第五節(jié)泊松過程

1、第五節(jié) 泊松過程泊松過程最簡單的事件流泊松流泊松流的性質(zhì)11 泊松過程泊松過程是一種恒定增長率的純增過程。k= k=0泊松過程是一種計(jì)數(shù)過程，例如對到達(dá)的顧客進(jìn)行計(jì)數(shù)。各個(gè)狀態(tài)的增長率是穩(wěn)定的，說明顧客到達(dá)的事件流是平穩(wěn)的012345n21 泊松過程考察t時(shí)間內(nèi)狀態(tài)數(shù)增長k的概率，也就是狀態(tài)從i轉(zhuǎn)移到i+k的概率：用pi,i+k(t)表示t時(shí)間后狀態(tài)增長了k的概率設(shè) 建立方程組（利用K氏前向方程 ）31 泊松過程求解得：41 泊松過程pi,i(0)=1，0時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)中顧客數(shù)增長0個(gè)pi,i+k(t)表示t時(shí)間后系統(tǒng)中顧客數(shù)增加了k個(gè)的概率，也就是在t時(shí)間內(nèi)到達(dá)了k個(gè)顧客的概率0X(t)time

2、iik51 泊松過程 獨(dú)立增量用Pk(t)表示在長度為t的時(shí)間段內(nèi)發(fā)生k個(gè)事件的概率，則 這就是泊松分布。 兩個(gè)變量：k 事件個(gè)數(shù) t 時(shí)間長度61 泊松過程t時(shí)間內(nèi)，平均發(fā)生的事件數(shù)是多少？72 泊松流隨機(jī)事件流通常把在隨機(jī)時(shí)刻出現(xiàn)的事件序列稱為隨機(jī)事件流。泊松流如果事件發(fā)生的個(gè)數(shù)為泊松過程的增長規(guī)律，則此事件流為泊松流，為泊松流的強(qiáng)度時(shí)間82 泊松流泊松流最簡單事件流，特點(diǎn)為平穩(wěn)性。在任何一段長度為t的時(shí)間區(qū)間內(nèi)，出現(xiàn)任意數(shù)量事件的概率只與t有關(guān)，而與t所處的位置（或與起始時(shí)刻）無關(guān)。記為平穩(wěn)流的強(qiáng)度。無后效性（又稱無記憶性或者馬氏性）。在互不相交的兩時(shí)間區(qū)間T1、T2內(nèi)所出現(xiàn)的事件數(shù)是相

3、互獨(dú)立的。普通性。在同一瞬間，多于一個(gè)顧客出現(xiàn)的概率（或同時(shí)到達(dá)系統(tǒng)有兩個(gè)或兩個(gè)以上顧客的概率）可忽略不計(jì)。 92 泊松流普通性：考察泊松流中，極短時(shí)間t內(nèi)到達(dá)k個(gè)顧客的概率：103 泊松流的性質(zhì)負(fù)指數(shù)分布與泊松流的密切關(guān)系隨機(jī)時(shí)間到達(dá)的間隔時(shí)間相互獨(dú)立且服從同一參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，則這樣的隨機(jī)事件流就是泊松流，強(qiáng)度為定理5.1 設(shè)1,2, k,表示相繼到達(dá)的隨機(jī)事件的間隔時(shí)間，假定它們服從同一負(fù)指數(shù)分布，參數(shù)為，則在(0,t時(shí)間內(nèi)到達(dá)的隨機(jī)事件數(shù)N(t)服從泊松分布，即：113 泊松流的性質(zhì)推論若服務(wù)臺一直忙，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，則服務(wù)臺輸出的顧客流是參數(shù)的泊松流定理5.2如果某

4、隨機(jī)事件流是泊松流，則隨機(jī)事件相繼出現(xiàn)的間隔時(shí)間彼此獨(dú)立，且服從同一負(fù)指數(shù)分布。123 泊松流的性質(zhì)泊松流的合成與分解定理5.3設(shè)N1(t)與N2(t)分別是參數(shù)為1與2的泊松流，且N1(t)與N2(t)相互獨(dú)立，則合成流N1(t)+N2(t)是參數(shù)為1+2的泊松流121+2133 泊松流的性質(zhì)定理5.4設(shè)某事件流N(t) 是參數(shù)為的泊松流，每一到達(dá)的事件以概率p進(jìn)入系統(tǒng)，設(shè)X(t)表示進(jìn)入系統(tǒng)的事件流，則X(t)是參數(shù)為p的泊松流p(1-p)144 電話交換臺例題考察某電話交換臺，用戶在隨機(jī)時(shí)刻0t1t2=2是相互獨(dú)立且負(fù)指數(shù)分布，參數(shù)為。用n表示第n個(gè)呼喚的持續(xù)時(shí)間（或服務(wù)時(shí)間），它們是相互獨(dú)立且具有參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布。又設(shè)有M條或無窮多條線可供利用。這樣，在后一種情形，所有呼喚到來即被接通，對前一種情形，若呼喚到達(dá)時(shí)，系統(tǒng)中已有n個(gè)呼叫正在進(jìn)行，則假定n=M，因M條外線已被占用，則新到達(dá)的呼喚必須排隊(duì)等到其中一條線路空出為止，并且所有線路只有一個(gè)隊(duì)列。討論線路的利用情況 154 電話交換臺例題分析：用X(t)表示t時(shí)刻系統(tǒng)中存在的呼叫數(shù)量由于輸入的間隔時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布，輸入是泊松流，所以系統(tǒng)在足夠短的時(shí)間之內(nèi)最多有一個(gè)新的呼喚呼入。由于系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布，所以非常短時(shí)間內(nèi)最多有一個(gè)呼喚釋放，兩個(gè)呼喚同時(shí)釋放的概率是o(t)。 因此這