不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異課件

1、4.4.3 不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一二一、指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)、二次函數(shù)增長(zhǎng)的差異比較1.(1)閱讀下面材料并回答問(wèn)題1859年,有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且沒(méi)有兔子的天敵,兔子數(shù)量不斷增加,不到100年,兔子們占領(lǐng)了整個(gè)澳大利亞,數(shù)量達(dá)到75億只,可愛(ài)的兔子變得可惡起來(lái),75億只兔子吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草,草原的載畜率大大降低,而牛羊是澳大利亞的主要牲口.這使澳大利亞頭痛不已.他們采用各種方法消滅這些兔子,直至二十世紀(jì)五十年代,科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的兔子,澳大利亞人才算松了一口氣.想想看,澳大利亞的兔子為什么在不到100年的時(shí)間

2、內(nèi)發(fā)展到75億只?答案:由于兔子在適宜環(huán)境下,其繁育的數(shù)量呈指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì),指數(shù)增長(zhǎng)又稱為“爆炸性增長(zhǎng)”,因此發(fā)展十分迅猛.一二(2)你能借助圖象得出在xR時(shí),2x=x,2x=x2的根的個(gè)數(shù)嗎?在(0,+)上存在滿足2xx2的x的范圍是什么?答案:2x=x無(wú)根,2x=x2的根有3個(gè)(2正1負(fù));在(0,+)上,存在這樣的數(shù)x0滿足 x0.在(0,+)上,當(dāng)0 x4時(shí)均有2xx2成立.2.填空(1)一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax(a1)與一次函數(shù)y=kx(k0)的增長(zhǎng)差異都與上述情況類似.即使k的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于a的值,y=ax(a1)的增長(zhǎng)速度最終都會(huì)大大超過(guò)y=kx(k0)的增長(zhǎng)速度,即總存在這樣的x0(

3、0,+),當(dāng)xx0時(shí),恒有(2)對(duì)于y=ax(a1)與二次函數(shù)y=x2也有這樣的結(jié)論,即存在x0(0,+),使當(dāng)xx0時(shí)總有一二3.做一做(1)下列函數(shù)中,增長(zhǎng)速度最快的是()A.y=2xB.y=3xC.y=5xD.y=10 x(2)在x(0,+)時(shí),滿足2xx2的x的取值范圍為.解析:(1)四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)都是指數(shù)函數(shù),且底數(shù)均大于1,D項(xiàng)中底數(shù)10最大,則函數(shù)y=10 x的增長(zhǎng)速度最快.答案:(1)D(2)2xx嗎?對(duì)于log2xx2結(jié)論又如何?答案:結(jié)合圖象(略)分析可知,log2x=x只有一個(gè)根,log2x=x2也只有一個(gè)根.存在這樣的x0(0,+)使log2x0 x0,同樣也存在這樣

4、的x0(0,+)使log2x0 成立,但最終隨著x取值足夠大,log2xx2,log2x1)與一次函數(shù)y=kx(k0)在區(qū)間(0,+)上都單調(diào)遞增,但它們的增長(zhǎng)速度不同.隨著x的增大,一次函數(shù)y=kx(k0)保持固定的增長(zhǎng)速度,而對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢.不論a的值比k的值大多少,在一定范圍內(nèi),logax可能會(huì)大于kx,但由于logax的增長(zhǎng)慢于kx的增長(zhǎng),因此總會(huì)存在一個(gè)x0,當(dāng)xx0時(shí),恒有l(wèi)ogax1)與y=x2也存在類似結(jié)論,即總會(huì)存在一個(gè)x0,當(dāng)xx0時(shí),恒有l(wèi)ogaxx2.一二3.做一做(1)下列函數(shù)增長(zhǎng)速度最快的是()A.y=log2xB.y=log6xC

5、.y=log8xD.y=lg x(2)方程x2-log2x=0的解的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.0解析:(1)四個(gè)選項(xiàng)中的對(duì)數(shù)函數(shù)在區(qū)間(0,+)上均是增函數(shù),選項(xiàng)A中y=log2x的底數(shù)2最小,則函數(shù)y=log2x的增長(zhǎng)速度最快.答案:(1)A(2)D探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練研究函數(shù)y=2x,y=x2,y=log2x的增長(zhǎng)差異例1在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=2x,y=x2,y=log2x的圖象并探究它們的增長(zhǎng)情況.分析:先比較y=2x和y=x2,再比較y=log2x和y=x2,最后綜合判斷得出整體規(guī)律.解:在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=2x,y=x2,y=log2x的圖象,如圖所

6、示,觀察歸納可知,當(dāng)0 xx2log2x.當(dāng)2x2xlog2x.當(dāng)x4時(shí),2xx2log2x.探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練反思感悟 在(0,+)上,盡管函數(shù)y=ax(a1),y=logax(a1)和y=x2都是增函數(shù),但它們的增長(zhǎng)速度不同,而且不在同一個(gè)“檔次”上,隨著x的增大,y=ax(a1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快,會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=x2(n0)的增長(zhǎng)速度,而y=logax(a1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢,總會(huì)存在一個(gè)x0,當(dāng)xx0時(shí),有l(wèi)ogaxx21)的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x.假設(shè)他們一直跑下去,最終跑在最前面的人具有

7、的函數(shù)關(guān)系是 ()A.f1(x)=x2B.f2(x)=4xC.f3(x)=log2xD.f4(x)=2x解析:當(dāng)x足夠大時(shí),跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系為指數(shù)型函數(shù).答案:D探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練根據(jù)數(shù)據(jù)信息判斷函數(shù)類型例2在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,運(yùn)用圖形計(jì)算器采集到如下一組數(shù)據(jù):則x,y的函數(shù)關(guān)系與下列哪類函數(shù)最接近?(其中a,b為待定系數(shù))()探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練解析:散點(diǎn)圖如圖所示:由散點(diǎn)圖可知,此函數(shù)圖象不是直線,排除A選項(xiàng);此函數(shù)圖象是“上升”的,因此該函數(shù)為增函數(shù),排除C,D選項(xiàng),故選B.答案:B探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練反思感悟 判斷函數(shù)類型的三種方法

8、1.當(dāng)函數(shù)關(guān)系式確定時(shí),一般把數(shù)值代入分析即可.2.當(dāng)函數(shù)關(guān)系不明確時(shí),可先畫出散點(diǎn)圖,再根據(jù)散點(diǎn)圖與各種類型函數(shù)的增長(zhǎng)規(guī)律進(jìn)行選擇.3.當(dāng)需要獨(dú)立建立模型時(shí),要設(shè)出函數(shù)模型逐一驗(yàn)證篩選.探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練變式訓(xùn)練2在某種新型材料的研制中,實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(見(jiàn)下表).現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,其中最接近的一個(gè)是()A.y=2xB.y=log2xC.y= (x2-1)D.y=2.61x解析:將數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證各選項(xiàng),與函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用相結(jié)合.答案:B探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練圖象信息遷移問(wèn)題例3如圖所示的是一份統(tǒng)計(jì)圖表,根據(jù)此圖表得到的

9、以下說(shuō)法中,正確的有()(1)這幾年人民生活水平逐年得到提高;(2)人民生活費(fèi)收入增長(zhǎng)最快的一年是2016年;(3)生活費(fèi)價(jià)格指數(shù)上漲速度最快的一年是2017年;(4)雖然2018年生活費(fèi)收入增長(zhǎng)是緩慢的,但由于生活費(fèi)價(jià)格指數(shù)也略有降低,因而人民生活有較大的改善.A.1項(xiàng)B.2項(xiàng)C.3項(xiàng)D.4項(xiàng)探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練解析:由題意,“生活費(fèi)收入指數(shù)”減“生活費(fèi)價(jià)格指數(shù)”所得的差是逐年增大的,故(1)正確;“生活費(fèi)收入指數(shù)”在20162017年最陡,故(2)正確;“生活費(fèi)價(jià)格指數(shù)”在20172018年最平緩,故(3)不正確;由于“生活費(fèi)價(jià)格指數(shù)”略呈下降趨勢(shì),而“生活費(fèi)收入指數(shù)”曲線呈

10、上升趨勢(shì),故(4)正確.答案:C反思感悟 用函數(shù)圖象分析函數(shù)模型是一種常見(jiàn)的題型.主要考查學(xué)生的識(shí)圖能力,利用圖象信息分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.這類問(wèn)題應(yīng)結(jié)合圖象的特征,觀察坐標(biāo)軸所代表的含義,緊扣題目的語(yǔ)言描述,并把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)特征(單調(diào)性、最值等),即可得到完美的解決.探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練變式訓(xùn)練3某天0時(shí),小鵬同學(xué)生病了,體溫上升,吃過(guò)藥后感覺(jué)好多了,中午時(shí)他的體溫基本正常(正常體溫為37 ),但是下午他的體溫又開(kāi)始上升,直到半夜才感覺(jué)身上不那么發(fā)燙了.下面能大致反映出小鵬這一天(0時(shí)至24時(shí))體溫變化情況的圖象是()探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練解析:觀察圖象A,體溫

11、逐漸降低,不符合題意;圖象B不能反映“下午他的體溫又開(kāi)始上升”;圖象D不能體現(xiàn)“下午他的體溫又開(kāi)始上升”與“直到半夜才感覺(jué)身上不那么發(fā)燙了”.綜上,只有C是正確的.答案:C探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練選擇恰當(dāng)函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題典例 某公司為了實(shí)現(xiàn)1 000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案:在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí),按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),且獎(jiǎng)金y(單位:萬(wàn)元)隨銷售利潤(rùn)x(單位:萬(wàn)元)的增加而增加,但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元,同時(shí)獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)方案模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個(gè)模型能符合該公司的要求?分析:某個(gè)獎(jiǎng)

12、勵(lì)模型符合公司要求,就是依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí),獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元,同時(shí)獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)利潤(rùn)的25%,由于公司總的利潤(rùn)目標(biāo)為1 000萬(wàn)元,所以部門銷售利潤(rùn)一般不會(huì)超過(guò)公司總的利潤(rùn).于是,只需在區(qū)間10,1 000,分別檢驗(yàn)三個(gè)模型是否符合公司要求.探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練解:借助計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一象限內(nèi)的大致圖象(如圖所示):觀察圖象發(fā)現(xiàn),在區(qū)間10,1 000上,模型y=0.25x,y=1.002x的圖象都有一部分在直線y=5的上方,只有模型y=log7x+1的圖象始終在y=5的下方,這說(shuō)明只有按模型y=log2x+1

13、進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求,下面通過(guò)計(jì)算確認(rèn)上述判斷.對(duì)于模型y=0.25x,它在區(qū)間10,1 000上遞增,當(dāng)x(20,1 000)時(shí),y5,因此該模型不符合要求;探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練對(duì)于模型y=1.002x,由函數(shù)圖象,并利用計(jì)算器,可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0滿足1.002x=5,由于它在區(qū)間10,1 000上遞增,因此當(dāng)xx0時(shí),y5,因此該模型y=1.002x也不符合要求;對(duì)于模型y=log7x+1,它在區(qū)間10,1 000上遞增,而且當(dāng)x=1 000時(shí),y=log71 000+14.555,所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元的要求.再計(jì)算按模型y=log7x

14、+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí),獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的25%,即當(dāng)x10,1 000時(shí),是否有令y=log7x+1-0.25x,x10,1 000.利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖所示).由圖象可知它是遞減的,因此f(x)f(10)-0.316 70,即y=log7x+10.25x,所以當(dāng)x10,1 000時(shí), x0時(shí),下列不等式恒成立的是()A.2xlog2xx2B.x2log2x2xC.log2x2xx2D.log2xx20且a1)的解的個(gè)數(shù)為.解析:當(dāng)a1時(shí),在同一坐標(biāo)系中畫出y=logax和y=a-x的圖象,如圖所示,由圖(1)可知兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn);同理,當(dāng)0a1時(shí),由圖(2)知兩函數(shù)圖象也只有一個(gè)交點(diǎn).因此,不論何種情況,方程只有一個(gè)實(shí)