數(shù)字信號(hào)處理課件：7 有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法

1、第7章 有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)(FIR)濾波器的設(shè)計(jì)方法7.1 引言7.2 線性相位FIR濾波器的特點(diǎn) 7.3 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器 7.4 用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器 7.6 FIR濾波器和IIR濾波器的比較7.1 引言 FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)：(與IIR數(shù)字濾波器比較)優(yōu)點(diǎn)： 很容易獲得嚴(yán)格的線性相位，避免被處理的信號(hào)產(chǎn)生相位失真，這一特點(diǎn)在寬頻帶信號(hào)處理,圖象處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要； FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)是有限長(zhǎng)序列，即h(n)絕對(duì)可和，故濾波器一定是穩(wěn)定的; 任何一個(gè)非因果的有限長(zhǎng)序列，總可以通過一定的延時(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，所以因果性總是滿足； 結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)

2、，無反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差??； 可以采用快速傅里葉變換（FFT）算法來實(shí)現(xiàn)過濾信號(hào)，從而大大提高運(yùn)算效率。 缺點(diǎn)： 因?yàn)闆]有非零極點(diǎn)，要獲得好的過渡帶特性，需以較高的階數(shù)為代價(jià)； 無法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，一般無解析設(shè)計(jì)公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成。7.2 線性相位FIR濾波器的特點(diǎn) （）如果FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)是實(shí)數(shù)序列，而且滿足偶對(duì)稱或奇對(duì)稱的條件，即則濾波器就具有嚴(yán)格的線性相位特性。一、線性相位特性 (1) h(n)偶對(duì)稱的情況 （令m=N-1-n） h(n)=h(N-1-n) 0nN-1 其系統(tǒng)函數(shù)為： （等式兩邊同加H(z)，再乘1/2） （據(jù)z變換定義） 濾

3、波器的頻率響應(yīng)為 上式的以內(nèi)全部是標(biāo)量，可將頻率響應(yīng)用相位函數(shù)()及幅度函數(shù)H()表示為 其中： 標(biāo)量函數(shù)，可為正值和負(fù)值嚴(yán)格的線性相位圖7-3. h(n)偶對(duì)稱時(shí)的線性相位特性 則該FIR濾波器的群延遲() 為 上式說明：當(dāng)h(n)滿足偶對(duì)稱時(shí)，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器具有(N-1)/2個(gè)采樣的延時(shí)， 它等于單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度的一半。也就是說，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的輸出響應(yīng)整體相對(duì)于輸入延時(shí)了(N-1)/2個(gè)采樣周期。相位函數(shù)：其系統(tǒng)函數(shù)為 因此 h(n)=-h(N-1-n) 0nN-1 (2) h(n)奇對(duì)稱的情況 同樣可以改寫成 其頻率響應(yīng)為記作 即：相位函數(shù)()及幅度函數(shù)H()為 幅度函數(shù)H

4、() 可為正值或負(fù)值；相位函數(shù)既是線性相位的，又包括/2的相移，如圖7-4所示。 群延遲為：可以看出，當(dāng)h(n)為奇對(duì)稱時(shí)，F(xiàn)IR濾波器不僅有(N-1)/2 個(gè)采樣的延時(shí)， 還產(chǎn)生一個(gè)90的相移。這種使所有頻率的相移皆為90的網(wǎng)絡(luò)，稱為90移相器，或稱正交變換網(wǎng)絡(luò)。 圖7-4 h(n)奇對(duì)稱時(shí)的90相移線性相位特性 h(n)有奇對(duì)稱和偶對(duì)稱兩種情況，而h(n)的點(diǎn)數(shù)N又有奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況，因而h(n)可以有4種類型，分別對(duì)應(yīng)于4種線性相位FIR數(shù)字濾波器。圖7-1 h(n)偶對(duì)稱 圖7-2 h(n)奇對(duì)稱(a) N為奇數(shù)；(b) N為偶數(shù) (a) N為奇數(shù)；(b) N為偶數(shù)二、 幅度函數(shù)特點(diǎn)

5、 1. 第一種類型： h(n)為偶對(duì)稱，N為奇數(shù) h(n)偶對(duì)稱的幅度函數(shù)式為： h(n)和 同時(shí)對(duì)于(N-1)/2 呈偶對(duì)稱，滿足將內(nèi)兩兩相等的項(xiàng)合并，幅度函數(shù)就可以表示為 （令）可表示為 式中: n=1,2,3,(N-1)/2 由于cos(n)項(xiàng)對(duì)于=0, ,2皆為偶對(duì)稱，因此幅度函數(shù)H()對(duì)于=0, ，2也呈偶對(duì)稱。 2. 第二種類型：h(n)為偶對(duì)稱，N為偶數(shù) （令 ）因此 由于N為偶數(shù)，因此式中無單獨(dú)項(xiàng)，全部可以兩兩合并得式中: n=1,2, 3, , N/2 1）當(dāng)=時(shí)， ，余弦項(xiàng)對(duì)=呈奇對(duì)稱，因此H()=0，即H(z)在z=ej=-1 處必然有一個(gè)零點(diǎn)，而且H()對(duì)=呈奇對(duì)稱。

6、2）當(dāng)=0或2時(shí)， 或-1，余弦項(xiàng)對(duì)=0, 2為偶對(duì)稱，幅度函數(shù)H()對(duì)于=0, 2也呈偶對(duì)稱。 3）如果數(shù)字濾波器在=處不為零，例如高通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計(jì)。 3. 第三種類型： h(n)為奇對(duì)稱，N為奇數(shù) h(n)奇對(duì)稱的幅度函數(shù)式如下： 分析：h(n)對(duì)于(N-1)/2 呈奇對(duì)稱，即h(n)=-h(N-1-n)，當(dāng)n=(N-1)/2時(shí)， 因此，, 即h(n)奇對(duì)稱時(shí)，中間項(xiàng)一定為零。此外，式中 也對(duì)(N-1)/2 呈奇對(duì)稱。因此，在中第n項(xiàng)和第(N-1-n)項(xiàng)是相等的，將這兩兩相等的項(xiàng)合并，即 （令）可寫為 式中: n=1, 2, 3, , (N-1)/2 1

7、）由于sin(n)在=0, , 2處都為零，并對(duì)這些點(diǎn)呈奇對(duì)稱，因此幅度函數(shù)H()在=0,2處為零，即H(z)在z=1上都有零點(diǎn)，且H()對(duì)于=0,2也呈奇對(duì)稱。2）如果數(shù)字濾波器在=0, 處不為零，例如低通濾波器、 高通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計(jì)， 除非不考慮這些頻率點(diǎn)上的值。 4. 第四種類型：h(n)為奇對(duì)稱，N為偶數(shù)由于N為偶數(shù)，式中無單獨(dú)項(xiàng)，全部可以兩兩合并得（令 ）因此 式中: 1）當(dāng)=0, 2時(shí)， ，且對(duì)=0, 2呈奇對(duì)稱，因此H()在=0, 2處為零，即H(z)在z=1處有一個(gè)零點(diǎn)，且H()對(duì)=0, 2也呈奇對(duì)稱。 2）當(dāng)=時(shí)， 或1，則 對(duì)=呈偶對(duì)稱，幅

8、度函數(shù)H()對(duì)于=也呈偶對(duì)稱。 3）如果數(shù)字濾波器在=0, 2處不為零，例如低通濾波器、 帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計(jì)。 表7-1 四種線性相位FIR濾波器特性表7-1 四種線性相位FIR濾波器特性三、線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)位置 線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： H(z)=z-(N-1)H(z-1)1）若z=zi是H(z)的零點(diǎn)，即H(zi)=0，則z=1/zi=zi-1也一定是H(z)的零點(diǎn)(因?yàn)镠(zi-1)=zi (N-1) H(zi)=0）。2）當(dāng)h(n)是實(shí)數(shù)時(shí)，H(z)的零點(diǎn)必成共軛對(duì)出現(xiàn)，所以 z=zi*及z=(zi*)-1也一定是H(z)的零點(diǎn)。 線性相位FI

9、R濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn)是零點(diǎn)必須是互為倒數(shù)的共軛對(duì)。確定其中一個(gè)，另外三個(gè)零點(diǎn)也就確定了。這種互為倒數(shù)的共軛對(duì)有四種可能性。 圖 7-5 線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)位置圖 由幅度響應(yīng)的討論可知：1）第二種類型的線性相位濾波器 H()=0， 因此必然有單根 z=-1。2）第四種類型的線性相位濾波器 H(0)=0, 因此必然有單根 z=1。3）第三種類型的線性相位濾波器 H(0)=H(）=0， 因此必然有兩種單根 z=1 。 線性相位FIR濾波器的H(z)只可能由以上幾種情況組合而成，了解了線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)，便可根據(jù)實(shí)際需要選擇合適類型的FIR濾波器，同時(shí)設(shè)計(jì)時(shí)需遵循有關(guān)的約束條件。下面討

10、論線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法時(shí)，都要用到這些特點(diǎn)。 如果希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為: 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（時(shí)域逼近） 頻率采樣法（頻域逼近） 最優(yōu)化設(shè)計(jì)（等波紋逼近）那么 FIR濾波器的設(shè)計(jì)就在于尋找一個(gè)去逼近 ,逼近方法有三種：7.3 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器 一、設(shè)計(jì)方法1.設(shè)計(jì)思想 先給定所要求的理想濾波器的頻率響應(yīng) ，要求設(shè)計(jì)一個(gè)FIR濾波器頻率響應(yīng) , 去逼近理想的頻率響應(yīng) 。2. 設(shè)計(jì)過程 先用傅氏反變換求出理想濾波器的單位沖激響應(yīng)hd(n)，然后加時(shí)間窗w(n)對(duì)hd(n)截?cái)?，以求得所設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)。 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器是在時(shí)域進(jìn)行

11、的, 從單位脈沖響應(yīng)序列著手，使你所設(shè)計(jì)的FIR濾波器單位沖激響應(yīng)序列h(n)逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)。因此，必須首先由理想頻率響應(yīng) 的傅里葉反變換推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng): （7-36） 由于許多理想化的系統(tǒng)均用分段恒定的或分段函數(shù)表示的頻率響應(yīng)來定義，即 逐段恒定，在邊界頻率處有不連續(xù)點(diǎn)，因此hd(n)一定是無限長(zhǎng)的序列，且是非因果的。 而我們要設(shè)計(jì)的是FIR濾波器，其h(n)必定是有限長(zhǎng)的，所以要用有限長(zhǎng)的h(n)來逼近無限長(zhǎng)的hd(n)，最簡(jiǎn)單且最有效的方法是截?cái)鄅d (n) 。0nN-1 其他 式中如果采用簡(jiǎn)單截取，則窗函數(shù)為矩形窗。 通常，可以把h(n)表示為所需單位脈

12、沖響應(yīng)與一個(gè)有限長(zhǎng)的窗口函數(shù)序列w(n)的乘積，即 h(n)=hd(n)w(n) 相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為： hd(n)是一個(gè)中心點(diǎn)在的偶對(duì)稱、無限長(zhǎng)、非因果序列，為了構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段對(duì)(N-1)/2 對(duì)稱，故中心點(diǎn)必須取=(N-1)/2 。 例如要求設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR數(shù)字低通濾波器，假設(shè)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為：（7-39）設(shè)截取的一段用h(n)表示，則理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗 3. 分析窗口函數(shù)法對(duì)頻響產(chǎn)生的影響 逼近程度 根據(jù)復(fù)卷積定理，由 可得h(n)的頻率特性 H(ej)逼近Hd(ej)的好壞，取決于窗函數(shù)的頻譜特性

13、W(ej)： （7-42）這里選用矩形窗RN(n)，其頻譜特性為 幅頻特性和相頻特性為 （7-45）式中： 其中，WR()是連續(xù)函數(shù)，主瓣寬度為4/N，兩側(cè)有許多衰減振蕩的旁瓣。通常主瓣定義為原點(diǎn)兩邊第一個(gè)過零點(diǎn)之間的區(qū)域。 若將理想濾波器的頻率響應(yīng)也寫成 則其幅度函數(shù)為 將式（7-45）和式（7-47）代入式（7-42），就可以得到實(shí)際設(shè)計(jì)的FIR濾波器頻率響應(yīng)為： （7-47）設(shè) 則實(shí)際設(shè)計(jì)的FIR濾波器的幅度函數(shù)為 顯然，對(duì)實(shí)際FIR濾波器的幅頻特性H()有影響的是窗函數(shù)的幅頻特性WR()。實(shí)際FIR濾波器的幅頻特性是理想低通濾波器的幅頻特性與窗函數(shù)的幅頻特性的卷積。 （7-51） 卷積

14、過程說明:（1）=0 時(shí)的響應(yīng)H(0)，應(yīng)該是圖中(a)和(b)兩個(gè)函數(shù)乘積的積分，即H(0)等于WR()在=-c到=+c一段的積分面積。通常c2/N，H(0)實(shí)際上近似等于WR()的全部積分（= -到=+）面積。 （2）=c時(shí)的響應(yīng)H(c)，Hd()剛好與WR(-)的一半重疊，如圖(c) 。因此卷積值剛好是H(0)的一半，即H(c)/H(0)=1/2，如圖（f）。 (4)當(dāng) 時(shí)， WR(-)的主瓣全部在通帶Hd() 的通帶（|c）之外，而通帶內(nèi)的旁瓣負(fù)的面積大于正 的面積，因而卷積結(jié)果達(dá)到最負(fù)值，頻響出現(xiàn)負(fù)肩峰。(3)當(dāng) 時(shí)， 的主瓣全部在 的通帶內(nèi)，這時(shí)應(yīng)出現(xiàn)正的肩峰。 (6)當(dāng) 時(shí)， 的

15、右邊旁瓣將進(jìn)入 的通帶，右邊旁瓣的起伏造成 值圍繞 值而波動(dòng)。(5)當(dāng) 時(shí)，隨 增加， 左邊旁瓣的起伏部分掃過通帶，卷積 也隨著 的旁瓣在通帶內(nèi)的面積變化而變化，故 將圍繞著零值而波動(dòng)。加窗處理對(duì)理想頻率響應(yīng)產(chǎn)生以下幾點(diǎn)影響(P335)： （1）H()將Hd()在截止頻率處的間斷點(diǎn)變成了連續(xù)曲線，使理想頻率特性不連續(xù)點(diǎn)處邊沿加寬，形成一個(gè)過渡帶，過渡帶的寬度等于窗的頻率響應(yīng)WR()的主瓣寬度=4/N，即正肩峰與負(fù)肩峰的間隔為4/N。窗函數(shù)的主瓣越寬，過渡帶也越寬。 （2）在截止頻率c的兩邊即=c(2/N)的地方，H()出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對(duì)幅度，而

16、振蕩的多少，則取決于旁瓣的多少。 （3）改變截取長(zhǎng)度N，只能改變窗譜函數(shù)的主瓣寬度和WR()的絕對(duì)值大小。例如，在矩形窗情況下 式中，x=N/2。 當(dāng)截取長(zhǎng)度N增加時(shí)，只會(huì)減小過渡帶寬度（4/N），但不能改變主瓣與旁瓣幅值的相對(duì)比例; 同樣，也不會(huì)改變肩峰的相對(duì)值。這個(gè)相對(duì)比例是由窗函數(shù)形狀決定的，與N無關(guān)。換句話說，增加截取窗函數(shù)的長(zhǎng)度N只能相應(yīng)的減少過渡帶，而不能改變肩峰值。 增加截取窗函數(shù)的長(zhǎng)度N只能相應(yīng)的減少過渡帶寬度，而不能改變肩峰值。例如在矩形窗情況下，最大相對(duì)肩峰值為8.95%，該值不會(huì)隨著N的增加而增加，最大相對(duì)肩峰值則總是8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯效應(yīng)。 由于肩峰值的大小

17、直接影響通帶的平穩(wěn)和阻帶的衰減，所以對(duì)濾波器的性能影響較大。例如矩形窗截?cái)嘣斐傻募绶逯禐?.95%，則阻帶最小衰減為20 lg(8.95%)=-21 dB, 這個(gè)衰減量在工程上常常是不夠大的。 為了加大阻帶衰減， 只能改變窗函數(shù)的形狀。二、 各種窗函數(shù)由頻域周期卷積式看出，只有當(dāng)窗譜逼近沖激函數(shù)時(shí)，也就是絕大部分能量集中于頻譜中點(diǎn)時(shí)，H()才會(huì)逼近Hd()。這相當(dāng)于窗的寬度為無限長(zhǎng)，等于不加窗口截?cái)?，這沒有實(shí)際意義。 但我們可以使窗譜盡量接近沖激函數(shù)的特性，從以上討論中看出，窗函數(shù)序列的形狀及長(zhǎng)度的選擇很關(guān)鍵，一般希望窗函數(shù)滿足兩項(xiàng)要求： （1）窗譜主瓣盡可能地窄，以獲取較陡的過渡帶。 （2）

18、盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對(duì)幅度。也就是能量盡量集中于主瓣，這樣使肩峰和波紋減小，就可增大阻帶的衰減。 但是這兩項(xiàng)要求是不能同時(shí)都滿足的。當(dāng)選用主瓣寬度較窄的窗函數(shù)時(shí)，雖然能得到較陡的過渡帶，但通帶和阻帶的波動(dòng)較明顯；當(dāng)選用的窗函數(shù)有最小的旁瓣幅度時(shí)，雖能得到平坦的幅度響應(yīng)和較小的阻帶波紋，但過渡帶較寬，也即主瓣較寬。因此, 實(shí)際選用窗函數(shù)時(shí)往往要折衷考慮，在保證主瓣寬度達(dá)到一定要求的前提下，適當(dāng)犧牲主瓣寬度以換取相對(duì)旁瓣的抑制。 以上是從幅頻特性的改善對(duì)窗函數(shù)提出的要求。實(shí)際上設(shè)計(jì)的FIR濾波器往往要求具有線性相位： h(n)=hd(n)w(n) 因此，除了要求hd(n)滿足線性相位條件外，

19、對(duì)w(n)也要求長(zhǎng)度N有限，且以(N-1)/2為其對(duì)稱中心，即w(n)=w(N-1-n)綜上所述，窗函數(shù)不僅起截?cái)嘧饔?，還能起平滑作用，在很多領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。因此, 設(shè)計(jì)一個(gè)特性良好的窗函數(shù)有著重要的實(shí)際意義。 1. 矩形窗 0nN-1 其他 2. 巴特列特（Bartlett）窗（又稱三角形窗） w(n)的頻響為 近似結(jié)果在N1 時(shí)成立。此時(shí)，主瓣寬度為8/N, 比矩形窗主瓣寬度增加一倍， 但旁瓣卻小很多。另外，三角形窗的頻譜密度函數(shù)永遠(yuǎn)是正值。 3. 漢寧（Hanning）窗(又稱升余弦窗) 其頻響為 當(dāng)N1 時(shí)，N-1N, 所以窗函數(shù)的幅度函數(shù)為 這三部分之和，使旁瓣互相抵消，能量更集

20、中在主瓣，但是代價(jià)是主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加一倍，即為 8/N。 4. 海明（Hamming）窗（又稱改進(jìn)的升余弦窗）w(n)的頻率響應(yīng)的幅度特性為 與漢寧窗相比,主瓣寬度相同為 8/N,但旁瓣又被進(jìn)一步壓低, 結(jié)果可將99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi). 5. 布拉克曼（Blackman）窗(又稱二階升余弦窗)w(n)的頻率響應(yīng)的幅度特性為 主瓣寬度是矩形窗的主瓣寬度的3倍（12/N） 為了進(jìn)一步抑制旁瓣，對(duì)升余弦窗函數(shù)再加上一個(gè)二次諧波的余弦分量， 變成布拉克曼窗。 圖 7-10 五種常用的窗函數(shù) 圖 7-11 圖 7-10 的各種窗函數(shù)的傅里葉變換（N=51）(a) 矩形窗;

21、(b) 巴特利特窗（三角形窗）; (c) 漢寧窗; (d) 海明窗; (e) 布拉克曼窗 旁瓣衰減逐步提高同時(shí)主瓣寬度增加圖 7-12 理想低通濾波器加窗后的幅度響應(yīng)（N=51）(a) 矩形窗; (b) 巴特利特窗（三角形窗）; (c) 漢寧窗; (d) 海明窗; (e) 布拉克曼窗 6. 凱澤（Kaiser）窗 這是一種適應(yīng)性較強(qiáng)的窗，其窗函數(shù)的表示式為 0nN-1 式中，I0(x)是第一類變形零階貝塞爾函數(shù)，是一個(gè)可自由選擇的參數(shù)。圖7-13 凱塞窗函數(shù) 表7-2 凱澤窗的性能表7-3 六種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較（） 窗函數(shù)窗譜性能指標(biāo)加窗后濾波器性能指標(biāo)旁瓣峰值/dB主瓣寬度/ （2/N）

22、過渡帶寬/ （2/N）阻帶最小衰減/dB矩形窗巴特列特漢寧窗海明窗布拉克曼窗凱澤窗（=7.865）-13-25-31-41-57244460.92.13.13.35.55-21-25-44-53-74-80（）阻帶最小衰減只由窗形狀決定，不受窗寬N的影響；而過渡帶的寬度既和窗形狀有關(guān)，且隨窗寬N的增加而減小。三、窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)步驟（1） 給定希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej)。 （2） 求單位脈沖響應(yīng)hd(n)=IDTFTHd(ej) ，即 如果Hd(ej)很復(fù)雜或不能直接計(jì)算積分，則必須用求和代替積分，以便在計(jì)算機(jī)上計(jì)算，也就是要計(jì)算離散傅里葉反變換， 一般都采用FFT來計(jì)算。 （3）由過渡

23、帶寬及阻帶最小衰減的要求，利用表7-3可選定窗形狀w(n)，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。 設(shè)待求濾波器的過渡帶用表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。因過渡帶近似與窗口長(zhǎng)度成反比， NA/，A決定于窗口形式。例如，矩形窗A=1.8，海明窗A=6.6等，A參數(shù)選擇參考表7-3。按照過渡帶及阻帶衰減情況，選擇窗函數(shù)形式。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下， 盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。（5）由h(n)求FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)或頻率響應(yīng)H(ej)=DTFTh(n)，檢查是否滿足設(shè)計(jì)要求，如不滿足，則需重新設(shè)計(jì)。 通常整個(gè)設(shè)計(jì)過程可利用計(jì)算機(jī)編程來實(shí)現(xiàn)，可多選擇幾種窗函數(shù)來試探，從而設(shè)計(jì)出性能良好的FIR濾波器

24、。 （4） 求得所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng) h(n)=hd(n)w(n) 0nN-1 【例7-1】()：根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR低通濾波器。 抽樣頻率為 s=2*1.5*104(rad/sec) 通帶截止頻率為 p=2*1.5*103(rad/sec) 阻帶截止頻率為st=2*3*103(rad/sec) 阻帶衰減不小于50dB。解: (1) 求對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率通帶截止頻率：p=pT= p / fs=2p /s=0.2阻帶截止頻率：st=stT= st / fs=2st /s=0.4阻帶最小衰減：2=50dB (2) 求hd(n)。設(shè)Hd(ej)為理想線性相位低通濾波器頻

25、響由此可得理想單位脈沖響應(yīng)為： 由所需低通濾波器的過渡帶求理想低通濾波器的截止頻率c :圖7-14 要求的低通濾波器特性(3) 求窗函數(shù)。 由阻帶最小衰減2確定窗形狀，由過渡帶寬度確定N。查表7-3可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于50dB的衰減。但海明窗具有較小的主瓣寬度，故選擇海明窗作為窗口函數(shù)。由表7-3可知，利用海明窗設(shè)計(jì)的濾波器的過渡帶寬=6.6/N，所以所設(shè)計(jì)的低通濾波器單位脈沖響應(yīng)序列h(n)的長(zhǎng)度為 確定N：根據(jù)題意，所要設(shè)計(jì)的濾波器的過渡帶為 確定:(4) 求h(n)。海明窗為 則所設(shè)計(jì)的濾波器的單位脈沖響應(yīng)為 所設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)為 設(shè)計(jì)結(jié)果如P345. 圖7-15

26、所示，滿足要求 。（5）由h(n)求FIR濾波器的H (ej)=DTFTh(n)。檢查是否滿足設(shè)計(jì)要求。 如不滿足要求，則要改變N，或改變窗形狀，或兩者都改變，然后重新計(jì)算 。一、設(shè)計(jì)方法基本思想：使所設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點(diǎn)上的值準(zhǔn)確地等于所需（理想）濾波器在這些頻率點(diǎn)處的值，在其它頻率處的特性則要有較好的逼近。內(nèi)插公式7.4 頻率采樣設(shè)計(jì)法內(nèi)插函數(shù):二、 線性相位的約束 設(shè)計(jì)線性相位的FIR濾波器，則其采樣值H(k)的幅度和相位一定要滿足前面所討論的四類線性相位濾波器的約束條件。 （7-91）1. 第一類線性相位濾波器(即h(n)偶對(duì)稱,長(zhǎng)度N為奇數(shù)時(shí))其中幅度函數(shù)

27、H() 為偶對(duì)稱，即 （7-92）第一類線性相位濾波器的頻響為H(ej)在=02之間的N點(diǎn)等間隔采樣值為： 其中： 表示采樣值H(k)的幅值（純標(biāo)量）； 表示其相角。第一類線性相位FIR濾波器采樣點(diǎn)的幅值和相位滿足：2. 第二類線性相位濾波器(即h(n)偶對(duì)稱,長(zhǎng)度N為偶數(shù)時(shí))3. 第三類線性相位濾波器(即h(n)奇對(duì)稱,長(zhǎng)度N為奇數(shù)時(shí))4. 第四類線性相位濾波器(即h(n)奇對(duì)稱,長(zhǎng)度N為偶數(shù)時(shí))三、逼近誤差及其改進(jìn)措施 頻率采樣法是比較簡(jiǎn)單的，但是我們還應(yīng)該進(jìn)一步考察，如此設(shè)計(jì)所得到的頻響H(ej)與要求的理想頻響Hd(ej)會(huì)有怎樣的差別？ 在各頻率采樣點(diǎn)上，濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格地

28、和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等的。但是在采樣點(diǎn)之間的頻響則是由各采樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而成的, 因而有一定的逼近誤差，誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)曲線形狀。圖 7-16 頻率采樣的響應(yīng) 2）如果抽樣點(diǎn)之間的理想頻率特性變化越陡，則內(nèi)插值與理想值之誤差就越大，因而在理想頻率特性的不連續(xù)點(diǎn)附近，就會(huì)產(chǎn)生肩峰和波紋。 1）理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想值，逼近誤差越小； 在FIR濾波器的設(shè)計(jì)中，經(jīng)常需要逼近理想的矩形特性，如低通、高通、帶通濾波器等都是如此。這些理想的矩形特性經(jīng)過采樣，在通帶的邊緣，都會(huì)由于采樣點(diǎn)之間的驟然變化而引起頻響發(fā)生很大的起伏振蕩，這種起伏振蕩使得阻帶的最小衰減變小。那么，如何提高逼近質(zhì)量，使逼近誤差變小呢？可采用如下方法： 1）在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)