guī)定： 在直角坐標(biāo)中表示分量，再代入算符表示； 對(duì)于與 為線性函數(shù)形式的物理量， ，則取 （ 為實(shí)函數(shù) ）； 如果是矢量，則在 直角坐標(biāo)下的分量表示，然后再作替換 ，再換為其它坐標(biāo)。 如 但如從 不對(duì)。 B. 對(duì)Schroedinger equation的討論 1. 量子力學(xué)的初值問題： 當(dāng)體系在 時(shí)刻的狀態(tài)為 時(shí)，以后任何時(shí)刻的波函數(shù)就完全

4、由 S.eq.所決定（因?qū)?是一次偏微商）。這就是量子力學(xué)的因果律， 即決定狀態(tài)的演化。 如 ，即與時(shí)間無關(guān)，那 時(shí)刻的解可表為（如 時(shí)為 ） 如何從 時(shí)刻的波函數(shù)來確定 時(shí)刻的波函數(shù)的問題，是量子力學(xué)要解決的重要問題之一。 討論： a. 群速度和相速度 我們得到包絡(luò)極大處的速度 ，即群速度 而相速度 b. 波包的擴(kuò)展 如果我們以這個(gè)高斯波包來描述（或模擬） 一個(gè)物體, 則 所以，在 時(shí)，它位于 ，寬度為 而 時(shí)，它位于 ，寬度為 也可以計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差，得到發(fā)現(xiàn)粒子的主要區(qū)域在 -其中 所以，隨時(shí)間演化，這一高斯波包越來越寬。 設(shè)： 于是當(dāng) ，波包已擴(kuò)散很大，因此與經(jīng)典粒子無任何相似之處。 但

5、所以，這樣一個(gè)顯示經(jīng)典粒子的波包，其動(dòng)量的分布沒有擴(kuò)展，而空間的分布則擴(kuò)展。使得你在 時(shí)，就認(rèn)不得經(jīng)典粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡了。這一討論和結(jié)論，對(duì)任何其它形狀的波包都相同。 下圖即為高斯波包的傳播 c.波包擴(kuò)展的時(shí)間量級(jí) 求波函數(shù)隨時(shí)間的演化，也可這樣來做。 時(shí)刻的波函數(shù)，可由 時(shí)刻的波函數(shù)完全確定。由于S. eq. 是線性的，因而解能夠被疊加。因此，不同時(shí)刻的波函數(shù)關(guān)系也必須是線性的。這就意味著， 必須滿足線性齊次的微分方程。即可表為 稱為Green函數(shù)，或稱傳播子。知道了Green函數(shù)，就知道態(tài)隨時(shí)間的演化。 如 時(shí)刻，粒子處于 ，即由上式得這就是格林函數(shù)的含義： 時(shí)刻，粒子處于 ，則 時(shí)刻， 處

6、發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度振幅就是 。 由薛定諤方程我們可直接給出 B粒子數(shù)守恒 在非相對(duì)論的情況下，實(shí)物粒子既不產(chǎn)生也不湮滅，所以在整個(gè)空間發(fā)現(xiàn)粒子的幾率應(yīng)不隨時(shí)間變，即 這即要求，凡滿足Schrodinger eq.的波函數(shù)，必須滿足上式。 由 乘由 乘 從而得 若V為實(shí)函數(shù)（保證體系是穩(wěn)定的，能量為實(shí)）對(duì)整個(gè)空間積分，得 對(duì)于真實(shí)粒子，運(yùn)動(dòng)于有限范圍內(nèi)，波函數(shù)應(yīng)平方可積（平方可積條件要求 ， 應(yīng)快于 ），于是 從而證得 若取則 稱為幾率流密度矢 上述表示，即為幾率守恒的微分形式。形式上與流體力學(xué)的連續(xù)方程一樣，但是有很大的實(shí)質(zhì)差別。 如對(duì)空間某一體積積分，則有 這表明，單位時(shí)間內(nèi)，體積中，發(fā)現(xiàn)粒

7、子的總幾率增加是等于從該體積表面（S面）流入該區(qū)域的幾率。 一維情況 應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，任何時(shí)刻都不要忘記波函數(shù)的幾 率解釋。 為發(fā)現(xiàn)粒子在該處的幾率密度，而決不是粒子分布于空間；也決不是粒 子以 分布于空間；也決不能說， 是密度為 的粒子以速度 在空間的流密度。而僅表明，粒子在單位時(shí)間通過面上的單位面積的幾率（不是粒子實(shí)體，否則又回到經(jīng)典圖象上去了）。 還應(yīng)指出，幾率流密度矢是處處連續(xù)的。 C. 多粒子體系的薛定諤方程 設(shè)：體系有 個(gè)粒子，質(zhì)量分別為 ，所處的位勢(shì)為 ，相互作用為 ，則 這時(shí)S. eg.為 這也看出與經(jīng)典不一樣。不一定都是三維空間的函數(shù)，而是多維的，即 在多維位形空間中的。2.5 不

8、含時(shí)間的薛定諤方程，定態(tài)問題 由初態(tài) 求 一般是很困難的，我們將介紹一些極為有用的特例，即位勢(shì)與時(shí)間無關(guān)， 。 （1） 不含時(shí)間的薛定諤方程 由于H與t無關(guān)，可簡單地用分離變數(shù)法求特解。 令 于是 =常數(shù) 于是有 。 我們有 所以，當(dāng)H與t無關(guān)時(shí)，含時(shí)間的薛定諤方程的特解為： 其中 。 方程被稱為不含時(shí)間的薛定諤方程，或稱為能量本征方程。 A. 在上述方程中，E實(shí)際上是體系的能量。因?yàn)樵诮?jīng)典力學(xué)中，粒子在一個(gè)與t無關(guān)的位 勢(shì)中運(yùn)動(dòng)，體系機(jī)械能守恒，即具有一定的能量。而在量子力學(xué)中，對(duì)應(yīng)波函數(shù)隨時(shí)間變化為 ， 所以相應(yīng)的實(shí)際上是體系的能量。 從平面波看，它隨時(shí)間變化就是 。 B. 一般而言，上述

9、方程對(duì)任何E值都有非零解。但由于對(duì)波函數(shù)有幾率解釋，波函數(shù)有一定要求（自然條件），以及一些特殊的邊界要求（ 無窮大位勢(shì)邊界處 等）。這樣能滿足方程的解就只有某些E值。由這而自然地獲得能量的分立值（而測(cè)量值只能是這方程有非零解所對(duì)應(yīng)的值）。 C. 根據(jù)態(tài)疊加原理是含時(shí)間的薛定諤方程的一個(gè)特解，也就是，是該體系的一個(gè)可能態(tài)。所以普遍的可能態(tài)一定可表為通常稱 （其中 ）為定態(tài)波函數(shù)。 對(duì)體系可按各種定態(tài)波函數(shù)展開來表示。但只有按自身的定態(tài)波函數(shù)展開時(shí)，系數(shù) C 才與t無關(guān)。否則與t有關(guān)。 （2） 定態(tài)： A. 定態(tài)定義：具有確定能量的態(tài)，稱為體系的定態(tài)，或者說，以波函數(shù) （其中 ）描述的態(tài)稱為定態(tài)。

10、 我們已知，當(dāng) 與 t 無關(guān)時(shí)（即 ），態(tài)隨時(shí)間演化的規(guī)律為 若tt0時(shí)處于定態(tài)，即 t0 時(shí)波函數(shù)為 則 B. 定態(tài)的性質(zhì)：若體系Hamiltonian與t無關(guān)， 1體系在初始時(shí)刻（t0）處于一定能量 本征態(tài) ，則在以后任何時(shí)刻，體系都處于這一本征態(tài)上，即 。它隨時(shí)間變化僅表現(xiàn)在因子 上 。 2體系的幾率密度不隨時(shí)間變化，幾率流密度矢的散度為0（即無幾率源）。所以 這表明，在任何地方都無幾率源，空間的幾率密度分布不變。 3幾率流密度矢，不隨時(shí)間變化。 4任何不含 t 的力學(xué)量在該態(tài)的平均值不隨時(shí)間變化。 5任何不顯含 t 的力學(xué)量在該態(tài)中取值的幾率不隨時(shí)間變化。 根據(jù)態(tài)疊加原理，若對(duì)體系測(cè)量力學(xué)量的值，如可取 a1, a2， ，那么體