11-平穩(wěn)隨機過程課件

1、第11章 平穩(wěn)隨機過程11.1 平穩(wěn)過程的概念 11.2 平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 11.3 各態(tài)歷經(jīng)性11.4 隨機過程的功率譜密度引言 平穩(wěn)過程是應(yīng)用廣泛的一類隨機過程，工程領(lǐng)域中所遇到的許多過程可以認為是平穩(wěn)的，因此，平穩(wěn)過程是隨機過程的重要內(nèi)容之一。本章主要討論在相關(guān)理論范圍內(nèi)平穩(wěn)過程的數(shù)字特征、各態(tài)歷經(jīng)性、相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)、功率譜密度和隨機過程通過線性系統(tǒng)分析等。11.1 平穩(wěn)過程的概念 11.1.1 嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征 11.1.2 寬平穩(wěn)隨機過程11.1 平穩(wěn)過程的概念 在實際中, 有相當(dāng)多的隨機過程, 不僅它現(xiàn)在的狀態(tài), 而且它過去的狀態(tài), 都對未來狀態(tài)的發(fā)生有著很強的影響

2、.如果過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化, 則稱之為平穩(wěn)隨機過程.用數(shù)學(xué)語言描述即為：11.1.1 嚴(yán)平穩(wěn)過程及其數(shù)字特征 嚴(yán)平穩(wěn)的含義：過程的統(tǒng)計特性與所選取的時間起點無關(guān)。換句話說，整個過程的統(tǒng)計特征不隨時間的推移而變化。平穩(wěn)過程的參數(shù)集 T, 一般為:說明(1) 將隨機過程劃分為平穩(wěn)過程和非平穩(wěn)過程有重要的實際意義。 過程若是平穩(wěn)的可使問題的分析尤為簡化。(2) 平穩(wěn)過程的數(shù)字特征有很好的性質(zhì)。下面來考慮嚴(yán)平穩(wěn)過程的數(shù)字特征即均值函數(shù)，均方值函數(shù)和方差函數(shù)為常數(shù)。 于是 下面考慮平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù) 嚴(yán)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)及協(xié)方差函數(shù)只依賴于參數(shù)間距 而與起點無關(guān)。協(xié)方差函

3、數(shù)可以表示為 平穩(wěn)過程數(shù)字特征的特點:(即不隨時間的推移而變化).(3)協(xié)方差函數(shù)可以表示為 說明 要確定一個隨機過程的分布函數(shù), 并進而判定其平穩(wěn)性在實際中不易辦到. 要確定一個隨機過程的概率分布函數(shù)族，并且判定嚴(yán)平穩(wěn)條件式對一切 n 成立，這在實際上是很困難的，而了解它的某些數(shù)字特卻是可能的，因而工程上根據(jù)實際需要往往通過研究隨機過程一、二階矩的理論而考慮平穩(wěn)過程問題。11.1.2 寬平穩(wěn)隨機過程僅依賴，而與 t 無關(guān)；順便指出：今后凡是提到“平穩(wěn)過程”除特別指明外，通常都是指寬平穩(wěn)過程。僅依賴，而與 n 無關(guān)。 但正態(tài)過程例外，因為它的概率密度函數(shù)可由均值和協(xié)方差矩陣完全確定。 由于寬平

4、穩(wěn)過程的定義只涉及到一、二維分布有關(guān)的數(shù)字特征，所以一個嚴(yán)平穩(wěn)過程只要均方值有界，就是寬平穩(wěn)的。但反之則不一定。 所以，如果均值，自相關(guān)函數(shù)不隨時間的推移而變化，則概率密度函數(shù)也不隨時間的推移而變化。因此，寬平穩(wěn)的正態(tài)過程也一定是嚴(yán)平穩(wěn)的。 例11.1 設(shè)Xn,n=0,1, 2, 是實的互不相關(guān)的隨機變量序列，且E(Xn)=0, D(Xn)=2. 討論隨機序列的平穩(wěn)性。解 由于E(Xn)=0, D(Xn)=2，而相關(guān)函數(shù)其中為整數(shù)，隨機序列的均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)僅與有關(guān)，因此它是平穩(wěn)過程。證明 由于其密度函數(shù)為：（常數(shù)）例11.3解X(t) 的均值函數(shù)為 而自相關(guān)函數(shù) 因為RX()僅與 有關(guān)，

5、所以隨機相位周期過程是平穩(wěn)的。 特別, 隨機相位正弦波是平穩(wěn)的。11.2 平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 11.2.1 自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)11.2.2 互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 前面已經(jīng)指出，作為隨機過程的基本數(shù)字特征是均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。對平穩(wěn)過程而言，由于它的均值函數(shù)是常數(shù)，經(jīng)中心化后為零，所以基本特征實際就是相關(guān)函數(shù)。 下面我們專門研究一下平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)。假設(shè) X(t) 平穩(wěn)過程, RX( )是它們的自相關(guān)函數(shù). 即平穩(wěn)過程的均方值可以由自相關(guān)函數(shù)，令 0得到，后面我們將指出RX(0)代表了平穩(wěn)過程的“平均功率”。自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)這是因為相關(guān)函數(shù)具有對稱性。 依據(jù)這個性質(zhì)，在實際問題中只需計算或測

6、量RX( ) 在 0 的值.性質(zhì)3 關(guān)于自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)有不等式 對于平穩(wěn)過程X(t)，有代入上述不等式得：或?qū)f(xié)方差函數(shù)，不難得到相同的結(jié)論：證明根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義和均值運算性質(zhì)有 說明 由于任一連續(xù)函數(shù), 只要具有非負定性, 那么該函數(shù)必是某平衡過程的自相關(guān)函數(shù)。所以對于平穩(wěn)過程而言, 自相關(guān)函數(shù)的非負定性是最本質(zhì)的。性質(zhì)5 如果平穩(wěn)過程 X(t) 滿足條件 則稱它為周期是T0的平穩(wěn)過程。 周期平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)RX()必是周期函數(shù),且其周期也是T0 .證明必要性即自相關(guān)函數(shù)RX()必是周期函數(shù), 且其周期也是T0 .充分性性質(zhì)6 設(shè)平穩(wěn)過程X(t)，若當(dāng)| |時，過程的狀態(tài)X

7、(t)與X(t )互不相關(guān)，則有： 這是因為：從物理意義上說，當(dāng) 增大時X(t)與X(t +)之間相關(guān)性會減弱，在 | 的極限情況下，兩者互不相關(guān)。于是有：若則 這一性質(zhì)很有趣，對于平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)RX() ，只要知道在 0處連續(xù)，就可以得出對任意 處都連續(xù)，這對于一般連續(xù)函數(shù)是不具備這樣的性質(zhì)的。解 由性質(zhì)6得：例11.4 已知平穩(wěn)過程X(t)，當(dāng) 的絕對值充分大時，過程的狀態(tài)X(t)與X(t+) 相互獨立，其相關(guān)函數(shù)為：求X(t)的均值。11.3 各態(tài)歷經(jīng)性 11.3.1 時間平均的概念11.3.2 平穩(wěn)過程各態(tài)歷經(jīng)的定義11.3.3 平穩(wěn)過程各態(tài)歷經(jīng)性的條件 隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性，可以

8、理解為隨機過程的各樣本函數(shù)都同樣的經(jīng)歷了隨機過程 的各種可能狀態(tài)。 因此，從隨機過程的任何一個樣本函數(shù)都可以得到隨機過程的全部統(tǒng)計信息，任何一個樣本函數(shù)的特性都可以代表整個隨機過程的特性。11.3.1 時間平均的概念1、 積分 說明對于隨機過程的所有樣本函數(shù)來說, a, b上的積分未必全都存在。 在某些情形下，對于隨機過程的所有樣本函數(shù)來說，在 a,b 上的積分未必全都存在，此時可引入所謂均方意義下的積分，即考慮 a,b 內(nèi)的一組分點： 我們就稱 Y 為a, b上的均方積分。2、均方積分自相關(guān)函數(shù)的二重積分2、 時間均值和時間相關(guān)函數(shù)11.3.1 時間平均的概念例11.5 解結(jié)論 對于隨機相位

9、正弦波, 用時間平均和集平均（均值函數(shù)）分別算得的均值和自相關(guān)函數(shù)是相等的。這一特性并不是隨機相位正弦波所獨有的。11.3.2 各態(tài)歷經(jīng)性的概念 說明(1) “以概率 1 成立”是對 X(t) 的所有樣本函數(shù)而言。(2) 各態(tài)歷經(jīng)性有時也稱作遍歷性或埃爾古德性(ergodicity)。(3) 并不是任意一個平穩(wěn)過程都是各態(tài)歷經(jīng)的。 例11.6 設(shè)平穩(wěn)過程 X(t)=Y，其中 Y是隨機變量，D(Y)0 研究它的各態(tài)歷經(jīng)性。解 E(X(t)=E(Y)=常數(shù)于是不是常數(shù)所以均值不具有各態(tài)歷經(jīng)性。證明（常數(shù)）11.3.3 各態(tài)歷經(jīng)性的條件定理11.3 (均值各態(tài)歷經(jīng)定理 )得的方差證明先計算 的均值和

10、方差。交換運算順序, 并且 積分區(qū)域 由的平穩(wěn)性,積分區(qū)域 以概率1成立的充要條件是 但現(xiàn)已算得 故 因此以概率 1 成立的充要條件即 推論定理11.2 (自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)定理 )說明(2)在實際應(yīng)用中通常只考慮定義在0 t 上的 平穩(wěn)過程。此時上面的所有時間平均都應(yīng)以 0 t上的時間平均來代替。相應(yīng)的各態(tài)歷經(jīng)定理可表示為下述形式: 定理11.3以概率 1 成立的充要條件是定理11.4以概率1成立的充要條件是各態(tài)歷經(jīng)定理的重要價值 從理論上給出了如下保證: 一個平穩(wěn)過程X(t), 只要它滿足定理11.3和定理11.4, 便可以根據(jù)“以概率1成立”的含義, 從一次試驗所得到的樣本函數(shù)x(t)來

11、確定出該過程的均值和自相關(guān)函數(shù),即和 說明1說明2如果試驗記錄x(t)只在時間區(qū)間0,T給出,則有下以無偏估計式 在實際中一般不可能給出x(t)表達式, 因而通常通過模擬方法或數(shù)字方法來測量或計算估計式的值。11.4 平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度11.4.1 平穩(wěn)過程的功率譜密度概念 11.4.2 功率譜密度的性質(zhì) 11.4.3 白噪聲過程 在很多理論和應(yīng)用問題中，常利用傅立葉變換這一有效工具來確定時間函數(shù)的頻率結(jié)構(gòu)。 本節(jié)主要討論如何運用傅立葉變換這一有效工具來確立平穩(wěn)過程的頻率結(jié)構(gòu)功率譜密度。11.4 功率譜密度的概念11.4.1 確定性信號函數(shù)的功率譜密度同時有傅立葉逆變換一般是復(fù)數(shù)量, 其

12、共軛函數(shù)x(t)的傅立葉變換等式:稱為x(t)的能量譜密度帕塞伐等式又可理解為總能量的譜表示式。對隨機過程 X(t) 作截尾隨機過程則存在傅里葉變換其傅里葉反變換為另有11.4.2 平穩(wěn)隨機過程的平均功率與功率譜密度代入傅里葉反變換代入傅里葉變換性質(zhì)交換積分次序得到Parseval等式我們得到： 因為X(t) 是隨機過程，故上式兩邊都是隨機變量，要求取平均值，這時不僅要對時間區(qū)間T,T 取平均，還要求概率意義下的統(tǒng)計平均，于是有： 上式就是隨機過程 X(t) 的平均功率和功率譜密度關(guān)系的表達式。我們稱為 X(t)的平均功率。而稱為 X(t)的功率譜密度，簡稱自譜密度或譜密度。即 當(dāng) X(t)

13、是平穩(wěn)過程時，由于 EX 2(t) 是與 t 無關(guān)的常數(shù)。此時平均功率可簡化為： 平穩(wěn)過程的平均功率等于該過程的均方值或等于它的譜密度在頻域上的積分。上式是平穩(wěn)過程 X(t) 的平均功率的譜表示式。即：11.4.2 隨機信號過程的功率譜密度 11.4.3 平穩(wěn)隨機過程X(t)的平均功率與功率譜密度 它是從頻率這個角度描述X(t)的統(tǒng)計規(guī)律的最主要的數(shù)字特征。 交換積分與均值的運算次序，注意到平穩(wěn)過程的均方值函數(shù)是常數(shù)，于是稱為平穩(wěn)過程X(t)的平均功率的譜表示式。解 (1) 由前面例可知，此隨機過程是平穩(wěn)過程，且相關(guān)函數(shù)為： 于是得X(t)的平均功率為：(2) 因為故此時 X(t) 為非平穩(wěn)過

14、程。X(t) 的平均功率為：11.4.3 平穩(wěn)隨機過程X(t) 功率譜密度的性質(zhì)事實上，在式中，是的實的、非負的偶函數(shù)，所以它的均值的極限也必是實的，非負的偶函數(shù)。由于(2)SX()和自相關(guān)函數(shù) RX() 是一傅立葉變換對.維納辛欽公式當(dāng)X(t)是平穩(wěn)過程時，由于 RX()和 SX () 均為偶函數(shù)，維納-辛欽公式還可以寫成如下形式：它揭示了從時間角度描述平穩(wěn)過程X(t)的統(tǒng)計規(guī)律和從頻率角度描述平穩(wěn)過程的統(tǒng)計規(guī)律之間的聯(lián)系。1234567表11.1 自相關(guān)函數(shù)與譜密度對應(yīng)表解 00例11.10解 先將 SX () 表示成部分分式由傅里葉逆變換得： 由RX()求SX(), 或反過來由SX()求

15、RX(),也可以直接利用傅立葉變換的性質(zhì)，查傅立葉變換表得. 書中表(11.1)列出幾個常見的平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)及相應(yīng)的功率譜密度. 在實際問題中常常碰到這樣一些平穩(wěn)過程, 它們的自相關(guān)函數(shù)或譜密度在常義情形下的傅立葉變換或逆變換不存在, 此時如果允許譜密度和自相關(guān)函數(shù)含有 函數(shù), 有關(guān)實際問題仍能得到圓滿解決。 在這種情況下, 自相關(guān)函數(shù)為常數(shù)或正弦型函數(shù)的平穩(wěn)過程, 其譜密度都是離散的。 11.4.4 白噪聲定義11.4 均值X (t)為零, 譜密度SX ()為正常數(shù), 即 的平穩(wěn)過程X(t) 稱為白噪聲過程, 簡稱白噪聲。 由于白噪聲過程類似于白光的性質(zhì)，其能量譜在各種頻率上均勻分布，故

16、有“白”噪聲之稱，又由于它的主要統(tǒng)計特性不隨時間的推移而改變，故它是平穩(wěn)過程。 但是,它的相關(guān)函數(shù)在通常的意義下的傅氏反變換不存在。所以，為了對白噪聲過程進行頻譜分析，下面引進 -函數(shù)的傅氏變換概念。 具有下列性質(zhì)的函數(shù)稱為 函數(shù) 函數(shù)有一個非常重要的運算性質(zhì)，即對任何連續(xù)函數(shù) f (x) , 有：篩選性所以 函數(shù)的傅立葉變換為： 由傅立葉反變換，可得 函數(shù)的傅立葉積分表達式為：或這說明 () 函數(shù)與 1 構(gòu)成一傅立葉變換對.0110說明1與2 () 構(gòu)成一傅立葉變換對。即100同理可得：或相應(yīng)地有：解 由于1與2 () 構(gòu)成一傅立葉變換對。00解 這說明，當(dāng)自相關(guān)函數(shù)為常數(shù)或正弦型函數(shù)的平穩(wěn)

17、過程，其譜密度都是離散的。(1) 證明 X(t) 是平穩(wěn)過程；(2) 證明 X(t) 具有均值各態(tài)歷經(jīng)性；(4) 求 X(t) 的譜密度。(3) 求 X(t) 的平均功率；解（僅與 有關(guān)）故X(t) 是平穩(wěn)過程。所以平穩(wěn)過程X(t)具有均值各態(tài)歷經(jīng)性。所以平均功率白噪聲的自相關(guān)函數(shù)說明(2)白噪聲是一種理想化的數(shù)學(xué)模型。 它的平均功率是無限的。 白噪聲在數(shù)學(xué)處理上具有簡單、方便優(yōu)點。 如果某種噪聲(或干擾)在比實際考慮的有用頻帶寬得多的范圍內(nèi), 具有比較 “平坦” 的譜密度, 那就可把它近似地當(dāng)作白噪聲來處理。 第11章 平穩(wěn)隨機過程習(xí)題課二、主要內(nèi)容三、典型例題一、重點與難點一、重點與難點1

18、、重點2、難點平穩(wěn)性、平穩(wěn)相關(guān)性、各態(tài)歷經(jīng)性的判斷譜密度、互譜密度的計算平穩(wěn)隨機過程二、主要內(nèi)容功率譜密度 互譜密度 相關(guān)函數(shù)狹義平穩(wěn)過程廣義平穩(wěn)過程關(guān)系關(guān)系各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程 如果過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化, 則稱之為平穩(wěn)隨機過程。狹義平穩(wěn)過程廣義平穩(wěn)過程狹義平穩(wěn)過程與廣義平穩(wěn)過程的關(guān)系 1、嚴(yán)平穩(wěn)過程只要二階矩存在, 則它必定也是寬平穩(wěn)的。 反之不成立。 2、寬平穩(wěn)的正態(tài)過程必定也是嚴(yán)平穩(wěn)的。相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)假設(shè) X(t) 和 Y(t) 是平穩(wěn)相關(guān)過程, 分別是它們的自相關(guān)函數(shù) 和互相關(guān)函數(shù).自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4性質(zhì)5周期平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)必是周期函數(shù),且其周期也為T0。性質(zhì)6 設(shè)平穩(wěn)過程X(t)，若當(dāng)|時，過程的狀態(tài)X(t)與X(t)相互獨立，則有：互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)各態(tài)歷經(jīng)性說明(1) “以概率1成立”是對 X(t) 的所有樣本函數(shù)而言。