數(shù)學(xué)第十二章課件

1、數(shù) 學(xué)（第4冊(cè)）直 線第 十二 章兩個(gè)基本公式第一節(jié)直線的方程第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系第三節(jié)點(diǎn)與直線的距離第四節(jié)目錄CONTENTS第一節(jié) 兩個(gè)基本公式 兩點(diǎn)間的距離公式 一、在初中的數(shù)學(xué)知識(shí)中，我們學(xué)習(xí)了怎么求數(shù)軸上的兩點(diǎn)間的距離.一般地，如果x軸上的兩點(diǎn)A與B的坐標(biāo)分別是x1，x2，那么A與B的距離為即x軸上的兩點(diǎn)的距離是這兩點(diǎn)坐標(biāo)差的絕對(duì)值.同樣，y軸上的兩點(diǎn)間的距離也是兩點(diǎn)坐標(biāo)差的絕對(duì)值.第一節(jié) 兩個(gè)基本公式我國(guó)古代把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.于是勾股定理可敘述為：勾方加股方等于弦方.下面我們來(lái)討論已知平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)，如何計(jì)

2、算這兩點(diǎn)的距離.設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)出發(fā)分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為A1，A2，B1，B2，再過(guò)A作BB1的垂線，垂足為C，如圖12-1所示.在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理有第一節(jié) 兩個(gè)基本公式圖 12-1第一節(jié) 兩個(gè)基本公式學(xué)習(xí)提示第一節(jié) 兩個(gè)基本公式由此得到坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)間的距離為特別地，原點(diǎn)O與任意一點(diǎn)A(x,y)間的距離為第一節(jié) 兩個(gè)基本公式【例1】 課堂練習(xí)計(jì)算下列兩點(diǎn)間的距離：（1）A(1,4),B(3,7)；（2）A(1,1),B(5,7).第一節(jié) 兩個(gè)基本公式 線段中點(diǎn)坐標(biāo)

3、公式二、設(shè)A(x1,y2)，B(x2,y2)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M(x0,y0)是線段AB的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A，B，M分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為A1，A2，B1，B2，M1，M2，如圖122所示.圖 122第一節(jié) 兩個(gè)基本公式因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，點(diǎn)M1和點(diǎn)M2分別是線段A1B1和A2B2的中點(diǎn)，即A1M1=M1B1,A2M2=M2B2，所以x0 x1=x2x0,y0y1=y2y0，即這就是線段中點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式，簡(jiǎn)稱中點(diǎn)公式.第一節(jié) 兩個(gè)基本公式【例3】所以BC邊上的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2).根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得AD的長(zhǎng)度為第一節(jié) 兩個(gè)基本公式 課堂練

4、習(xí)1.求連結(jié)下列兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：（1）A(-7,4),B(3,8)；（2）A(3,1),B(2,5).2.已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,2),B(0,1),C(2,5)，求BC邊上的中線AD的長(zhǎng)度.第二節(jié) 直線的方程 直線的傾斜角與斜率 一、直線l在直角坐標(biāo)系中與兩個(gè)坐標(biāo)軸有不同的夾角，其中直線l向上的方向與x軸的正方向所成的最小正角，叫作直線l的傾斜角，如圖12-3所示的角.圖 12-3第二節(jié) 直線的方程規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，直線l的傾斜角為零度角.這樣，對(duì)任意的直線l，它的傾斜角的取值范圍是0180. 直線l的傾斜角為（90），則的正切值叫作這條直線的斜率，

5、通常用小寫字母k表示，即k=tan. （12-3）當(dāng)=90時(shí)，直線l的斜率不存在，當(dāng)90時(shí)，直線l都有確定的斜率.學(xué)習(xí)提示第二節(jié) 直線的方程當(dāng)為鈍角時(shí)，k0；當(dāng)=90時(shí)（直線平行或重合于y軸），k不存在；當(dāng)=0時(shí)（直線平行或重合于x軸），k=0；第二節(jié) 直線的方程下面我們研究如何根據(jù)直線上的任意兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定傾斜角和斜率的大小.如圖12-4所示，設(shè)圖中點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)為直線l上的任意兩點(diǎn)，我們可以得到：圖 12-4第二節(jié) 直線的方程如圖12-4（a）、（b）所示，當(dāng)90時(shí)，x1x2，如圖12-4（c）所示，當(dāng)=90時(shí)，x1=x2，k=tan的值不存在，此時(shí)直線l與x軸垂

6、直.因此，設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)為直線l上的任意兩點(diǎn)，則直線l的斜率為第二節(jié) 直線的方程【例1】（2）由于直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3),B(2,1)，x1x2，所以直線的斜率為第二節(jié) 直線的方程 課堂練習(xí)1.判斷滿足下列條件的直線的斜率是否存在，若存在，求出斜率的值.（1）直線的傾斜角為45；（2）直線過(guò)點(diǎn)A(2,1),B(3,5)；（3）點(diǎn)A(5,2),B(5,4)在直線上.2.設(shè)點(diǎn)A(3,1),B(5,3)在直線l上，求直線l的斜率和傾斜角.第二節(jié) 直線的方程 直線的點(diǎn)斜式和斜截式方程 二、已知直線l的斜率為k，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0,y0)，如圖12-5所示，求直線l的方程.圖

7、12-5第二節(jié) 直線的方程設(shè)點(diǎn)P(x,y)是直線上不同于點(diǎn)P0的任意一點(diǎn)，因?yàn)橹本€l的斜率為k，則根據(jù)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式，得即yy0=k(xx0)，也即斜率為k，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0,y0)的直線的方程為yy0=k(xx0).（12-5）由于這個(gè)方程是由直線上的一點(diǎn)和直線的斜率確定的，所以叫作直線的點(diǎn)斜式方程.第二節(jié) 直線的方程【例3】根據(jù)點(diǎn)斜式方程得直線的方程為第二節(jié) 直線的方程如圖12-6所示，直線l與x軸交于點(diǎn)A(a,0)，與y軸交于點(diǎn)B(0,b)，則a叫作直線l在x軸上的截距（或橫截距），b叫作直線在y軸上的截距（或縱截距）.圖 12-6第二節(jié) 直線的方程設(shè)直線l的斜率為k，并且在

8、y軸上的截距為b，即直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,b)，則直線l的方程為yb=k(x0)，即y=kx+b.斜率為k，在y軸上的截距為b的直線的方程為y=kx+b，（12-6）這個(gè)方程叫作直線的斜截式方程.學(xué)習(xí)提示第二節(jié) 直線的方程在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，應(yīng)如何對(duì)方程的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程進(jìn)行選擇？ 想一想第二節(jié) 直線的方程 課堂練習(xí)1.已知直線經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)，求出它們的方程：（1）P1(2,1),P2(0,3)；（2）P1(1,5),P2(2,1).2.寫出符合條件的直線的斜截式方程：第二節(jié) 直線的方程 直線的兩點(diǎn)式方程 三、如圖12-8所示，已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2),由斜率

9、公式可得故直線l的方程為圖 12-8第二節(jié) 直線的方程當(dāng)y1y2時(shí)，方程可寫成y-y1y2-y1=x-x1x2-x1(x1x2且y1y2).由于上述方程是由直線上的兩點(diǎn)確定的，所以稱為直線的兩點(diǎn)式方程.第二節(jié) 直線的方程【例5】整理得第二節(jié) 直線的方程直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（-6，0），由直線的兩點(diǎn)式方程得第二節(jié) 直線的方程 課堂練習(xí)1.寫出經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線方程.（1）A（4，-1），B（2，2）； （2）A（-1，5），B（3，0）.2.已知兩點(diǎn)A（2，5），B（-1，2），若點(diǎn)P（6，m）在直線AB上，求實(shí)數(shù)m的值.第二節(jié) 直線的方程 直線的一般式方程 四、直線的點(diǎn)斜式方程yy0=k

10、(xx0)可以化為kxy+y0kx0=0；直線的斜截式方程y=kx+b可以化為kxy+b=0.由此可以知道，直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程都可以轉(zhuǎn)化為二元一次方程的一般形式Ax+By+C=0.第二節(jié) 直線的方程第二節(jié) 直線的方程因此，二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不全為零）表示一條直線.方程Ax+By+C=0（其中A,B不全為零） （12-7）叫作直線的一般式方程.直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式和一般式方程之間如何相互轉(zhuǎn)換？試舉例說(shuō)明.思考與討論第二節(jié) 直線的方程【例6】第二節(jié) 直線的方程【例7】第二節(jié) 直線的方程 課堂練習(xí)1.根據(jù)下列條件寫出直線方程，并化為一般式：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3

11、,5)，斜率為2；（2）傾斜角為120，在y軸上的截距為3.2.將下列直線的方程化為一般式方程：第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系 兩條相交直線的交點(diǎn) 一、設(shè)兩條直線的方程是：l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0.如果這兩條直線相交，由于交點(diǎn)同時(shí)在l1和l2上，交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)要滿足兩個(gè)方程，是這兩個(gè)方程的唯一的公共解；反之，如果這兩個(gè)直線方程只有一個(gè)公共解，那么以這個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)必是直線l1和l2的交點(diǎn).第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系因此，兩條直線是否有交點(diǎn)，主要是看方程組是否有唯一解.第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系【例1】第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系 課堂練習(xí)求下列兩條直線的交點(diǎn):(1) l1

12、:2xy3=0與l2:4x+5y+1=0；(2) l1:2x5y+3=0與l2:x2y2=0.學(xué)習(xí)提示第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系 兩條相交直線的交點(diǎn)二、平面內(nèi)不重合的兩條直線只有相交和平行兩種位置關(guān)系.前面我們學(xué)習(xí)了兩條相交直線的交點(diǎn)，下面我們將利用直線的斜截式方程來(lái)討論兩條直線平行的條件.如圖12-9（a）所示，兩條直線l1,l2的斜率都存在且都不為0，如果直線l1平行于l2，那么這兩條直線與x軸相交的同位角相等，即兩條直線的傾斜角相等，故兩條直線的斜率相等；反之，兩條直線l1,l2的斜率都存在且都不為0，如果直線的斜率相等，那么這兩條直線的傾斜角相等，即兩條直線與x軸相交的同位角相等，故兩條

13、直線平行.第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系圖 12-9第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系如圖12-9（b）所示，兩條直線l1,l2的斜率都為0，則這兩條直線都與x軸平行，所以直線l1,l2平行.如圖12-9（c）所示，兩條直線l1,l2的斜率都不存在，則這兩條直線都與y軸平行，所以直線l1,l2平行.所以，當(dāng)兩條直線的斜率都存在但不相等或一條直線的斜率存在而另一條直線的斜率不存在時(shí)，兩條直線相交，這樣我們就可以利用前面的知識(shí)求兩條直線的交點(diǎn).第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系當(dāng)兩條直線的斜率都存在時(shí)，可以利用直線的斜率及直線在y軸上的截距，來(lái)判斷兩條直線的關(guān)系.設(shè)兩條直線的方程分別為l1:y=k1x+b1，l2:y=k2

14、x+b2，則（1）如果k1k2，則兩條直線l1,l2相交；（2）如果k1=k2，當(dāng)b1b2時(shí)，則兩條直線l1,l2平行；當(dāng)b1=b2，則兩條直線l1,l2重合.第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系因此，判斷兩條直線是否平行的一般步驟是：（1）判斷兩條直線的斜率是否存在，若都不存在，則兩條直線平行（或重合），若只有一個(gè)不存在，則兩條直線相交；（2）若兩條直線的斜率都存在，將它們都化成斜截式方程，若斜率不相等，則相交；（3）若斜率相等，比較兩條直線在y軸上的截距，截距相等，則兩條直線重合，截距不相等，則兩條直線平行.第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系【例2】第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系將方程2x6y=0化為斜截式方程得第三

15、節(jié) 兩直線的位置關(guān)系第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系（3）將方程2x+3y1=0化為斜截式方程得第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系【例3】第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系 課堂練習(xí)1.判斷下列各組直線的位置關(guān)系： （1）l1:x+y=0，l2:2x3y+1=0；（2）l1:2x5y+2=0，l2:4x10y+1=0；2.已知直線l過(guò)點(diǎn)A(1,4)，且與直線x3y+4=0平行，求直線l的方程.第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系 兩條直線垂直的條件三、在這里我們利用直線的斜截式方程討論兩條相交直線的一種特殊情形，即直線垂直的情形.兩條直線l1和l2的斜率都存在也都不為0，設(shè)直線方程分別為l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2

16、.如圖12-10所示，若l1l2，則第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系圖 12-10第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系由上述可知，當(dāng)兩條直線的斜率都存在且不等于0時(shí)，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即顯然，平行于x軸的直線與平行于y軸的直線互相垂直，即斜率為零的直線與斜率不存在的直線互相垂直.第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系【例4】第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系【例5】第三節(jié) 兩直線的位置關(guān)系例5中，與直線Ax+By+c=0垂直的直線方程可設(shè)為Bx+Ay+D=0，請(qǐng)同學(xué)們求解一下.思考與討論 課堂練習(xí)1.判斷下列各組直線是否垂直： （1）2x5y+3=0與10 x+

17、4y5=0； （2）y=x+2與3x3y1=0.2.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,4)，且垂直于直線2x+y3=0，求直線l的方程.第四節(jié) 點(diǎn)與直線的距離設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0)為直線Ax+By+C=0外一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為第四節(jié) 點(diǎn)與直線的距離 點(diǎn)到直線的距離 一、我們知道，在直角坐標(biāo)系中，直線外一點(diǎn)和直線上的點(diǎn)連結(jié)所組成的線段中，垂線段最短，稱為點(diǎn)到直線的距離，常用d表示.如圖12-11所示，P0Q的長(zhǎng)度為點(diǎn)P0到直線l的距離.圖 12-11第四節(jié) 點(diǎn)與直線的距離【例1】第四節(jié) 點(diǎn)與直線的距離第四節(jié) 點(diǎn)與直線的距離 課堂練習(xí)根據(jù)下列條件，求點(diǎn)到直線的距離： （1）P0(3,0)，l:3x+4y1=0； （2）P0(4,2)，l:12x5y6=0； （3）P0(3,5)，l:2x+6y5=0.學(xué)習(xí)提示第四節(jié) 點(diǎn)與直線的距離 兩平