分形幾何學(xué)英國海岸線長度課件

1、第六講 一種純真追求野性之美主講教師：孫淑娥目錄一、分形幾何學(xué)二、混沌現(xiàn)象三、分形產(chǎn)生的意義四、純真與野性之美三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育自20世紀(jì)以來，人們認(rèn)識到自然界許多的隨機(jī)現(xiàn)象已經(jīng)難用歐氏幾何來描述了。如植物的形態(tài)、海岸線的長度、山脈、星系分布、云朵聚合、天氣模式、肺部支氣管分支及血管微循環(huán)管道等等，只能用“分形”的工具才能作最好的描述。分形形態(tài)是自然界普遍存在的，研究分形，是探討自然界的復(fù)雜事物的客觀規(guī)律及其內(nèi)在聯(lián)系的需要，分形提供了新的概念和方法。 一、分形幾何學(xué)描述宇宙的分形幾何三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 一、分形幾何學(xué)分形圖形三、數(shù)學(xué)與文化素質(zhì)教育一、分形幾何學(xué)三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育同一個國家的海岸

2、線長度，竟然有百分之二十的誤差，Lewis Fry Richardson 指出 ：這種誤差是因?yàn)樗麄兪褂貌煌L度的量尺所導(dǎo)致的。同時發(fā)現(xiàn)海岸線長度 L 與測量尺度 s 的關(guān)係如下，其中，值得注意的是 log(1/s) 與 log(L) 呈線性關(guān)係，其斜率為一定值 d： 一、分形幾何學(xué)歷史資料數(shù)據(jù)三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 一、分形幾何學(xué)英國海岸線長度？瑞典數(shù)學(xué)家柯赫曲線三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育分形一詞譯于英文，系分形幾何的創(chuàng)始人曼德勃羅（B.B.Mandelbrot）于 1973年由拉丁語Frangere一詞創(chuàng)造而成，詞本身具有破碎、不規(guī)則等含義。如：連綿的山川、飄浮的云朵、巖石的斷裂口、粒子的布朗運(yùn)動、樹

3、冠、花菜、大層Mandelbrot把這些部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形(fractal)。1973年，他創(chuàng)立了分形幾何學(xué)(Fractal Geometry)。在此基礎(chǔ)上，形成了研究分形性質(zhì)及其應(yīng)用的科學(xué)，稱為分形理論。 一、分形幾何學(xué)分形定義三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育線性分形又稱為自相似分形。自相似原則和迭代生成原則是分形理論的重要原則。它表征分形在通常的幾何變換下具有不變性，即標(biāo)度無關(guān)性。由自相似性是從不同尺度的對稱出發(fā)，也就意味著遞歸。分形形體中的自相似性可以是完全相同，也可以是統(tǒng)計(jì)意義上的相似。有規(guī)分形只是少數(shù)，絕大部分分形是統(tǒng)計(jì)意義上的無規(guī)分形。如科赫曲線（Koch snowflake

4、）、謝爾賓斯基地毯（Sierpinski carpet）少數(shù)。 一、分形幾何學(xué)分形原則三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 Julia集合：Zn+1=Zn2+C朱利亞集合由一個復(fù)變函數(shù)生成，其中C為常數(shù)。在復(fù)平面上任意取一個點(diǎn)Z，其值是復(fù)數(shù)，將其代入上面方程中進(jìn)行反復(fù)迭代運(yùn)算，則Z平面上部分區(qū)域收斂，部分區(qū)域發(fā)散，收斂與發(fā)散的邊界，即為Julia集合的圖形。根據(jù)C、Z0的不同會生成不同的Julia集合。由上式反復(fù)迭代得到的集合稱為Mandelbrot集。Zk序列有兩種情況：1）自由的朝著無窮大方向擴(kuò)散，即發(fā)散；2）被限制在復(fù)平面的某一區(qū)域內(nèi)，即收斂。 一、分形幾何學(xué)數(shù)學(xué)原理三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育朱利亞集合生成的圖形

5、，由于C可以是任意值，所以當(dāng)C取不同的值時，制出的圖形也不相同。 一、分形幾何學(xué)數(shù)學(xué)原理三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育從朱利亞集的生成過程可以看出：對應(yīng)于曼德勃羅集中的每一個點(diǎn)，都有一個朱利亞集。下圖左側(cè)圖是曼德勃羅集，右側(cè)是對應(yīng)于曼德勃羅圖形中（x=0.379,y=0.184）處的朱利亞集。 一、分形幾何學(xué)曼德勃羅集與朱利亞集三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 一、分形幾何學(xué)曼德勃羅集中不同點(diǎn)對應(yīng)的朱利亞集三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育曼德勃羅圖形上的每一個不同的點(diǎn)，對應(yīng)一個不同的朱利亞集，朱利亞集（復(fù)數(shù)c為定值）和曼德勃羅集是有密切關(guān)系的。那么，曼德勃羅圖形上的每一個點(diǎn)是什么呢？它代表迭代公式中不同的C值。因此，給定一個C，就能

6、產(chǎn)生一個朱利亞集。的確，朱利亞集是用與曼德勃羅集同樣的非線性迭代方法產(chǎn)生的： Zn+1 = Zn2 + C 一、分形幾何學(xué)曼德勃羅集與朱利亞集三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育分維，又稱分形維或分?jǐn)?shù)維，作為分形的定量表征和基本參數(shù)，是分形理論的又一重要原則。數(shù)學(xué)家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了連續(xù)空間的概念,也就是空間維數(shù)是可以連續(xù)變化的,它可以是整數(shù)也可以是分?jǐn)?shù),稱為豪斯道夫維數(shù)。記作Df,一般的表達(dá)式為:K=LDf,也作K=(1/L)(-Df),取對數(shù)并整理得Df=lnK/lnL,其中L為某客體沿其每個獨(dú)立方向皆擴(kuò)大的倍數(shù),K為得到的新客體是原客體的倍數(shù)。顯然,Df在一般情況下是一個分?jǐn)?shù)。

7、例如，koch曲線的 Df=lnK/lnL=ln4/ln3=1.26186. 一、分形幾何學(xué)重要原則三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育分?jǐn)?shù)維度是基于分形理論產(chǎn)生的。由于圖形擁有自相似性，產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)維度。英國的海岸線為什么測不準(zhǔn)?因?yàn)闅W氏一維測度與海岸線的維數(shù)不一致。根據(jù)曼德布羅特的計(jì)算,英國海岸線的維數(shù)為1.25(M)。有了分維,海岸線的長度就確定了。美國物理學(xué)大師約翰惠勒說過：今后誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學(xué)上的文化人。 一、分形幾何學(xué)海岸線長度不準(zhǔn)的原因三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育一般認(rèn)為非線性、隨機(jī)性、耗散性是出現(xiàn)分形結(jié)構(gòu)的必要物理?xiàng)l件。非線性是指運(yùn)動方程中存在非線性項(xiàng)（迭代）；隨機(jī)性是反映了系統(tǒng)內(nèi)在的隨機(jī)性

8、；耗散性強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)的開放性，研究熵變的過程和機(jī)制，即宇宙的“有序與無序，物質(zhì)與能量和信息的相互轉(zhuǎn)換的兩大循環(huán)?！毕到y(tǒng)產(chǎn)生分形結(jié)構(gòu)充分條件是“吸引子（Attractor）”。不嚴(yán)格地說，一個吸引子就是一個集合，并使附近的所有軌道都收斂到這個集合上。 一、分形幾何學(xué)產(chǎn)生分形之因三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 分形幾何不僅展示了數(shù)學(xué)之美，也揭示了世界的本質(zhì)，還改變了人們理解自然奧秘的方式。分形藝術(shù)具有和傳統(tǒng)藝術(shù)一樣的和諧、對稱等特征的美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)。自相似性又揭示了一種新的對稱性，是大小比例的對稱，即系統(tǒng)中的每一元素都反應(yīng)和含有整個系統(tǒng)的性質(zhì)和信息，是局部與整體的對稱。分形圖形中那種分叉、纏繞、不規(guī)則的邊緣和豐富的變換

9、，給人們一種純真的追求野性的美感，一種未開化的、為馴服過的天然情趣。法國印象派大師雷諾所說的“一覽之余則不成藝術(shù)”。 一、分形幾何學(xué)分形之美三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育1963年美國氣象學(xué)家愛德華諾頓洛倫茲提出混沌理論（Chaos）。著名的洛倫茲吸引子方程：分形與混沌動力學(xué)之間的聯(lián)系，是混沌的奇異吸引子都是分形?！胺中螏缀螌W(xué)”和“分維”概念已經(jīng)成為混沌學(xué)研究的工具。分形學(xué)與混沌理論聯(lián)手，成為研究復(fù)雜世界的銳利武器。正如老子說：“玄而又玄，眾妙之門”。 二、混沌現(xiàn)象分形與混沌關(guān)系三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 二、混沌現(xiàn)象洛倫茲吸引子三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育世界是非線性的，分形無處不在。分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)

10、的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義。分形幾何學(xué)是混沌理論的一項(xiàng)工具，研究對象是混沌的現(xiàn)象，混沌是相對于歐幾里得幾何學(xué)和線性數(shù)學(xué)而言的。在非線性系統(tǒng)內(nèi)，穩(wěn)定僅是暫時的特例，混沌才是永恒的現(xiàn)象。一個“混沌吸引子”穩(wěn)定中有不穩(wěn)定，它由無數(shù)個小吸引子組成。一個混沌系統(tǒng)，雖然從局部來看是不可預(yù)測的，但從整體來看是有其規(guī)律的。 二、混沌現(xiàn)象分形與混沌關(guān)系三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育設(shè)V是一個集合， 稱為在V上是混沌的，如果： 1） f對初始條件的敏感依賴性； 2） f是拓?fù)鋫鬟f的； 3） 周期點(diǎn)在V中是稠密的。比如，煙頭燃燒，在沒有任何外力情況下，煙會自動分解。煙何時分解？分解原因？分解方

11、向可以預(yù)測？ 二、混沌現(xiàn)象混沌定義三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育邏輯斯蒂映射（Logistic）：x1=kx0(1-x0)首先選定一個在(0,4)區(qū)間內(nèi)的參數(shù)k，然后對于任意一個(0,1)區(qū)間內(nèi)的初始值x0，反復(fù)迭代，得x1，x2，. 。對于取值不太大的k，通過多次迭代發(fā)現(xiàn)不管初始值如何，最后結(jié)果總是穩(wěn)定的，而且穩(wěn)定態(tài)不依賴于初始值。但當(dāng)k超過3時，情況發(fā)生變化，穩(wěn)定態(tài)變?yōu)閮蓚€數(shù)值。繼續(xù)增大k到3.444時，周期2的穩(wěn)定態(tài)也不再出現(xiàn)，出現(xiàn)周期4循環(huán)。當(dāng)增大到3.56，周期又加倍到8；到3.567，周期達(dá)到16，此后便是更快速的32，64，128周期倍增數(shù)列。以至到3.5699就結(jié)束了，倍周期分岔現(xiàn)象突然中

12、斷：周期性讓位于混沌。 二、混沌現(xiàn)象混沌現(xiàn)象的分析三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 二、混沌現(xiàn)象混沌三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 二、混沌現(xiàn)象混沌三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 二、混沌現(xiàn)象混沌三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育（1）對初始條件的敏感依賴性。（2）極為有限的可預(yù)測性。（3）混沌的內(nèi)部存在著超載的有序。例如，1979年12月，洛倫茲在華盛頓的美國科學(xué)促進(jìn)會的一次講演中提出：一只蝴蝶在巴西扇動翅膀，有可能會在美國的德克薩斯引起一場龍卷風(fēng)?！昂?yīng)”之所以令人著迷、令人激動、發(fā)人深省，不但在于其大膽的想象力和迷人的美學(xué)色彩，更在于其深刻的科學(xué)內(nèi)涵和內(nèi)在的哲學(xué)魅力。 “蝴蝶效應(yīng)”反映了混沌運(yùn)動的一個重要特征：系統(tǒng)的長期行為對初始條件的

13、敏感依賴性。 二、混沌現(xiàn)象混沌特征三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 混沌理論是當(dāng)今世界最偉大的理論之一。它是社會科學(xué)與自然科學(xué)最完美結(jié)合的理論.它研究如何把復(fù)雜的非穩(wěn)定事件控制到穩(wěn)定狀態(tài)的方法，它研究世界如何在不穩(wěn)定的環(huán)境中穩(wěn)定發(fā)展的問題。.混沌方法對于處理復(fù)雜多變、動蕩不定的重大事件有特殊功效混沌世界是紛繁復(fù)雜多變的世界?！跋鄬φ撓岁P(guān)于絕對空間和時間的幻想；量子力學(xué)則消除了關(guān)于可控測量過程的牛頓式的夢；而混沌則消除了拉普拉斯關(guān)于決定論式可預(yù)測的幻想?！?三、分形產(chǎn)生的意義對混沌研究的作用三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 我們了解了美妙的曼德勃羅集和朱利亞集圖形的產(chǎn)生過程。這種非線性迭代法產(chǎn)生的分形不僅僅以其神秘復(fù)雜

14、，變化多姿受到藝術(shù)家們的寵愛，數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)愛好者們的青睞，也激勵了與此緊密相關(guān)的混沌理論及非線性動力學(xué)的發(fā)展。以至于人們將后者譽(yù)為二十世紀(jì)之內(nèi)可與相對論，量子力學(xué)媲美的科學(xué)的第三次革命。上世紀(jì)九十年代，學(xué)術(shù)各界，包括科技、藝術(shù)、社會、人文、幾乎每個領(lǐng)域都有涉及分形的研究：股市專家們在市場龐大數(shù)據(jù)中尋找自相似性，音樂家們要聽聽，按照分形規(guī)則創(chuàng)造的旋律，是否更具神秘感。 三、分形產(chǎn)生的意義對科學(xué)發(fā)展的作用三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 分形似乎具有某種風(fēng)韻，是一種狂放不羈的自由、一種未開化的、未馴養(yǎng)過的天然情趣、一種新的審美理想和新的審美情趣 ；是一種純真追求野性的美。它令人們充滿了想象的自由，卻又似乎被某種力量所折服。 正像法國印象派大師雷諾所說的“一覽之余則不成藝術(shù)”。 四、純真與野性之美特征三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 簡單中蘊(yùn)含著復(fù)雜是局部與整體的對稱、混亂中的秩序、平衡中尋找動勢、普遍的對應(yīng)與制約“須臾納永恒” 美國詩人布萊克： 一沙見世界，一花窺天堂。 手心握無限，須臾納永恒。 四、純真與野性之美本質(zhì)三、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育 分形理論的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了理論的發(fā)展。“自相似性”分形已經(jīng)滲透到各個領(lǐng)域。比如，自然分形，社會分形，思維分形，時間分形，詩詞分形；應(yīng)用之廣