結(jié)構(gòu)力學(xué)李廉錕版-漸近法

1、第九章 漸近法 9-1 引言9-2 力矩分配法的基本原理 9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架 9-4 力矩分配法與位移法聯(lián)合應(yīng)用9-5* 無剪力分配法 力矩分配法可以避免解聯(lián)立方程組，其計算精度可按要求來控制。在工程中曾經(jīng)廣泛應(yīng)用。 力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精確解的近似方法。從數(shù)學(xué)上說，是一種異步迭代法。 單獨(dú)使用時只能用于無側(cè)移（線位移）的結(jié)構(gòu)。9-1 引言 力矩分配法的理論基礎(chǔ)是位移法，力矩分配法中對桿端轉(zhuǎn)角、桿端彎矩、固端彎矩的正負(fù)號規(guī)定，與位移法相同（順時針旋轉(zhuǎn)為正號）。9-1 引言 轉(zhuǎn)動剛度表示桿端抵抗轉(zhuǎn)動的能力。它在數(shù)值上等于使桿端產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時需要施加的力矩。其值

2、與桿件的線剛度i=EI/l及遠(yuǎn)端的支承情況有關(guān)。 一、力矩分配法中幾個概念1. 轉(zhuǎn)動剛度（勁度系數(shù)）轉(zhuǎn)動剛度 A端一般稱為近端，B端一般稱為遠(yuǎn)端。9-2 力矩分配法的基本原理 轉(zhuǎn)動剛度轉(zhuǎn)動剛度轉(zhuǎn)動剛度思考：9-2 力矩分配法的基本原理 利用結(jié)點(diǎn)B的力矩平衡條件MB=0，得圖示連續(xù)梁，力偶MB使結(jié)點(diǎn)B產(chǎn)生轉(zhuǎn)角 B 。(a)取結(jié)點(diǎn)B為隔離體2分配系數(shù)桿端彎矩為9-2 力矩分配法的基本原理 S(B) 為匯交于結(jié)點(diǎn)B的各桿件在B端的轉(zhuǎn)動剛度之和。 近端彎矩MBA、MBC為轉(zhuǎn)角為:可見：各桿B 端的彎矩與各桿B 端的轉(zhuǎn)動剛度成正比。9-2 力矩分配法的基本原理 BA、BC 分別稱為各桿近端彎矩的分配系數(shù)

3、。令 ,近端彎矩稱為分配 彎矩?？梢詫懗梢粋€結(jié)點(diǎn)上的各桿端分配系數(shù)總和恒等于1。9-2 力矩分配法的基本原理 思考：匯交于同一結(jié)點(diǎn)的各桿桿端的分配系數(shù)之和(B) 應(yīng)等于多少？3傳遞系數(shù)遠(yuǎn)端彎矩（傳遞彎矩） 稱為由A 端向B 端的傳遞系數(shù)。上述計算過程可歸納為： 結(jié)點(diǎn)B作用的力偶，按各桿的分配系數(shù)分配給各桿的近端；遠(yuǎn)端彎矩等于近端彎矩乘以傳遞系數(shù)。9-2 力矩分配法的基本原理 遠(yuǎn)端固定時:遠(yuǎn)端鉸支時:遠(yuǎn)端定向時:C=1/2C=0C=-1與遠(yuǎn)端支承情況有關(guān)14i2i13i1i9-2 力矩分配法的基本原理 例9-1 結(jié)構(gòu)的A端、B端，C端的支撐及各桿剛度如圖所示，求SBA、SBC、SBD及CBA、C

4、BC、CBD。 解:當(dāng)結(jié)點(diǎn)B轉(zhuǎn)動時，A支座只阻止A端發(fā)生線位移，相當(dāng)于固定鉸，故 C支座既阻止C 端的線位移，也可以阻止C 端轉(zhuǎn)動，其作用與固定端一樣，因此D支座不能阻止D點(diǎn)垂直BD軸的轉(zhuǎn)動，所以 9-2 力矩分配法的基本原理 例9-2 圖示梁的AC為剛性桿段，CB桿段EI=常數(shù)，求SAB及CAB 解: 當(dāng)A端轉(zhuǎn)角=1時，截面C 有豎向位移 =l=l及轉(zhuǎn)角=1 。CB段的桿端彎矩為 梁AB彎矩圖是直線變化的，按直線比例可得9-2 力矩分配法的基本原理 解: 當(dāng)A 轉(zhuǎn)角=1時，因?yàn)锳C 剛性轉(zhuǎn)動，C 點(diǎn)向下的位移=l=l ，所以 例9-3 圖示梁的AC 桿為剛性桿段，CB 桿段EI=常數(shù)。求SA

5、B ,CAB。9-2 力矩分配法的基本原理 解:當(dāng)A 端轉(zhuǎn)動=1時，因AB桿是剛性轉(zhuǎn)動，所以B 產(chǎn)生向下的豎向位移=l=l ，彈簧反力FyB=k=EI/l2 。則 例9-4 圖示梁AB為剛性，B支座為彈性支承，其彈性剛度 k=EI/l3 ,求SAB ,CAB。9-2 力矩分配法的基本原理 4不平衡力矩固定狀態(tài):-不平衡力矩，順時針為正固端彎矩-荷載引起的單跨梁兩端的桿端彎矩，繞桿端順時針為正。9-2 力矩分配法的基本原理 放松狀態(tài): 需借助分配系數(shù), 傳遞系數(shù)等概念求解9-2 力矩分配法的基本原理 例.求不平衡力矩9-2 力矩分配法的基本原理 二、力矩分配法基本思想 以圖示具體例子加以說明按位

6、移法求解時9-2 力矩分配法的基本原理 由此可得到什么結(jié)論呢？ 如果外荷載不是結(jié)點(diǎn)力偶，情況又如何呢？9-2 力矩分配法的基本原理 疊加得最終桿端彎矩為近端遠(yuǎn)端9-2 力矩分配法的基本原理 1、先固定結(jié)點(diǎn)，由固端彎矩獲得結(jié)點(diǎn)不平衡力矩；力矩分配法思路：3、接著用傳遞系數(shù)求傳遞彎矩；2、然后用分配系數(shù)求桿端分配彎矩；4、最后計算桿端最終桿端彎矩。 這種直接求桿端彎矩，區(qū)段疊加作M圖的方法即為力矩分配法。9-2 力矩分配法的基本原理 例. 計算圖示剛架, 作彎矩圖解:確定分配系數(shù)確定固端彎矩9-2 力矩分配法的基本原理 分配傳遞結(jié)點(diǎn)桿端BA1CB1A11A1B1CC11/23/81/8-1/41/

7、41/89-2 力矩分配法的基本原理 解 （1）計算結(jié)點(diǎn)B處各桿端的分配系數(shù)由SBA=4i ， SBC=3i 有分配系數(shù)為一、力矩分配法計算單剛結(jié)點(diǎn)的連續(xù)梁例：用力矩分配法計算圖示的連續(xù)梁的內(nèi)力。9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架結(jié)點(diǎn)B的不平衡力矩為 （2）計算固端彎矩（查表8-1） （3）進(jìn)行彎矩分配與傳遞 9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架分配系數(shù)47 37 固端彎矩27 -27-900分配與傳遞36 27 最后彎矩180注意：結(jié)點(diǎn)B應(yīng)滿足平衡條件。將以上結(jié)果疊加，即得最后的桿端彎矩。-963-6309-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架 根據(jù)各桿桿端的最后彎矩即可利用

8、疊加法作出連續(xù)梁的彎矩圖。 思考：用力矩分配法計算的只有一個剛結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的結(jié)果是精確解嗎？9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架 二、具有多個結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角的多跨連續(xù)梁1.先將所有剛結(jié)點(diǎn)固定，計算各桿固端彎矩； 2.輪流放松各剛結(jié)點(diǎn)，每次只放松一個結(jié)點(diǎn)，其他結(jié)點(diǎn)仍暫時固定，這樣把各剛結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩輪流進(jìn)行分配與傳遞，直到傳遞彎矩小到可略去時為止。這種計算桿端彎矩的方法屬于漸近法。 只需依次對各結(jié)點(diǎn)使用上述方法便可求解。步驟:3. 最后累加固端、分配和傳遞得結(jié)果。9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架 例：用力矩分配法計算圖示的三跨連續(xù)梁的內(nèi)力。EI=常數(shù) 解: (1) 首先引用剛臂將兩個剛結(jié)

9、點(diǎn)1、2固定。(2)計算結(jié)點(diǎn)1、2處各桿端的分配系數(shù)。 結(jié)點(diǎn)1的分配系數(shù)為結(jié)點(diǎn)2的分配系數(shù)為9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架(3) 計算固端彎矩(4) 計算結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩結(jié)點(diǎn)1的不平衡力矩為結(jié)點(diǎn)2的不平衡力矩為 (5) 按輪流放松結(jié)點(diǎn)，進(jìn)行彎矩分配與傳遞。9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架固端彎矩MF -300+300-600+60000結(jié)點(diǎn)分配傳遞結(jié)點(diǎn)分配傳遞結(jié)點(diǎn)分配傳遞結(jié)點(diǎn)分配傳遞結(jié)點(diǎn)分配傳遞結(jié)點(diǎn)分配傳遞結(jié)點(diǎn)分配傳遞結(jié)點(diǎn)分配傳遞最后彎矩+150 +150+75+75-386 -2890-193+96.5 +96.5+48.2+48.2-27.5 -20.7-13.8+6

10、.9 +6.9+3.4+3.4-1.9 -1.5-1.0+0.5 +0.5+0.2+0.2-0.1 -0.1-173.2+553.9 -553.9+311.3 -311.309-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架 (6) 計算桿端最后彎矩最后，將各桿端的固端彎矩和歷次所得到的分配彎矩和傳遞彎矩總和加起來，便得到各桿端的最后彎矩，根據(jù)各桿桿端的最后彎矩作彎矩圖(略)。本節(jié)敘述的方法同樣可適用于無結(jié)點(diǎn)線位移的剛架。9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架例： 用力矩分配法做圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。各桿EI=常數(shù)。 此結(jié)構(gòu)有兩個對稱軸，根據(jù)對稱軸處的變形情況可簡化為取1/4結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算。原結(jié)構(gòu)桿件D

11、B的彎矩可由靜力平衡方程求出。 解:9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架1. 計算結(jié)點(diǎn)“1”的分配系數(shù) 令EI=6 傳遞系數(shù)2. 求固端彎矩9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架 4. 將固端彎矩和分配彎矩、傳遞彎矩的結(jié)果相加得最后彎矩，根據(jù)各桿桿端的最后彎矩利用疊加法作出剛架的彎矩圖。3. 進(jìn)行分配、傳遞 9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架 (1) 思路一致。力矩分配法和位移法的思路是一致的，即都是先固定結(jié)點(diǎn)，只考慮除變形外的其他因素，然后再令結(jié)構(gòu)發(fā)生變形，使結(jié)構(gòu)達(dá)到最后的變形狀態(tài)。 (2)實(shí)現(xiàn)最后的內(nèi)力和變形狀態(tài)的方法不同。位移法的最后變形狀態(tài)是一次性完成的，內(nèi)力是由廣義

12、荷載和變形各自作用的結(jié)果相疊加來實(shí)現(xiàn)的；力矩分配法則是經(jīng)循環(huán)運(yùn)算、逐步修正，將各結(jié)點(diǎn)反復(fù)輪流地固定、放松，才使各結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩逐漸趨近于零，桿端力矩也就逐步修正到精確值。力矩分配法與位移法的比較9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架 （2）結(jié)點(diǎn)有外力偶的結(jié)構(gòu)。當(dāng)結(jié)點(diǎn)上有外力偶時，為正確計算該處不平衡力矩，宜取該結(jié)點(diǎn)為隔離體，畫出集中力偶和固端彎矩的實(shí)際方向，則由結(jié)點(diǎn)的力矩平衡方程求出不平衡力矩，不平衡彎矩以逆時針旋轉(zhuǎn)為正。幾種情形下約束力矩的計算 （1）帶懸臂的結(jié)構(gòu)。求圖a 所示連續(xù)梁結(jié)點(diǎn)B 的不平衡力矩，可將懸臂端的F 等效平移到支座C上（圖b），桿BC 的C 端彎矩為M，B 端的傳遞

13、彎矩為M/2，得B 端的約束力矩MB=Fl/8+M/2。9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架 例：求圖a所示連續(xù)梁結(jié)點(diǎn)B的不平衡力矩。解：由圖b可得結(jié)點(diǎn)B的不平衡力矩為9-3 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架本章作業(yè)：9-1， 9-49-6，9-7一、力矩分配法的基本思路 力矩分配法適用于連續(xù)梁和無結(jié)點(diǎn)線位移的剛架。力矩分配法與位移法的基本理論是一致的，即認(rèn)為結(jié)構(gòu)最后的內(nèi)力狀態(tài)是由荷載單獨(dú)作用（此時不考慮結(jié)點(diǎn)位移，即把結(jié)點(diǎn)位移約束?。┖徒Y(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)作用下 （放松約束，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形）產(chǎn)生的內(nèi)力相疊加的結(jié)果。 但二者的不同之處在于用位移法計算時，我們把結(jié)構(gòu)的最后變形看作是由初始狀態(tài)一次性

14、完成的；力矩分配法則是每次只完成一部分變形，經(jīng)過幾次循環(huán)之后才逐漸達(dá)到最后的變形值，因而結(jié)構(gòu)在總變形下產(chǎn)生的總內(nèi)力也應(yīng)當(dāng)是由這幾次變形各自產(chǎn)生的內(nèi)力相疊加。 本章總結(jié)例：圖示結(jié)構(gòu)中各桿EI 相同，求分配系數(shù)BA 。 解：注意：本題需正確求解SBC 。，所以本章總結(jié) （2）結(jié)點(diǎn)有外力偶的結(jié)構(gòu)。當(dāng)結(jié)點(diǎn)上有外力偶時，為正確計算該處不平衡力矩，宜取該結(jié)點(diǎn)為隔離體，畫出集中力偶和固端彎矩的實(shí)際方向，則由結(jié)點(diǎn)的力矩平衡方程求出不平衡力矩，不平衡彎矩以逆時針旋轉(zhuǎn)為正。1. 幾種情形下約束力矩的計算 （1）帶懸臂的結(jié)構(gòu)。求圖a 所示連續(xù)梁結(jié)點(diǎn)B 的不平衡力矩，可將懸臂端的F 等效平移到支座C上（圖b），桿BC

15、 的C 端彎矩為M，B 端的傳遞彎矩為M/2，得B 端的約束力矩MB=Fl/8+M/2。本章總結(jié) 例：求圖a所示連續(xù)梁結(jié)點(diǎn)B的不平衡力矩。解：由圖b可得結(jié)點(diǎn)B的不平衡力矩為本章總結(jié)（3）支座沉降 例：求圖a所示連續(xù)梁有支座沉降時，結(jié)點(diǎn)C 的約束力矩。 解：本章總結(jié) (1) 思路一致。力矩分配法和位移法的思路是一致的，即都是先固定結(jié)點(diǎn)，只考慮除變形外的其他因素，然后再令結(jié)構(gòu)發(fā)生變形，使結(jié)構(gòu)達(dá)到最后的變形狀態(tài)。 (2)實(shí)現(xiàn)最后的內(nèi)力和變形狀態(tài)的方法不同。位移法的最后變形狀態(tài)是一次性完成的，內(nèi)力是由廣義荷載和變形各自作用的結(jié)果相疊加來實(shí)現(xiàn)的；力矩分配法則是經(jīng)循環(huán)運(yùn)算、逐步修正，將各結(jié)點(diǎn)反復(fù)輪流地固定、放松，才使各結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩逐漸趨近于零，桿端力矩也就逐步修正到精確值。二、力矩分配法與位移法的比較本章總結(jié)例：已知各桿EI=常數(shù)，作圖a 所示結(jié)構(gòu)的M圖。 解: ABCD為靜定部分，先求出該部分M 圖，再把MAB反作用于基本部分EABF，用位移法或力矩分配法求解，答案見圖b。本章總結(jié) 例：寫出圖a 所示結(jié)構(gòu)的解題方法（用計算簡圖表示，并作簡要說明）。 解：易知，CIE為靜定的附屬部分，取CIE為隔離體，即可求出E、C的支座反力。再將支座反力分別反作用于