材料力學(xué)第3講-繪制梁內(nèi)力圖的基本方法

1、2020年3月材料力學(xué)第3講繪制梁內(nèi)力圖的基本方法土木工程學(xué)院 馬守才授課提綱復(fù)習(xí)與提問(wèn)：上一次課中我們學(xué)習(xí)了哪些這門(mén)課程的哪些內(nèi)容？其中比較重要的內(nèi)容是什么？新課導(dǎo)入：如何對(duì)梁進(jìn)行內(nèi)力分析？講授新課2. 桿件的內(nèi)力分析（本單元共有6節(jié)，分5次學(xué)習(xí)）2.1 軸力方程與軸力圖 （已學(xué)習(xí)）2.2 扭矩方程與扭矩圖 （已學(xué)習(xí)）2.3 繪制梁內(nèi)力圖的基本方法 ？歸納小結(jié)：我們今天這堂課學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？其中哪些是相對(duì)重要的？作業(yè)及思考題布置復(fù)習(xí)與提問(wèn)請(qǐng)同學(xué)們踴躍回答下面的問(wèn)題：（1）求解桿件內(nèi)力的截面法要點(diǎn)是什么？（2）簡(jiǎn)述求解軸力和扭矩的簡(jiǎn)便方法。（3）簡(jiǎn)述桿件的內(nèi)力方程與軸力方程的內(nèi)涵、聯(lián)系與區(qū)別。

2、（4）簡(jiǎn)述桿件的內(nèi)力圖、軸力圖的內(nèi)涵、聯(lián)系與區(qū)別。（5） 簡(jiǎn)述桿件內(nèi)力圖應(yīng)顯示的幾大要素。（6） 簡(jiǎn)述軸力和扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定。（7） 簡(jiǎn)述列寫(xiě)軸力方程和繪制扭矩圖的基本方法和簡(jiǎn)便方法。2. 桿件的內(nèi)力分析（本單元共有6節(jié)，分5次學(xué)習(xí)）2.1 軸力與軸力圖（已學(xué)習(xí)）2.2 扭矩與扭矩圖（已學(xué)習(xí)）2.3 繪制梁內(nèi)力圖的基本方法 ？（1）彎曲變形的概念與實(shí)例（2）梁橫截面上的內(nèi)力分量（3）求解梁的內(nèi)力時(shí)力學(xué)模型的建立（4）梁的剪力方程和彎矩方程的列寫(xiě)（5）繪制梁的剪力圖與彎矩圖的基本方法2.4 利用微分關(guān)系繪制梁的內(nèi)力圖（待學(xué)習(xí)）2.5 應(yīng)用疊加原理繪制梁的內(nèi)力圖（待學(xué)習(xí)）2.6 剛架和組合變形桿件

3、的內(nèi)力分析（待學(xué)習(xí)）2.3 繪制梁內(nèi)力圖的基本方法 （1）彎曲變形的概念與實(shí)例受力特點(diǎn)與變形特點(diǎn)；撓曲線(xiàn)；撓度與截面轉(zhuǎn)角。（2）梁橫截面上的內(nèi)力分量剪力和彎矩的概念與正負(fù)號(hào)規(guī)定。（3）求解梁的內(nèi)力時(shí)力學(xué)模型的建立用截面法求剪力和彎矩的關(guān)鍵；梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖的建立。（4）梁的剪力方程和彎矩方程的列寫(xiě)基本方法（截面法）與簡(jiǎn)便方法（直接列寫(xiě)法）。（5）繪制梁的剪力圖與彎矩圖的基本方法基本方法=列寫(xiě)內(nèi)力方程然后將其圖形化。1）工程實(shí)例(Example problem)2.3（1）彎曲變形的基本概念及工程實(shí)例(Basic concepts and example problems) 2）彎曲變形的基本概念(

4、Basic concepts)梁 (Beam)：以彎曲變形為主的桿件受力特征：外力（包括力偶）的作用線(xiàn)垂直于桿軸線(xiàn)【引起彎曲變形的外力偶的作用面與桿軸線(xiàn)共面】。變形特征：變形前為直線(xiàn)的軸線(xiàn)，變形后成為曲線(xiàn)（撓曲線(xiàn)）；梁軸線(xiàn)上的點(diǎn)有撓度；梁的橫截面有轉(zhuǎn)角。彎曲變形(Deflection)平面彎曲(Plane bending)；【對(duì)稱(chēng)彎曲與非對(duì)稱(chēng)彎曲 】 作用于梁上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi),彎曲變形后的軸線(xiàn)是一條在該縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)的平面曲線(xiàn)。AB對(duì)稱(chēng)軸縱向?qū)ΨQ(chēng)面梁的軸線(xiàn)F1F2FRAFRB梁變形后的軸線(xiàn)與外力在同一平面內(nèi)支座的類(lèi)型2.3（3）梁的力學(xué)模型的簡(jiǎn)化(Representing a rea

5、l structure by an idealized model)梁的簡(jiǎn)化 通常取梁的軸線(xiàn)來(lái)代替梁。荷載類(lèi)型集中力(concentrated force)集中力偶(concentrated moment)分布荷載(distributed load)【包括分布力與分布力偶】 可動(dòng)鉸支座(roller support) FRAAAAA固定鉸支座 (pin support)固定端(clamped support or fixed end)AAAFRAyAFRAxFRyFRxM靜定梁的基本形式 (Basic types of statically determinate beams) 懸臂梁(can

6、tilever beam) 外伸梁(overhanging beam) 簡(jiǎn)支梁(simply supported beam)【例題2-3-1】繪制梁計(jì)算簡(jiǎn)圖問(wèn)題的實(shí)例：起重機(jī)大梁為No.25a工字鋼,如圖所示,梁長(zhǎng)L=10m,單位長(zhǎng)度的重量為38.105kN/m,起吊重物的重量為100kN,試求起重機(jī)大梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖.q =38.105kN/mF =100kN此圖沒(méi)有標(biāo)出必要的尺寸梁的內(nèi)力計(jì)算的簡(jiǎn)單實(shí)例【例題2-3-2】 已知 如圖，F(xiàn)，a，l. 求距A端x處截面上內(nèi)力.解: 求支座反力2.3（2）（3）梁的剪力和彎矩(Shear- force and bending- moment in be

7、ams)BAalFFRAyFRAxFRBABFFRAyC求內(nèi)力截面法1）受彎構(gòu)件的內(nèi)力剪力彎矩彎矩(Bending moment) M 構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用面垂直于截面的內(nèi)力偶矩.MFRAyFRAxFRBABFmmxFSFSFFRBCM剪力(Shear force) FS 構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用線(xiàn)平行于截面的內(nèi)力.dxmmFSFS+剪力的正負(fù)號(hào)規(guī)定(Sign convention for shear force) 使dx 微段有左端向上而右端向下的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí),橫截面m-m上的剪力為正.或使dx微段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正.2）梁的內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定(Sign convention f

8、or internal force) 使dx微段有左端向下而右端向上的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí),橫截面m-m上的剪力為負(fù).或使dx微段有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為負(fù).dxmmFSFS- 當(dāng)dx 微段的彎曲下凸（即該段的下半部受拉 ）時(shí),橫截面m-m上的彎矩為正；彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定 (Sign convention for bending moment)mm+MM 當(dāng)dx 微段的彎曲上凸（即該段的下半部受壓）時(shí),橫截面m-m上的彎矩為負(fù).mm（受壓）MM-解：（1）求梁的支反力 FRA 和 FRB【例題2-3-3】圖示梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖.已知 F1、F2,且 F2 F1 ,尺寸a、b、c 和 l 亦均為已知.試求梁在E、

9、F 點(diǎn)處橫截面處的剪力和彎矩.FRBFRAbEFBdDAaclCF1F2 記 E 截面處的剪力為FSE 和彎矩 ME ，且假設(shè)FSE 和彎矩ME 的指向和轉(zhuǎn)向均為正值.FSEAEcFRAME解得 BdEDAabclCFF1F2FRAFRB取右段為研究對(duì)象AEcFSEFRAMEa-cb-cCDl-cBEFSEF1F2MEFRB解得+ 計(jì)算F點(diǎn)橫截面處的剪力FSF 和彎矩MF .FSFMFFdBFRB解得：-+BdEDAabclCFF1F2FRAFRB左側(cè) 梁段：向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起負(fù)值的剪力右側(cè) 梁段：向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起負(fù)值的剪力3）梁的內(nèi)力計(jì)算的簡(jiǎn)化 (S

10、imple method for calculating shear-force and bending-moment)剪力 (Shear force) 不論在截面的左側(cè)或右側(cè)向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負(fù)值的彎矩.彎矩(Bending moment)左側(cè)梁段 順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負(fù)值的彎矩右側(cè)梁段 逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩 順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負(fù)值的彎矩【例題2-3-4】軸的計(jì)例算簡(jiǎn)圖如圖所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN，a = 230mm，b = 100 mm 和c = 1000 mm. 求 C 、D 點(diǎn)處橫截

11、面上的剪力和彎矩.F2=FACDBbacF1=FFRAFRB 解：（1）求支座反力（2）計(jì)算C 橫截面上的剪力FSC和彎矩 MC 看左側(cè)F2=FACDBbacF1=FFRAFRB（3）計(jì)算D橫截面上的剪力FSD 和彎矩 MD 看左側(cè)解:【例題2-3-5】 求圖示梁中指定截面上的剪力和彎矩.（1）求支座反力FRA=4kNFRB=-4kNC12M（2）求1-1截面的內(nèi)力（3）求2-2截面的內(nèi)力FRAFRB10kNmC12B1m2.5mA2.3（4）（5）梁的內(nèi)力方程與內(nèi)力圖 (Shear- force & bending-moment equations; shear-force&bending-

12、moment diagrams)FS= FS(x)M= M(x)1）剪力方程和彎矩方程 (Shear- force & bending-moment equations) 用函數(shù)關(guān)系表示沿梁軸線(xiàn)各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律，分別稱(chēng)作剪力方程和彎矩方程.剪力方程(Shear- force equation)彎矩方程(Bending-moment equation)彎矩圖為正值畫(huà)在 x 軸下側(cè),負(fù)值畫(huà)在x 軸上側(cè)2）剪力圖和彎矩圖(Shear-force & bending-moment diagrams)剪力圖為正值畫(huà)在 x 軸上側(cè),負(fù)值畫(huà)在x 軸下側(cè) 以平行于梁軸的橫坐標(biāo)x表示橫截面的位置,

13、以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的剪力和彎矩.這種圖線(xiàn)分別稱(chēng)為剪力圖和彎矩圖xFS(x)FS 圖的坐標(biāo)系OM 圖的坐標(biāo)系xOM(x)【例題2-3-6】如圖所示的懸臂梁在自由端受集中荷載 F 作用, 試作此梁的剪力圖和彎矩圖.BAFlx解: 列出梁的內(nèi)力方程FFSxFlxM注意土木行業(yè)中，M圖中的M應(yīng)向下為正qlABx【例題2-3-7】圖示的簡(jiǎn)支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載作用.試作此梁的剪力圖和彎矩圖.解：（1） 求支反力FRAFRB（2）列剪力方程和彎矩方程.+剪力圖為一傾斜直線(xiàn)繪出剪力圖x = 0 處 ，x = l 處 ,ql/2ql/2BlqFRAAxFRB彎矩圖為一條二次拋物線(xiàn)lqFRAAB

14、xFRB令得駐點(diǎn)彎矩的極值繪出彎矩圖+l/2注意土木行業(yè)中，M圖中的M應(yīng)向下為正 由圖可見(jiàn)，此梁在跨中截面上的彎矩值為最大但此截面上 FS= 0 兩支座內(nèi)側(cè)橫截面上剪力絕對(duì)值為最大lqFRAABxFRB+ql/2ql/2+l/2注意土木行業(yè)中，M圖中的M應(yīng)向下為正解: （1）求梁的支反力【例題2-3-8】圖示的簡(jiǎn)支梁在C點(diǎn)處受集中荷載 F 作用.試作此梁的剪力圖和彎矩圖.CFlABabFRAFRB 因?yàn)锳C段和CB段的內(nèi)力方程不同，所以必須分段列剪力方程和彎矩方程.將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端 AC 段CB 段xxlFABCabFRAFRB 由（1）,（3）兩式可知，AC、CB

15、兩段梁的剪力圖各是一條平行于 x 軸的直線(xiàn).xxlFABCabFRAFRB+ 由（2），（4）式可知，AC、CB 兩段梁的彎矩圖各是一條斜直線(xiàn). 在集中荷載作用處的左,右兩側(cè)截面上剪力值(圖)有突變,突變值等于集中荷載F. 彎矩圖形成尖角,該處彎矩值最大.xxlFABCabFRAFRB+解：求梁的支反力【例題2-3-9】圖示的簡(jiǎn)支梁在 C點(diǎn)處受矩為M的集中力偶作用.試作此梁的的剪力圖和彎矩圖.將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端. 因?yàn)榱荷蠜](méi)有橫向外力，所以全梁只有一個(gè)剪力方程 FRAFRBlABCabM 由(1)式畫(huà)出整個(gè)梁的剪力圖是一條平行于 x 軸的直線(xiàn).+AC 段 CB 段AC 段和 BC 段的彎矩

16、方程不同xxlABCabFRAFRBMAC,CB 兩梁段的彎矩圖各是一條傾斜直線(xiàn). x = a , x = 0 ,AC 段CB 段 x = a,X = l, M = 0+ 梁上集中力偶作用處左、右兩側(cè)橫截面上的彎矩值(圖)發(fā)生突變，其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值.此處剪力圖沒(méi)有變化.lABCabFRAFRBM+注意土木行業(yè)中，M圖中的M應(yīng)向下為正【例題2-3-10】 在圖中,在外伸梁上均布載荷的集度為q=3KN/m,集中力偶之矩Me=3KNm,試列出剪力方程和彎矩方程,并做剪力圖和彎矩圖.DCBAMexyq2m2m4mx解:求支座約束力FRA = 14.5kNFRB = 3.5 kNFRAFRB

17、 在梁的CA,AD,DB等三段內(nèi)，剪力和彎矩都不能由同一個(gè)方程來(lái)表示，所以應(yīng)分三段考慮。CA段 FS(x)= - qx (0 x 2m) M(x)= - 0.5qx2 (0 x 2m)AD段 FS(x) = FRA-qx =14.5-qx (2m x 6m) M(x) = FRA(x-2)-0.5qx2 =14.5(x-2)-0.5qx2 (2m x 6m)M(x)是x的二次函數(shù)，根據(jù)極值條件dM(x)/dx = 0,得 14.5 - qx = 0 由此解出x=4.83m，亦即在這一截面上，彎矩為極值。代入上式可得AD段內(nèi)的最大彎矩為 M = 6.04 kNm DCBAMexyq2m2m4mx

18、FRAFRB依照剪力方程和彎矩方程,分段作剪力圖和彎矩圖.從圖中看出,沿梁的全部長(zhǎng)度,最大剪力為:FSmax =8.5kN,最大彎矩為:Mmax= 7kNm. 在DB段內(nèi)，用截面右側(cè)的外力計(jì)算剪力和彎矩比較方便，結(jié)果為 FS(x) = -FRB=-3.5kN (6m x 8m)M(x) = FRB(8-x) =3.5(8-x) (6m x 8m) FS/kN8.53.564.83mxM/kNm66.0474xDCBAMexyq2m2m4mxFRAFRB注意土木行業(yè)中，M圖中的M應(yīng)向下為正 2.以集中力、集中力偶作用處、分布荷載開(kāi)始或結(jié)束處,及支座截面處為界點(diǎn)將梁分段.分段寫(xiě)出剪力方程和彎矩方程

19、,然后繪出剪力圖和彎矩圖. 1.取梁的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),x 軸向右為正:剪力圖向上為正;彎矩圖向下為正. 5.梁上的FSmax發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面處;梁上的Mmax發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面,或FS = 0 的截面處.小 結(jié) 3.梁上集中力作用處左、右兩側(cè)橫截面上,剪力（圖）有突變,突變值等于集中力的數(shù)值.在此處彎矩圖則形成一個(gè)尖角. 4.梁上集中力偶作用處左、右兩側(cè)橫截面上的彎矩（圖）有突變,其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值.但在此處剪力圖沒(méi)有變化.【例題2-3-11】 一簡(jiǎn)支梁受移動(dòng)荷載 F 的作用如圖所示.試求梁的最大彎矩為極大時(shí)荷載 F 的位置.ABFlx解 :先設(shè)F 在距左支座 A 為 x 的任意位置.求此情況下梁的最大彎矩為極大.荷載在任意位置時(shí)，支反力為當(dāng)荷載 F 在距左支座為 x 的任意位置 C 時(shí)，梁的彎矩為令此結(jié)果說(shuō)明，當(dāng)移動(dòng)荷載 F 在簡(jiǎn)支梁的跨中時(shí)，梁的最大彎矩為極大.得最大彎矩值代入式將歸納總結(jié)2.3 繪制梁內(nèi)力