四川省自貢市普高2021-2022學(xué)年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知x，則“”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件2我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶（1202-1261）在數(shù)書九章（1247）一書中提出“三斜求積術(shù)”，即：以少廣求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，

2、自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積. 其實質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長，求三角形面積，即. 若的面積，則等于（ ）ABC或D或3設(shè)拋物線的焦點為F,拋物線C與圓交于M,N兩點,若,則的面積為( )ABCD4一個幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個邊長為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成，則這個幾何體的表面積是（ ）ABCD5若復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，則（ ）A1B0CD6已知集合，集合，則（）ABCD7我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問題：“今有器中米，不知其數(shù)，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗為十升).問，米幾何？”

3、下圖是解決該問題的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的S=15(單位：升)，則輸入的k的值為（ ）A45B60C75D1008已知函數(shù)的圖象如圖所示，則可以為（ ）ABCD9已知是等差數(shù)列的前項和，若，設(shè)，則數(shù)列的前項和取最大值時的值為( )A2020B20l9C2018D201710學(xué)業(yè)水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為、五個等級某班共有名學(xué)生且全部選考物理、化學(xué)兩科，這兩科的學(xué)業(yè)水平測試成績?nèi)鐖D所示該班學(xué)生中，這兩科等級均為的學(xué)生有人，這兩科中僅有一科等級為的學(xué)生，其另外一科等級為，則該班（ ）A物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至多有人B物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至少有人C這兩科只有一科等級為且最高

4、等級為的學(xué)生至多有人D這兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生至少有人11已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD12已知數(shù)列的首項，且，其中，下列敘述正確的是（ ）A若是等差數(shù)列，則一定有B若是等比數(shù)列，則一定有C若不是等差數(shù)列，則一定有 D若不是等比數(shù)列，則一定有二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a5(x-2)5，則a1=_，a1+a2+a5=_14如圖，養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個三角形養(yǎng)殖區(qū).為了便于管理，在線段之間有一觀察站點，到直線，的距離分別為8百米、1百米，則觀察點到

5、點、距離之和的最小值為_百米.15割圓術(shù)是估算圓周率的科學(xué)方法，由三國時期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立，他用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積，從而得出圓周率現(xiàn)在半徑為1的圓內(nèi)任取一點，則該點取自其內(nèi)接正十二邊形內(nèi)部的概率為_16已知數(shù)列的前項和為且滿足，則數(shù)列的通項_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點P是橢圓上異于短軸端點A，B的任意一點，過點P作軸于Q，線段PQ的中點為M.直線AM與直線交于點N，D為線段BN的中點，設(shè)O為坐標(biāo)原點，試判斷以O(shè)D為直徑的圓與點M的位置關(guān)系.18（12分）如圖，三棱柱的側(cè)棱

6、垂直于底面，且，是棱的中點.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.19（12分）在中， 角，的對邊分別為， 其中， .（1）求角的值；（2）若，為邊上的任意一點，求的最小值.20（12分）已知均為正實數(shù)，函數(shù)的最小值為.證明：（1）；（2）.21（12分）的內(nèi)角的對邊分別為,且(1)求角的大小(2)若,的面積,求的周長22（10分）已知的內(nèi)角，的對邊分別為，（1）若，證明：（2）若，求的面積參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】，不能得到， 成立也不能推出，即可得到答案.【詳解】因為x，當(dāng)時，不妨取，故時，不成

7、立，當(dāng)時，不妨取，則不成立，綜上可知，“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D【點睛】本題主要考查了充分條件，必要條件的判定，屬于容易題.2C【解析】將，代入，解得，再分類討論，利用余弦弦定理求，再用平方關(guān)系求解.【詳解】已知，代入，得，即 ，解得，當(dāng)時，由余弦弦定理得： ，.當(dāng)時，由余弦弦定理得： ， .故選：C【點睛】本題主要考查余弦定理和平方關(guān)系，還考查了對數(shù)學(xué)史的理解能力，屬于基礎(chǔ)題.3B【解析】由圓過原點，知中有一點與原點重合，作出圖形，由，得，從而直線傾斜角為，寫出點坐標(biāo)，代入拋物線方程求出參數(shù)，可得點坐標(biāo)，從而得三角形面積【詳解】由題意圓過原點，所以原點是圓與拋物線的一個交點，

8、不妨設(shè)為，如圖，由于，點坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，故選：B.【點睛】本題考查拋物線與圓相交問題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點是其中一個交點，從而是等腰直角三角形，于是可得點坐標(biāo)，問題可解，如果僅從方程組角度研究兩曲線交點，恐怕難度會大大增加，甚至沒法求解4C【解析】畫出直觀圖，由球的表面積公式求解即可【詳解】這個幾何體的直觀圖如圖所示，它是由一個正方體中挖掉個球而形成的，所以它的表面積為.故選：C【點睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計算，考查空間想象能力和運算求解能力.5C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可【詳解】解：，則，故選：C【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式

9、的運算法則，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題6D【解析】可求出集合，然后進(jìn)行并集的運算即可【詳解】解：，；故選【點睛】考查描述法、區(qū)間的定義，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及并集的運算7B【解析】根據(jù)程序框圖中程序的功能，可以列方程計算【詳解】由題意，故選：B.【點睛】本題考查程序框圖，讀懂程序的功能是解題關(guān)鍵8A【解析】根據(jù)圖象可知，函數(shù)為奇函數(shù)，以及函數(shù)在上單調(diào)遞增，且有一個零點，即可對選項逐個驗證即可得出【詳解】首先對4個選項進(jìn)行奇偶性判斷，可知，為偶函數(shù)，不符合題意，排除B；其次，在剩下的3個選項,對其在上的零點個數(shù)進(jìn)行判斷, 在上無零點, 不符合題意，排除D；然后,對剩下的2個選項,進(jìn)行單調(diào)性判

10、斷, 在上單調(diào)遞減, 不符合題意，排除C.故選：A【點睛】本題主要考查圖象的識別和函數(shù)性質(zhì)的判斷，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于容易題9B【解析】根據(jù)題意計算，計算，得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項和，若，故，故，當(dāng)時，當(dāng)時，故前項和最大.故選：.【點睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.10D【解析】根據(jù)題意分別計算出物理等級為，化學(xué)等級為的學(xué)生人數(shù)以及物理等級為，化學(xué)等級為的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得出合適的選項.【詳解】根據(jù)題意可知，名學(xué)生減去名全和一科為另一科為的學(xué)生人（其中物理化學(xué)的有人，物理化學(xué)的有人），表格變?yōu)椋何?/p>

11、理化學(xué)對于A選項，物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至多有人，A選項錯誤；對于B選項，當(dāng)物理和，化學(xué)都是時，或化學(xué)和，物理都是時，物理、化學(xué)都是的人數(shù)最少，至少為（人），B選項錯誤；對于C選項，在表格中，除去物理化學(xué)都是的學(xué)生，剩下的都是一科為且最高等級為的學(xué)生，因為都是的學(xué)生最少人，所以一科為且最高等級為的學(xué)生最多為（人），C選項錯誤；對于D選項，物理化學(xué)都是的最多人，所以兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生最少（人），D選項正確.故選：D.【點睛】本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.11A【解析】函數(shù)的零點就是方程的解，設(shè)，方程可化為，即或，求出的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，由此可根

12、據(jù)方程解的個數(shù)得出的范圍【詳解】由題意得有四個大于的不等實根，記，則上述方程轉(zhuǎn)化為，即，所以或因為，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，最小值為因為，所以有兩個符合條件的實數(shù)解，故在區(qū)間上恰有四個不相等的零點，需且故選：A【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的解，方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)，本題考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力12C【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時，顯然符合是等差數(shù)列，但是此時不成立，故本說法不正確；B：當(dāng)時，顯然符合是等比數(shù)列，但是此時不成立，故本說法不正確；C：當(dāng)時，因此有常數(shù)，因此是等差

13、數(shù)列，因此當(dāng)不是等差數(shù)列時，一定有，故本說法正確； D：當(dāng) 時，若時，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，故本說法不正確.故選：C【點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。1380 211 【解析】由，利用二項式定理即可得，分別令、后，作差即可得.【詳解】由題意，則，令，得，令，得，故.故答案為：80，211.【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，屬于中檔題.14【解析】建系，將直線用方程表示出來，再用參數(shù)表示出線段的長度，最后利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)最小值.【詳解】以為原點，所在直線分別作為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則.設(shè)直線，即，則，所

14、以，所以，則，則，當(dāng)時，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，最短，此時.故答案為：【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用，屬于中檔題.15【解析】求出圓內(nèi)接正十二邊形的面積和圓的面積，再用幾何概型公式求出即可【詳解】半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形，可分割為12個頂角為，腰為1的等腰三角形，該正十二邊形的面積為，根據(jù)幾何概型公式，該點取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為，故答案為：【點睛】本小題主要考查面積型幾何概型的計算，屬于基礎(chǔ)題.16【解析】先求得時；再由可得時,兩式作差可得,進(jìn)而求解.【詳解】當(dāng)時,解得；由,可知當(dāng)時,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,所以,故答案為:【點睛】本題考查

15、由與的關(guān)系求通項公式,考查等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）點在以為直徑的圓上【解析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于，的方程組，解出，的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點，則，求出直線的方程，進(jìn)而求出點的坐標(biāo)，再利用中點坐標(biāo)公式得到點的坐標(biāo)，下面結(jié)合點在橢圓上證出，所以點在以為直徑的圓上【詳解】（1）由題意可知，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)點，則，直線的斜率為，直線的方程為：，令得，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，又點，在橢圓上，點在以為直徑的圓上【點睛】本題主要考查了橢圓方程，考查了中點坐標(biāo)公式，以及平面向量的基本知識，屬于中檔

16、題18（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)平面，四邊形是矩形，由為中點，且，利用平面幾何知識，可得，又平面，所以，根據(jù)線面垂直的判定定理可有平面，從而得證.（2）分別以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，得到，分別求得平和平面的法向量，代入二面角向量公式求解.【詳解】（1）證明：平面，四邊形是矩形，為中點，且，.，與相似，平面，平面，平面，平面，.（2）如圖，分別以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，解得：，同理，平面的法向量，設(shè)二面角的大小為，則.即二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化以及二面角的求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和推理論證、運算求解的能力

17、，屬于中檔題.19（1）；（2）.【解析】（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化簡即可得出結(jié)果；（2）在中， 由余弦定理得，在中結(jié)合正弦定理求出，從而得出，即可得出的解析式，最后結(jié)合斜率的幾何意義，即可求出的最小值.【詳解】（1） ，由題知，則，則，；（2）在中， 由余弦定理得，設(shè)， 其中.在中，所以，所以的幾何意義為兩點連線斜率的相反數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得，故的最小值為.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理的實際應(yīng)用，還涉及二倍角正弦公式和誘導(dǎo)公式，考查計算能力.20（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）運用絕對值不等式的性質(zhì)，注意等號成立的條件，即可求得最小值，再運用柯西不等式，即可得到最小值.（2）利用基本不等式即可得到結(jié)論，注意等號成立的條件.【詳解】（1）由題意，則函數(shù)，又函數(shù)的最小值為，即，由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.故.（2）由題意，利用基本不等式可得，（以上三式當(dāng)且僅當(dāng)時同時取“=”）由（1）知，所以，將以上三式相加得即.【點睛】本題主要考查絕對值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力，屬于中檔題.21（I）；（I