高考真題——理科數(shù)學(xué)廣東卷含解析

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(xué)理科)一.選擇題：本大題共8個(gè)小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1,若集合 M =x|(x+4)(x+1) = 0 , N =x|(x- 4)(x- 1)= 0,貝U M I N =A.B.1, 4C.0D. 1,4L解析】因?yàn)? ,x I1 x- 41 x-l-11 =1 t ； = 12 ;y 4li 工一11 0； = ： L 4； ?所以【考點(diǎn)定位】本題考查一元二次方程、集合的基本運(yùn)算，屬于容易題.2.若復(fù)數(shù)z i 3 2i(i是虛數(shù)單位)，則zA. 3 2i【答案】D .B. 3 2i

2、C. 2 3iD. 2 3i【解析】因?yàn)閦 i 3 2i2 3i ,所以z 2 3 ,故選D .【考點(diǎn)定位】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，屬于容易題.3.下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是x1A. y x eB. y x x【答案】A.C.2x2xD. y 1 x2【解析】令f xx 一x e ,則 f 11 e, f 1f 1 ,所以y x ex既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),而BCD依次是奇函數(shù)、偶函數(shù)、偶函數(shù)，故選A.【考點(diǎn)定位】本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于容易題.4.袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球。從袋中任取 2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概

3、率為A. 111B.2110C.21D.212_ 1 _ 1_【解析】從袋中任取 2個(gè)球共有C15 105種，其中恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球共有G0c5 50種,所以恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為 處=，故選B.105 21【考點(diǎn)定位】本題考查排列組合、古典概率的計(jì)算，屬于容易題.5.平行于直線2x y 1 0且與圓x2 y22x y V5 0 或 2x y 遙 0C. 2x y 5 0或2x y 5 0【答案】D .5相切的直線的方程是2x y V5 0 或 2x y 75 0D. 2x y 5 0 或 2x y 5 0【解析】設(shè)所求知線方程為2工十1+t二ci,依題有解得仁二小，所以所求切線的直線

4、方程為工里一1一5二0或上,一工-5=0,故選【考點(diǎn)定位】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于容易題.4x 5y 86.若變量x ,y滿足約束條件則z 3x 2y的最小值為31A. 一5【答案】C .B. 6C.235D. 4【解析】不等式所表示的可行域如下圖所示,23z,4 r-x 經(jīng)過A 1,時(shí)，z取225由z 3x 2y得y -X三，依題當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線l：y22 ，一4 23 一得最小值即Zmin 3 1 2 4 23 ,故選C【考點(diǎn)定位】本題考查二元一次不等式的線性規(guī)劃問題，屬于容易題.7.已知雙曲線C :2 y_ b21的離心率e55,且其右焦點(diǎn)F2 5,0 ,則雙曲線C的方程4A.B.

5、16 HYPERLINK l bookmark94 o Current Document 2222x y /x y /C. 1 D. 1 HYPERLINK l bookmark76 o Current Document 91634【答案】B .【解析】因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為c 5F2 5,0且離心率為e ,所以ca 422b2 c2 a2 9所以所求雙曲線方程為 169【考點(diǎn)定位】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單基本性質(zhì)，屬于容易題.若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù) n的取值D.至多等于3A.大于5B.等于5C.至多等于4【答案】C .【解析】正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)是兩兩距離相等的

6、，即空間中注個(gè)不局的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整酸的取值至多等于人 下面用反證法：假退空間中有4個(gè)，故選C1.【考點(diǎn)定位】本題考查空間想象能力、推理能力，屬于中高檔題.第II卷（共110分）二.填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.（一）必做題（913題）.在（Jx 1）4的展開式中，x的系數(shù)為【答案】6.【解析】由題可知Tr 1一 4 rC； ,x1 rC；4 r1 r X 21解得r 2,所以展2開式中x的系數(shù)為C216,故應(yīng)填入6.【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理，屬于容易題.在等差數(shù)列 a中，若a3 a4 a5 a6 a7 25,則a? a8=【答案】10.【解析】

7、 因?yàn)?an 是等差數(shù)列，所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 ,a3a4a5a6 a75a525 即 %5,a2a82a510,故應(yīng)填入 10.【考點(diǎn)定位】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及簡單運(yùn)算，屬于容易題. 、一 一一 .1.-1/ 九 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark98 o Current Document .設(shè) ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a , b, c,若a V3, SinB C -, 26則b 【答案】1.【解析】因?yàn)閮秐S二士且三口.，所以3 =匚或* = ,又匚=二，所以區(qū) 26666* tra bbA = 7T-B-C =

8、 t又也=/，由正弦定理得，一=；-即解得故應(yīng)填入L 2sin sin B笈【考點(diǎn)定位】本題考查正弦定理解三角形，屬于容易題.12、某高三畢業(yè)班有 40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了 條畢業(yè)留言.（用數(shù)字作答）【答案】1560.【解析】依題兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了 A20 40 39 1560條畢業(yè)留言，故應(yīng)填入1560.【考點(diǎn)定位】本題考查排列組合問題，屬于中檔題.13、已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布n, p ,若 30, D 20,則p TOC o 1-5 h z -1【答案】1 . 3L 、，“If、，11【解析】

9、依題可得 E X np 30且D X np 1 p 20,解得p -，故應(yīng)填入一 .33【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)，屬于容易題.（二）選做題（1415題，考生從中選做一題）一. _. 兀、 /_.一 一14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知直線l的極坐標(biāo)方程為2 Sin（ -） 22，點(diǎn)A的極坐4標(biāo)為A 2亞1,則點(diǎn)A到直線l的距離為，4【答案】5.2【解析】依題已知直線l ： 2 sin J2和點(diǎn)A 242 7 可化為l ： x y 1 0和41422 15J2A 2, 2 ,所以點(diǎn)A與直線l的距離為d -,故應(yīng)填入.12122【考點(diǎn)定位】本題考查極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)的互化、點(diǎn)與直線的

10、距離，屬于容易題.15.（幾何證明選講選作題）如圖 1,已知AB是圓。的直徑，AB 4, EC是圓。的切線, 切點(diǎn)為C ,BC 1,過圓心。做BC的平行線，分別交 EC和AC于點(diǎn)D和點(diǎn)P ,則OD E圖1【答案】8.【解析】如下圖所示，建接。e,因?yàn)?。d sc,又淳c_ac,所以op_ac,反。為u2線度的中點(diǎn)，所以。= L 在HhOC。中.OC=-AS = 2f由直第三條形的射手定理可得 , OCZ =OP ODOD =- = S* 8* i 1產(chǎn)、一 一用 I e = 3一一*e令加i = 1 -哂7,則g (?i)=1一1 .由知，*口得網(wǎng)0.由卻(加:Y。得叫上0 ,函覷的機(jī)1在i-菱

11、曲上單調(diào)建城，在上單調(diào)喋醇/. (澗)31bl /(。)即g(加)0在R上恒成立 ”苫叫士m1，.二左一1 二 11 - s?i f 二 11- 門工一附 | = tl - m f ；金二 1 - J?! ?M e.二院后T.【考點(diǎn)定位】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn)、不等式等知識，屬于中高檔題.20.(本小題滿分14分)已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1:x2 + y2-6x + 5 = 0相交于不同的兩點(diǎn) A, B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；(3)是否存在實(shí)數(shù)k ,使得直線L: y = k(x - 4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)：若存在，求出k的取值范圍；若不存

12、在，說明理由2、5 2,5333【答案】(1) 3,0 ; (2) x(3) TOC o 1-5 h z 22_22【解析】(1)由x2 y2 6x 5 0得x 3 y 4,圓Ci的圓心坐標(biāo)為3,0 ;設(shè)M x, y，則點(diǎn)M為弦AB中點(diǎn)即C1M AB ,kc1M kAB 1 即一1x 3 x線段AB的中點(diǎn)M的軌跡的方程為(3)由(2)知點(diǎn)M的軌跡是以c|，。為圓心3為半徑的部分圓弧2EF(如下圖所示,不包括兩端點(diǎn))“Eg2.553,2.5過定點(diǎn)D 4,0 ,2.52:57一4、0結(jié)合上圖可知當(dāng) kU O 4 4C數(shù)列an滿足a1 2a2/ n 2 nan 4 -27TL： y k x 4與曲線

13、C只有一個(gè)交點(diǎn)./【考點(diǎn)定位】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、軌跡方程、直線斜吊/檢才形結(jié)合思想等應(yīng)用, 屬于中高檔題.21 .(本小題滿分14分)(1)求a3的值;(2)求數(shù)列an前n項(xiàng)和Tn ；令b1年1/1-an n 2 ,證明：數(shù)列 bn的刖n項(xiàng)和 n滿足 Sn2 2ln n【答案】(1)1； (2) 24n 111; (3)見解析.2【解析】(1)體題孫=I % - 2電-3%IT牝-：牝=4(2)體題當(dāng)1時(shí).1 1 *1,又/=i也適合此式,敖列匕是首項(xiàng)為1,公比為上的等比數(shù)列,1故 r.=-1-1(3)依題由bnaa?Lan 1d1,1a1.11Lan知。a1，d1a2,2n22-p-?4=1一二：面-e%=1一二工L 7J7 L /n .1記 fx I = tu x- - -1 l l.則，Tx 1 = L = J 0 !.tx 廠 r/(Nl在iL-工上是噌函敬，又由。即/工aQ，又啟三二三：日