3.2直線的方程(教學(xué)用)

1、直線的方程主要內(nèi)容3.2.2 直線的兩點式方程3.2.3 直線的一般式方程3.2.1 直線的點斜式方程直線的點斜式方程我們知道給出直線的兩個因素，直線就能夠確定，即將直線放在直角坐標(biāo)系中就能夠確定其方程。（1）在直角坐標(biāo)系中如果給出直線上一點和直線的傾斜角（斜率），我們可以確定一條直線。（2）如果給出兩點 那么直線 也可以確定。問題一 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果給定一條直線 經(jīng)過的一個點 和斜率 ，能否將直線上所有的點的坐標(biāo) 滿足的關(guān)系表示出來呢？xyOl思考？即：xyOl 直線 經(jīng)過點 ，且斜率為 ,設(shè)點 是直線上不同于點 的任意一點，因為直線 的斜率為 ，由斜率公式得：P （1）過點 ，斜率

2、是 的直線 上的點，其坐標(biāo)都滿足方程 嗎？ （2）坐標(biāo)滿足方程 的點都在過點 斜率為 的直線 上嗎？ 上述兩條都成立，所以這個方程就是過點 斜率為 的直線 的方程思考？點斜式方程（簡稱點斜式）局限性：只適用于斜率存在的情形。問題：平面內(nèi)的任意直線是否都可以用點斜式方程來表示呢？，或xyOl的方程就是（1） 軸所在直線或平行于x軸的直線的方程是什么？思考？ 當(dāng)直線 的傾斜角為 時，即 這時直線 與 軸平行或重合，思考（2） 軸所在直線或平行于y軸的直線的方程是什么？，或當(dāng)直線 的傾斜角為 時，直線沒有斜率，這時,直線 與 軸平行或重合，它的方程不能用點斜式表示這時，直線 上每一點的橫坐標(biāo)都等于

3、，所以它的方程就是xyOl思考？ 例1 直線 l 經(jīng)過點P0(-2,3),且傾斜角為600,求直線l的點斜式方程，并畫出直線 l. P0Pxyo練習(xí)1：根據(jù)下列條件，分別寫出方程；（1）經(jīng)過點（4，-2），斜率為3；（2）經(jīng)過點（3，1），斜率為 ；（3）經(jīng)過點（2，3），傾斜角為 ；（4）經(jīng)過點（2，5），傾斜角為 ；（5）經(jīng)過點（-4，-2），傾斜角為 ；（6）斜率為2，與x軸交點的橫坐標(biāo)為-7；練習(xí) 如果直線 的斜率為 ，且與 軸的交點為得直線的點斜式方程， 也就是：xyOlb 我們把直線與 軸交點的縱坐標(biāo)叫做直線在y軸上的截距。 該方程由直線的斜率與它在 軸上的截距確定，所以該方程叫做

4、直線的斜截式方程，簡稱斜截式.截距的值是實數(shù)，它是坐標(biāo)值，不是距離 方程 與我們學(xué)過的一次函數(shù)的表達式類似我們知道，一次函數(shù)的圖象是一條直線你如何從直線方程的角度認(rèn)識一次函數(shù) ？一次函數(shù)中 和 的幾何意義是什么？ 你能說出一次函數(shù) 及 圖象的特點嗎？問題斜截式是點斜式的特例。只適用于斜率存在的情形。練習(xí)2：根據(jù)下列條件，分別寫出方程；（1）在Y軸上的截距為-2，斜率為3；（2）在Y軸上的截距為5，斜率為 ；（3）在Y軸上的截距為1，傾斜角為 ；（4）斜率為2，與x軸交點的橫坐標(biāo)為-7；練習(xí)3： 例2 已知直線 ，試討論：（1） 的條件是什么？（2） 的條件是什么？ 解：（1）若 ，則 ，此時

5、與 軸的交點不同，即 ；反之， ，且 時， （2）若 ，則 ；反之， 時， 典型例題 例3 求下列直線的方程: （1）經(jīng)過點A(-1，2)，且與直線 y=3x+1垂直； 練習(xí) 例4 已知直線L：5ax-5y-a+3=0,求證：無論a為何值，直線L恒過第一象限； 例5 已知直線 l 的斜率為 ，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，求直線l的方程.小結(jié)直線和x軸平行時，傾斜角=0直線與x軸垂直時，傾斜角=90特殊情況方程名稱已知條件直線方程應(yīng)用范圍點斜式斜截式作業(yè).求符合下列條件的直線方程：過點P(1，2)且與 的夾角為30；過點P(1，2)且與兩坐標(biāo)軸的截距相等.簡答：作業(yè)P95練習(xí)：1，2，3

6、，4P100習(xí)題3.2 A組：1，5，6，10.直線的兩點式方程思考？ 已知直線經(jīng)過兩點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，(x1x2 ,y1y2),如何求出這兩個點的直線方程呢？ 經(jīng)過一點，且已知斜率的直線，可以寫出它的點斜式方程. 可以先求出斜率，再選擇一點，得到點斜式方程.xylP2(x2，y2)兩點式P1(x1，y1)斜率根據(jù)兩點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，記憶特點：左邊全為y，右邊全為x兩邊的分母全為常數(shù) 分子，分母中的減數(shù)相同兩點式不是! 是不是已知任一直線中的兩點就能用兩點式 寫出直線方程呢？ 兩點式不能表示平行于坐標(biāo)軸或與坐標(biāo)軸重合的直線注意： 當(dāng)x1 x2或y

7、1= y2時，直線P1 P2沒有兩點式方程.( 因為x1 x2或y1= y2時，兩點式的分母為零，沒有意義) 那么兩點式不能用來表示哪些直線的方程呢？三、兩點式方程的適應(yīng)范圍 若點P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2）中有x1 x2 ,或y1= y2,此時過這兩點的直線方程是什么？當(dāng)x1 x2 時方程為： x x當(dāng) y1= y2時方程為： y= y1.求經(jīng)過下列兩點的直線的兩點式方程，再化斜截式方程.(1)P(2，1)，Q(0，-3)(2)A(0，5)，B(5，0)(3)C(-4，-5)，D(0，0)課堂練習(xí)：xylA(a，0)截距式B(0，b)解：代入兩點式方程得化簡得橫截距

8、縱截距 已知直線經(jīng)過點A（a，0），B（0，b），a0，b0，求直線方程截距可是正數(shù),負(fù)數(shù)和零 注意：不能表示過原點或與坐標(biāo)軸平行或重合的直線 直線與x軸的交點(a，0)的橫坐標(biāo)a叫做直線在x軸上的截距是不是任意一條直線都有其截距式方程呢？截距式直線方程: 直線與y軸的交點(0，b)的縱坐標(biāo)b叫做直線在y軸上的截距截距式方程：注意：等式的右邊是常數(shù)1，左邊x、y前的系數(shù)都為1，此時的a和b才是橫截距和縱截距說出在坐標(biāo)軸上的截距2.根據(jù)下列條件求直線方程（1）在x軸上的截距為2，在y軸上的截距是3；（2）在x軸上的截距為-5，在y軸上的截距是6；由截距式得： 整理得：由截距式得： 整理得：4.中

9、點坐標(biāo)公式 已知兩點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)則線段P1P2的中點P0的坐標(biāo)是什么？xyA(x1，y1)B(x2，y2)中點P0的坐標(biāo)為 例1:已知角形的三個頂點是A(5，0)B(3，3)，C(0，2)，求BC邊所在的直線方程，以及該邊上中線的直線方程。解：過B(3,-3),C(0,2)兩點式方程為：整理得：5x+3y-6=0這就是BC邊所在直線的方程。五、直線方程的應(yīng)用 BC邊上的中線是頂點A與BC邊中點M所連線段，由中點坐標(biāo)公式可得點M的坐標(biāo)為：即整理得：x+13y+5=0這就是BC邊上中線所在的直線的方程。 過A(-5,0),M 的直線方程MM 過(1,2)并且在兩個坐標(biāo)軸上

10、的截距相等的直線有幾條?解: 兩條例2:那還有一條呢？y=2x (與x軸和y軸的截距都為0)所以直線方程為：x+y-3=0a=3把(1,2)代入得：設(shè) 直線的方程為: 變式1： 過(1,2)并且在兩個坐標(biāo)軸上的截距的互為相反數(shù)的直線有幾條? 解：三條 變式2： 過(1,2)并且在兩個坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等的直線有幾條? 解得：a=b=3或a=-b=-1直線方程為：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x設(shè)0 xyab 例4. 已知直線 l 經(jīng)過點P(1，2)，并且點A(2，3)和點 B(4，-5)到直線l 的距離相等，求直線l 的方程.PxyoBA直線方程小結(jié)兩點坐標(biāo)兩點式點斜式兩個截距截

11、距式P97練習(xí)：1，P100習(xí)題組:3,4,8,9,11.作業(yè)直線的一般式方程小結(jié)點斜式斜率和一點坐標(biāo)斜截式斜率k和截距b兩點坐標(biāo)兩點式兩個截距截距式 以上我們介紹了直線方程的幾種特殊形式，它們都是關(guān)于x和y的二元一次方程，那么，關(guān)于x和y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不全為0)都表示直線嗎？思考？ 1. 平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個關(guān)于x，y的二元一次方程表示嗎？ 直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式都是關(guān)于X，y的二元一次方程 其中經(jīng)過點P（x0,y0)且斜率不存在的直線的方程： x-x0=0 可以看成y的系數(shù)為0的二元一次方程.2.反過來對于二元一次方程 Ax+B

12、y+C=0（A,B不全為零）能否表示直線？1）當(dāng)B0時可化為 表示經(jīng)過點（0， ），斜率k為 的直線.2) 當(dāng)B=0時，A0，方程可化為表示垂直于x軸的直線.思考？直線的一般式方程（其中A，B不同時為0）1. 所有的直線都可以用二元一次方程表示2. 所有二元一次方程都表示直線此方程叫做直線的一般式方程例1：求直線3X+5Y-15=0的斜率以及它在坐標(biāo)軸上的截距，并作圖。 例2 已知直線經(jīng)過點A（6，-4），斜率為 ，求直線的點斜式和一般式方程.練習(xí)：例3：設(shè)直線L的方程為： 根據(jù)下列條件分別確定m的值：（1）直線L在x軸上的截距是-3;（2）若L在兩坐標(biāo)軸上的截距相等； (3 ) 直線L的斜率

13、是1;（4）若L不經(jīng)過第二象限。在方程 中，A,B,C為何值時 ，方程表示的直線1）平行于X軸，2）平行于Y軸，3）與X軸重合，4）與Y軸重合，5) 過原點。兩條直線平行和垂直的條件平行垂直重合 例4 已知直線 l1：ax+(a+1)y-a=0 和 l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0， 若l1/l2，求a的值. 例5 已知直線l1：x-ay-1=0和l2:a2x+y+2=0，若l1l2，求a的值.例6練習(xí)：已知A（3，-1），B(5,-2)，點P在直線2x+y=0上，若使 取最小值，求P點的坐標(biāo)小結(jié)點斜式斜率和一點坐標(biāo)斜截式斜率k和截距b兩點坐標(biāo)兩點式兩個截距截距式一般式y(tǒng)-y1=k(x-x1)（1）這個方程是由直線上一點和斜率確定的（2）當(dāng)直線l的傾斜角為0時，直線方程為y=y1(3)當(dāng)直線傾斜角90時，直線沒有斜率，方程 式不能用點斜式表示，直線方程為x=x11.點斜式： y=kx+b 說明： （1）上述方程是由直線l的斜率和它的縱截距確定的，叫做直線的方程的斜截式。 （2）縱截距可以大于0，也可以等于0或小于0。2.斜截式：說明：（1）這個方程是由直線上兩點確定； （2）當(dāng)直線沒斜率或斜率為0時，不能用兩點式來表示；3.兩點式：說明:（1）這一