加強(qiáng)素質(zhì)教育優(yōu)化自動化專業(yè)人才培養(yǎng)模式(同名215)課件

1、第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二次課11.引言系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部其他變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式?？刂葡到y(tǒng)中常見的二種數(shù)學(xué)模型形式：1、外部描述：把系統(tǒng)的輸出量與輸入量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)方式表達(dá)出來，稱之為輸入輸出描述，或外部描述，例如微分方程、傳遞函數(shù)、框圖和差分方程。適用于單輸入、單輸出系統(tǒng)。22、內(nèi)部描述：不僅可以描述系統(tǒng)的輸入、輸出之間的關(guān)系，而且還可以描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性，稱之為狀態(tài)變量描述，或內(nèi)部描述，例如狀態(tài)變量空間法（矩陣），適用于多輸入、多輸出系統(tǒng)，也適用于時變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)和隨機(jī)控制系統(tǒng)。3 對控制系統(tǒng)的研究，一般都是建立在模型基礎(chǔ)上進(jìn)行的。常見的模型：

2、 數(shù)學(xué)模型 ：微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性 研究系統(tǒng)的動態(tài)特性 物理模型 ： 化學(xué)中的分子結(jié)構(gòu)模型 物理學(xué)中的力電模型 研究系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu) 圖模型 ：方塊圖、信號流程圖、樹圖等 兩者皆有 4 工程上常用的數(shù)學(xué)模型 ：微分方程自變量為時間 t控制系統(tǒng)在時間域的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)自變量為復(fù)數(shù) s控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型頻率特性自變量為頻率 w控制系統(tǒng)在頻域的數(shù)學(xué)模型5 “三域”模型及其相互關(guān)系6 微分方程、傳遞函數(shù)和頻率特性分別是系統(tǒng)在時間域、復(fù)數(shù)域和頻率域中的數(shù)學(xué)模型。人們在研究分析一個控制系統(tǒng)的特性時，可以根據(jù)對象的特點和工程的需要，人為地建立不同域中的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行討論。習(xí)慣上把用微分方程的求

3、解、分析系統(tǒng)的方法稱為數(shù)學(xué)分析法，把用傳遞函數(shù)、頻率特性求解、分析系統(tǒng)的方法稱為工程分析法。 一般來說，工程分析法比數(shù)學(xué)分析法直觀、方便，這也是我們引入復(fù)域、頻域數(shù)學(xué)模型的主要原因。7第一節(jié) 建立系統(tǒng)微分方程一、建立系統(tǒng)微分方程步驟（四步）1.明確系統(tǒng)的輸入輸出量；2.列些每個元件的輸入輸出的微分方程；3.各元件方程疊加，消中間量，求得系統(tǒng)輸出輸入方程；4.與輸出量有關(guān)項列左側(cè)，與輸入量有關(guān)項列右側(cè)。8二、舉例例2-1 R-L-C電路 (P13)二階微分方程r(t)uc(t)(t)9例2-3 阻尼器系統(tǒng) (P15)二階微分方程10本節(jié)重點：控制系統(tǒng)微分方程的建立的方法兩種典型控制系統(tǒng)微分方程的

4、建立。11復(fù)習(xí)：拉普拉斯變換12本節(jié)主要內(nèi)容：傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)典型環(huán)節(jié)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型第三次課第二節(jié) 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)13 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù)，可以： 不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)過程。 了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時系統(tǒng)動態(tài)過程的影響 -分析 可以對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對傳遞函數(shù)的要求-綜合傳遞函數(shù)的基本概念14一、傳遞函數(shù)的基本概念傳遞函數(shù)的定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下系統(tǒng)（或元件）輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設(shè)系統(tǒng)輸入r（t），輸出c（t）則系統(tǒng)傳遞函數(shù)為15例如 求RC電路傳遞函數(shù)。 r(t

5、)輸入量 c(t)輸出量復(fù)域: 傳遞函數(shù)時域 ： （RC=T） 微分方程16將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）當(dāng)傳遞函數(shù)和輸入已知時C(s)=G(s) R(s)。通過反變換可求出時域表達(dá)式c(t)。傳遞函數(shù)的基本概念稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)式中：r（t）為輸入信號，c（t）為輸出信號為常系數(shù)設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：17關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對應(yīng)。且與系統(tǒng)的動態(tài)特性一一對應(yīng)。傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的物理性質(zhì)。物理性質(zhì)截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。而研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)。傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的

6、結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。18傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個輸入信號，在求傳遞函數(shù)時，除了一個有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。傳遞函數(shù)是s的有理分式，對實際系統(tǒng)而言分母的階次n大于分子的階次m，此時稱為n階系統(tǒng)。19傳遞函數(shù)的基本概念 例1例1 求下圖的傳遞函數(shù)：20電阻 電容 電感 時域 復(fù)數(shù)域 21傳遞函數(shù)的基本概念 例2例2 求下圖的傳遞函數(shù)：22二、 典型環(huán)節(jié)及其數(shù)學(xué)模型 1、比例環(huán)節(jié)（又叫放大環(huán)節(jié)）特 點：輸出量按一定比例復(fù)現(xiàn)輸入量，無滯后、失真現(xiàn) 象。運動方程:

7、c(t)=Kr(t) K放大系數(shù)，通常都是有量綱的。傳遞函數(shù)：頻率特性： 23一些比例環(huán)節(jié)24實驗中的比例環(huán)節(jié)： 25 例 ：輸入：n1(t)轉(zhuǎn)速 Z1主動輪的齒數(shù) 輸出：n2(t)轉(zhuǎn)速 Z2從動輪的齒數(shù)運動方程：傳遞函數(shù)：頻率特性： 262、微分環(huán)節(jié) 特 點：動態(tài)過程中，輸出量正比于輸入量的變化速度。 運動方程：傳遞函數(shù)： 頻率特性： 27微分環(huán)節(jié)舉例 28實驗中的比例微分環(huán)節(jié)： 29例 RC電路 設(shè)：輸入ur(t) 輸出uc(t) 消去i(t)，得到：運動方程： 傳遞函數(shù)： （Tc=RC） 當(dāng)Tc1時，又可表示成：頻率特性：G（j）=jTc此時可近似為純微分環(huán)節(jié)。30 3、積分環(huán)節(jié) 特 點

8、：輸出量的變化速度和輸入量成正比。運動方程：傳遞函數(shù)：頻率特性： 31例1：積分電路輸入為r(t)，輸出為c(t) 運動方程： 傳遞函數(shù)： （T=R1C） 頻率特性： 32實驗中的比例積分環(huán)節(jié)： 33其它積分環(huán)節(jié)舉例34 4、慣性環(huán)節(jié)(又叫非周期環(huán)節(jié)) 特點：此環(huán)節(jié)中含有一個獨立的儲能元件，以致對突變的輸 入來說，輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，存在時間上的延遲。運動方程：傳遞函數(shù)：頻率特性： 35例如 求RC電路傳遞函數(shù)。 r(t)輸入量 c(t)輸出量復(fù)域: 傳遞函數(shù)時域 ： （RC=T） 微分方程36例：直流電機(jī)輸入量: ud 電樞電壓輸出量： id 電樞電流動態(tài)方程如下：運動方程：傳遞函數(shù): 式中

9、Ld 電樞回路電感； Rd 電樞回路電阻； d 電樞繞組的時間常數(shù)；37其他一些慣性環(huán)節(jié)例子 一階水箱，水銀溫度計等38 5、振蕩環(huán)節(jié) 特點：包含兩個獨立的儲能元件，當(dāng)輸入量發(fā)生變化時，兩個 儲能元件的能量進(jìn)行交換，使輸出帶有振蕩的性質(zhì)。運動方程：傳遞函數(shù)： 式中：阻尼比， T振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。頻率特性： 39例1：RLC電路解：消去中間變量i(t)得到運動方程：傳遞函數(shù)：頻率特性： 40例3：機(jī)械裝置 輸入-力 ： f(t)， 輸出-位移： x(t) 。微分方程式中：K彈簧彈性系數(shù)； M物體的質(zhì)量， B粘性摩擦系數(shù)。 傳遞函數(shù)： 41 6、一階微分環(huán)節(jié) 特 點：此環(huán)節(jié)的輸出量不僅與輸入量本身 有關(guān)，而且與輸入量的變化率有關(guān)運動方程：傳遞函數(shù)： G( s ) = Ts + 1頻率特性： G( j ) = j T + 1 42RC電路輸入：u(t)，輸出：i(t) ，則 傳遞函數(shù)： （R=1 RC= ） 頻率特性： 一階微分環(huán)節(jié)可看成一個微分環(huán)節(jié)與一個比例環(huán)節(jié)的并聯(lián)，其傳遞函數(shù)和頻率特性是慣性環(huán)節(jié)的倒數(shù)。437、二階微分環(huán)節(jié) 特點：輸出與輸入及輸入一階、二階導(dǎo)數(shù)都有關(guān)運動方程： 傳遞函數(shù)：頻率特性： 可以看出，二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和頻率特性是振蕩環(huán)節(jié)的倒數(shù)。 44典型環(huán)節(jié)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型45小結(jié)（1）不同物理性質(zhì)