人教A版高中數(shù)學(xué)必修一課件：1.2.1函數(shù)的概念

1、1.2.1 函數(shù)的概念數(shù)學(xué)天才萊布尼茲 函數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)名詞是萊布尼茲在1694年開始使用的，以描述曲線的一個(gè)相關(guān)量，如曲線的斜率或者曲線上的某一點(diǎn)。萊布尼茲所指的函數(shù)現(xiàn)在被稱作可導(dǎo)函數(shù)，數(shù)學(xué)家之外的普通人一般接觸到的函數(shù)即屬此類。對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)可以討論它的極限和導(dǎo)數(shù)。此兩者描述了函數(shù)輸出值的變化同輸入值變化的關(guān)系，是微積分學(xué)的基礎(chǔ)。 一、復(fù)習(xí)引入：初中（傳統(tǒng)）的函數(shù)的定義是什么？初中學(xué)過哪些函數(shù)？設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù). 這種用變量敘述的函數(shù)定義我們稱之為函數(shù)的傳統(tǒng)定義.初中已經(jīng)學(xué)過：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)

2、、一次函數(shù)、二次函數(shù)等。 對(duì)于數(shù)集A中的每個(gè)元素，按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在數(shù)集B中都能找到唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，記作 f：AB 問題一：給定集合A=1，2，3，4，5；集合B=3，6，9，12，1551324.1215 A B（1）如圖，集合A和集合B有什么對(duì)應(yīng)關(guān)系？（2）集合A中的每個(gè)元素在B中能找到幾個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)函數(shù)： 設(shè)集合A，B是非空數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，集合B中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么稱 f：AB 為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作 y = f(x) , xA.則 y=3x , xA即 f(x)=3x , xA51324.1215

3、A B 3（1）定義域 ：x叫做自變量。（2）值域：與x值相對(duì)應(yīng)的值y叫做函數(shù)值。 x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域； 函數(shù)值的集合f(x) xA叫做函數(shù)的值域。51324.1215 A B 3定義域?yàn)锳=1，2，3，4，5值域?yàn)锽=3，6，9，12，15 例如:(1)一次函數(shù)y=ax+b（a0）定義域?yàn)镽值域?yàn)镽y=ax+b （a0）x(2)二次函數(shù) 定義域?yàn)镽值域?yàn)锽 x練習(xí)：求下列函數(shù)的定義域:（1）（2）分析：答案：答案：分析：歸納：確定用解析式表示的函數(shù)的定義域的一般方法：1、f(x)是整式2、f(x)是分式3、f(x)是二次根式4、如果f(x)由幾個(gè)部分 的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的函數(shù)的定義域

4、是R;函數(shù)的定義域是使 分母不為0的實(shí)數(shù) 的集合；函數(shù)的定義域是 使被開方式不小 于0的實(shí)數(shù)的集合；定義域是使各 部分都有意義的 實(shí)數(shù)集合。 例題分析例1 已知函數(shù) （1）求函數(shù)的定義域（2）求 的值（3）當(dāng)a0時(shí)，求 的值解（1） 有意義的實(shí)數(shù)x的集合是x|x-3 有意義的實(shí)數(shù)x的集合是x|x-2 所以 這個(gè)函數(shù)的定義域就是 （2）（3）因?yàn)閍0,所以f（a），f（a-1）有意義例1 已知函數(shù) （1）求函數(shù)的定義域（2）求 的值（3）當(dāng)a0時(shí)，求 的值函數(shù)定義域值域?qū)?yīng)關(guān)系 值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的。 如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完 全一致，就知這兩個(gè)函數(shù)相等。函數(shù)有三要素，即： 例

5、2下列函數(shù)哪個(gè)與函數(shù)y=x相等 解（1） ，這個(gè)函數(shù)與y=x（xR） 對(duì)應(yīng)一樣，定義域不不同，所以和y=x （xR）不相等 （2） 這個(gè)函數(shù)和y=x （xR） 對(duì)應(yīng)關(guān)系一樣 ，定義域相同xR，所以和y=x （xR）相等（4） 的定義域是x|x0，與函數(shù) y=x（xR）的對(duì)應(yīng)關(guān)系一樣，但是定義域 不同，所以和y=x（xR）不相等x，x0-x，x0 （3） 這個(gè)函數(shù)和y=x（xR）定義域相同x R，但是當(dāng)x0時(shí)，它的對(duì)應(yīng)關(guān)系為y=-x所以和y=x（xR）不相等 例2下列函數(shù)哪個(gè)與函數(shù)y=x相等3.下列各組函數(shù)中，是否表示同一函數(shù)？設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且ab, 我們規(guī)定：(1)、滿足不等式axb的

6、實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為 a,b.(2)、滿足不等式axb的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為 (a,b).(3)、滿足不等式axb或aa,xa,xaxbxb（ - ，b（-，b）（a，+）a，+） 實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(-,+),“”讀作“無窮大”。例1、試用區(qū)間表示下列實(shí)集：x|5 x6 (2) x|x 9 (3) x|x -1 x| -5 x2(4) x|x 9x| -9 x20例3 設(shè)f(x)的定義域是-1,3，試求函數(shù)f(2x+1)的定義域。分析：函數(shù)f(2x+1)的自變是仍是x，不是2x+1，故應(yīng)由2x+1滿足的條件中求出x的取值范圍，進(jìn)而得所求定義域。解：由已知-12x+13，得-1x1。得函數(shù)f(2x+1)的定義域是-1,1 。拓展例4(1)（孿生問題1）已知f(x)=x2-x+1，求f(2x+1)。(2) (孿生問題2）已知f(2x+1)的定義域是-1,3，且f(x)的定義域由f(2x+1)確定，試求f(x)的定義域。解(1)：f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+1=4x2+2x+1。 解(2)：由已知-1x3，得2x+1-1,7，又f(x)的定義域由f(2x