三鉸拱和懸索結構的受力分析（PPT34頁）

1、 本章內容簡介:4.1拱結構的形式和特性4.2三鉸拱的內力計算4.3三鉸拱的壓力線和合理拱軸*4.4懸索結構4.1拱結構的形式和特性一、拱結構在豎向荷載作用下，支座會產生向內的水平反力(推力)的曲線形結構，稱為拱結構。 FP FPFPFPFHAFHBFVAFVBFVAFVBFHA=0a)拱結構 b)曲梁 二、拱結構的形式1、基本形式般有三鉸拱、兩鉸拱和無鉸拱三種基本形式 拱趾 拱趾 跨度l 拱高f 拱頂 起拱線 拱身 三鉸拱 二鉸拱無鉸拱2、帶拉桿的拱結構三、拱結構的力學特性拱結構截面內一般有彎矩、剪力和軸力，但在豎向荷載作用下，由于有水平推力的存在，使得其彎矩和剪力都要比同跨度、同荷載的梁小

2、得多，而其軸力則將增大。因此，拱結構主要承受壓力。 拉桿 拉桿拉桿4.2三鉸拱的內力計算 一、支座反力的計算1、豎向支座反力拱的豎向反力與相當簡支梁的豎向反力相同 FP1FP1FP2FP2l/2l/2l/2l/2lla1 a2A ABBCCKKFHAFHBFVAFVBxyf2、水平支座反力 FHA = FHB = FH 由三鉸拱整體平衡條件 ，可得 取鉸C左邊隔離體，由 ，可得FP1FP1FP2FP2l/2l/2l/2l/2lla1 a2A ABBCCKKFHAFHBFVAFVBxyf小 結(1) 三鉸拱支座反力計算公式為(2) 支座反力與l和f（亦即三個鉸的位置）以及荷載情況有關，而與拱軸線

3、形式無關。 (3) 推力FH與拱高成反比。拱愈低，推力愈大；如果f 0，則f ，這時，三鉸在一直線上，成為幾何可變體系。 二、內力的計算試求指定截面K的內力。約定彎矩以拱內側受拉為正。 (1) 由MK=0，得(2) 由FR=0，得 (3) 由FS=0，得 l/2l/2l/2l/2llFP1FP1FP1FP2FP2FP1xxyyFHAFHAAAABBFVAFVAFVBFHBCCKKKa2a10KR SFHj M小 結 (1) 三鉸拱的內力計算公式（豎向荷載、兩趾等高） (2) 由于推力的存在（注意前兩個計算式右邊的第二項），拱與相當簡支梁相比較，其截面上的彎矩和剪力將減小。彎矩的降低，使拱能更充

4、分地發(fā)揮材料的作用。 (3) 在豎向荷載作用下，梁的截面內沒有軸力，而拱的截面內軸力較大，且一般為壓力（拱軸力仍以拉力為正、壓力為負）。 (4) 內力與拱軸線形式(y,j)有關。 (5) 關于值的正負號：左半跨取正號；右半跨取負號，即式(4-2)中，cos(- ) = cos ，sin(- ) = -sin 。三、內力圖的繪制 一般可將拱沿跨長分為若干等分（如8、12、20等分），應用式（4-2）分別計算其內力值（注意：各截面的x、y和均不相同，可列表計算，見例4-1），然后逐點描跡，連成曲線。彎矩繪在受拉側，剪力圖和軸力圖須注明正負號。 小 結 【例4-1】已知拱軸線方程 ，試作圖示三鉸拱的

5、內力圖。 解： (1) 計算支座反力 q=10kN/m FP=40kN AABCDEf=4m xyyE FH=60kN FH=60kNjE 4m 4m4m4ml=16mFVA=70kN FVB=50kNBCDEq=10kN/mFP=40kN16m(2)計算各截面幾何參數(shù)（y和 ） 1) 求y 將l 和f 代入拱軸線方程得2) 求代入各x值，即可查得相應的值。 為繪內力圖將拱沿跨度分為8個等分，計有9個控制截面，求出各截面的y、 等值，列于表中。 q=10kN/m FP=40kN AABCDEf=4m xyyE FH=60kN FH=60kNjE 4m 4m4m4ml=16mFVA=70kN F

6、VB=50kNBCDEq=10kN/mFP=40kN16m(3)計算內力以截面E為例，計算其內力值。將x =12m代入y 和 式中，得yE = 3m， = -0.5，查得 E = -2634。因此，有 sin E = -0.447cos E = 0.894 將上述截面E的各相關值代入公式，即可得各內力值1）彎矩計算 q=10kN/mFP=40kNABCDEf=4mjEyExyFH=60kNFH=60kNFVA=70kNFVB=50kN4m4m4m4ml=16m2）剪力計算3）軸力計算 用同樣的方法和步驟，可求得其它控制截面的內力。列表進行計算，如表4-1所示。 (4)作內力圖 M圖(kNm)

7、1515205520AAAABBBBCCCCDDDDEEEEFQ圖(kN) 7.144.9104.917.917.947FN圖(kN)91.9786760.66060.67877.87658.1q=10kN/mFP=40kNf=4mFH=60kNFH=60kNFVA=70kNFVB=50kN4m4m4m4ml=16mxyyEjEq【討論】對于如圖4-5a所示的二次拋物線三鉸拱： (1) 當僅在左半跨或右半跨作用均布荷載q時，其M圖都是反對稱的，如圖所示；而FQ圖都是對稱的。 僅在左半跨作用均布荷載時的M圖 僅在右半跨作用均布荷載時的M圖僅在左半跨作用均布荷載時的FQ圖 僅在右半跨作用均布荷載時

8、的FQ圖 (2) 顯見，當全跨同時作用均布荷載q時，M圖將為零，F(xiàn)Q圖也將為零(只須將相應內力圖相疊加，即可得到驗證)，拱僅受軸向壓力FN作用。 僅在左半跨作用均布荷載時的M圖 僅在右半跨作用均布荷載時的M圖僅在左半跨作用均布荷載時的FQ圖 僅在右半跨作用均布荷載時的FQ圖 (3) 這種在給定荷載作用下，拱處于無彎矩狀態(tài)的拱軸線，是最合理的拱軸線。四、帶拉桿的三鉸拱和三鉸拱式屋架的計算【例4-2】試求圖示有水平拉桿的三鉸拱在豎向荷載作用下的支座反力和內力。 解：該三鉸拱由拉桿AB來阻止支座的水平位移，因此，拱的一個支座改為可動鉸支座。相當簡支梁如圖4-8b所示 I FP1 FP1FP2FP2F

9、P3FP3AABBCCDDEEFFFHFVAFVBIIl/2l/2l/2l/2ll拉桿 flCF (1)計算支座反力 由整體平衡條件Fy = 0、MB = 0和MA = 0，可分別求得 FH=0是其計算特點之一 (2)計算拉桿內力 取截面I-I之右為隔離體。由MC = 0，得 FP1 FP1FP2FP2FP3FP3AABBCCDDEEFFFHFVAFVBIIl/2l/2l/2l/2ll拉桿 flCF FP3FVBl/2BCFIIFSFCxFCy(3)計算拱身內力在無拉桿三鉸拱的內力計算式中，只須用FS去取代FH，即可得出有水平拉桿拱身內力計算式為 FP3FVBl/2BCFIIFSFCxFCy【

10、例4-3】試求圖示三鉸拱式屋架在豎向荷載作用下的支座反力和內力。解： (1) 計算支座反力 (2)計算拉桿內力 (3)計算拱身內力須注意兩個計算特點：一是要考慮偏心矩e1，二是左、右半跨屋面傾角為定值。于是，可參照式(4-6)寫出拱身內力計算式為 ABCFHFVAFVBxyfql/2l/2le1 j 鋼拉桿（拉力FS） 4.3三鉸拱的壓力線和合理拱軸 一、壓力線1、壓力線的意義拱中外力對拱身橫截面上作用力的合力常為壓力，拱各橫截面上合力作用點的連線，稱為壓力線，代表拱內壓力經過的路線。 如果三鉸拱中，某截面D左邊(或右邊)所有外力的合力FRD已經確定，則由此合力便可分解為該截面形心上的三個內力

11、rD為由截面形心到合力FRD的垂直距離；aD為合力FRD與D點拱軸切線之間的夾角。 D MD FND FQD rD 合力FRD aD aD2、壓力線的圖解法 (1)確定各截面合力的大小和方向 由力多邊形的射線來確定 FP1FP1FP2FP2FP3FP3FRAFRBFRAFRBABCDFGHK1 K2K3壓力線（一種特殊的索多邊形）12122323自行封閉的力多邊形 極點O (2)確定各截面合力的作用線 三鉸拱各截面合力的作用線可由索多邊形中的各索線來確定,當某段內豎向力連續(xù)分布時，該段的壓力線為曲線。 FP1FP1FP2FP2FP3FP3FRAFRBFRAFRBABCDFGHK1 K2K3壓力

12、線（一種特殊的索多邊形）12122323自行封閉的力多邊形 極點O 3、壓力線的用途 (1)求任一拱截面的內力 (2)選擇合理拱軸 由上面分析可知，拱的壓力線與拱軸曲線形式無關。因此，有了壓力線之后，可以選擇合理的拱軸曲線形式，應使拱軸線與壓力線盡量接近（以減少彎矩），最好重合（此時截面彎矩為零）。對抗拉強度低的磚石拱和混凝土拱，則要求截面上合力FR作用點不超出截面核心(對于矩形截面，壓力線應不超過截面對稱軸上三等分的中段范圍)。 二、三鉸拱的合理拱軸線1 、合理拱軸線在固定荷載作用下，使拱處于無彎矩狀態(tài)的軸線，稱為合理拱軸線。 2 、合理拱軸的數(shù)解法由 得上式表明，在固定荷載作用下，三鉸拱的

13、合理拱軸線y與相當簡支梁彎矩圖的豎標M 0成正比。 (1)滿跨豎向均布荷載 【例4-4】設三鉸拱承受沿水平方向均勻分布的豎向荷載，試求其合理拱軸線。 解:三鉸拱在沿水平方向均勻分布的豎向荷載作用下，其合理軸線為一拋物線。在方程(4-9)中，拱高f沒有確定。因此，具有不同高跨比的任一拋物線都是合理拱軸。 (4-9)qqAABBCl/2l/2lxyxql/2 ql/2f(2)豎向連續(xù)分布荷載 【例4-5】設在三鉸拱的上面填土，填土表面為水平面。試求在填土容重下三鉸拱的合理軸線。設填土的容重為 ，拱所受的豎向分布荷載為q = qC+ y。 解：將式 對x微分兩次，得 用q(x)表示沿水平線單位長度的荷載值，則 這就是在豎向荷載作用下拱的合理軸線的微分方程 ABCxyfl/2l/2qC+gf qC式中，規(guī)定y向上為正。對于軸向下的情況，上式右邊應該取正號，即 將q = qC+ y代入上式，得 這個微分方程的解答可用雙曲線函數(shù)表示為 兩