IIR數(shù)字濾波器的設計方法2

1、6.4、用模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器設計思想： s 平面 z 平面模擬系統(tǒng) 數(shù)字系統(tǒng)H(z) 的頻率響應要能模仿 Ha(s) 的頻率響應，即 s 平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓因果穩(wěn)定的 Ha(s) 映射到因果穩(wěn)定的 H(z) ，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的單位圓內 |z| 1設計方法：- 沖激響應不變法- 階躍響應不變法- 雙線性變換法6.5、沖激響應不變法數(shù)字濾波器的單位沖激響應 模仿模擬濾波器的單位沖激響應1、變換原理T抽樣周期根據(jù)理想采樣序列拉氏變換與模擬信號拉氏變換的關系 理想采樣 的拉氏變換 與模擬信號 的拉氏變換 之間的關系。 理想采樣 的拉氏變

2、換 與采樣序列 的 Z 變換 之間存在的 S 平面與 Z 平面的映射關系。s平面與z平面的映射關系 以上表明，采用沖激響應不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時，它所完成的 S 平面到 Z 平面的變換，正是拉氏變換到Z變換的標準變換關系，即首先對Ha(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過 的映射關系映射到 Z 平面上。穩(wěn)定性： 如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則所有極點 Si 都在S左半平 面，即 Resi0 , 那么變換后H(Z)的極點 也都在單位圓以內，即 ,因此數(shù)字濾波器保持穩(wěn)定。 S平面上每一條寬為 的橫帶部分，都將重疊地映射到Z平面的整個平面上: 每一橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓以內， 每一橫帶的右

3、半部分映射到Z平面單位圓以外， 軸映射到單位圓上， 軸上每一段 都對應于繞單位圓一周。映射關系 ：S 平面Z 平面Z=esT的映射關系反映的是Ha(s)的周期延拓與 H（Z）的關系，而不是Ha(s)本身與H（Z）的關系，因此，使用沖激響應不變法時，從Ha(s)到H(z)并沒有一個由S平面到Z平面的一一對應的簡單代數(shù)映射關系，即沒有一個S=f(z)代數(shù)關系式。2、混迭失真僅當數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真：數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓，周期為 實際系統(tǒng)不可能嚴格限帶，都會混迭失真，在 處衰減越快，失真越小當濾波器的設計指標以數(shù)字域頻率 給定

4、時，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象3、模擬濾波器的數(shù)字化方法系數(shù)相同：極點：s 平面 z 平面穩(wěn)定性不變：s 平面 z 平面S平面的極點與Z平面的極點一一對應，但兩平面并不一一對應。當T 很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正令：則：試用沖激響應不變法，設計IIR數(shù)字濾波器例：設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：設T = 1s，則模擬濾波器的頻率響應：數(shù)字濾波器的頻率響應：4、優(yōu)缺點優(yōu)點：缺點：保持線性關系：線性相位模擬濾波器轉變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器頻率響應混迭只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應時域逼近良好6.6、階躍響應不變

5、法變換原理數(shù)字濾波器的階躍響應 模仿模擬濾波器的階躍響應T 抽樣周期階躍響應不變法同樣有頻率響應的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應不變法要小。6.7、雙線性變換法1、變換原理使數(shù)字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似。沖激響應不變法、階躍響應不變法：時域模仿逼近缺點是產(chǎn)生頻率響應的混疊失真為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應關系，引入系數(shù) c2、變換常數(shù)c的選擇2）某一特定頻率嚴格相對應：1）低頻處有較確切的對應關系：特定頻率處頻率響應嚴格相等，可以較準確地控制截止頻率位置3、逼近情況1）s平面虛軸z平面單位圓2）左半平面單位圓內s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上4、優(yōu)缺點優(yōu)

6、點：避免了頻率響應的混迭現(xiàn)象s 平面與 z 平面為單值變換缺點： 除了零頻率附近， 與 之間嚴重非線性2）要求模擬濾波器的幅頻響應為分段常數(shù)型，不然會產(chǎn)生畸變1）線性相位模擬濾波器 非線性相位數(shù)字濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點產(chǎn)生畸變預畸變給定數(shù)字濾波器的截止頻率 ，則按 設計模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到 為截止頻率的數(shù)字濾波器5、模擬濾波器的數(shù)字化方法可分解成級聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)6.8、常用模擬低通濾波器特性將數(shù)字濾波器技術指標轉變成模擬濾波器技術指標，設計模擬濾波器，再轉換成數(shù)字濾波器模擬濾波器巴特沃斯 Butterwo

7、rth 濾波器切比雪夫 Chebyshev 濾波器橢圓 Ellipse 濾波器貝塞爾 Bessel 濾波器1、由幅度平方函數(shù) 確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實函數(shù)將左半平面的的極點歸將以虛軸為對稱軸的對稱零點的任一半作為 的零點，虛軸上的零點一半歸由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)將 因式分解，得到各零極點對比 和 ，確定增益常數(shù)由零極點及增益常數(shù)，得例：解：極點：零點： （二階）零點：的極點：設增益常數(shù)為K02、Butterworth 低通逼近幅度平方函數(shù)：當稱 為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N為濾波器的階數(shù)為通帶截止頻率1）幅度函數(shù)特點： 3dB不變性 通帶內有最大平

8、坦的幅度特性，單調減小 過渡帶及阻帶內快速單調減小 當 （阻帶截止頻率）時，衰減 為阻帶最小衰減Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點： 2）幅度平方特性的極點分布： 極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點 極點間的角度間隔為 極點不落在虛軸上 N為奇數(shù)，實軸上有極點，N為偶數(shù)，實軸上無極點3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去歸一化，得4）濾波器的設計步驟：根據(jù)技術指標求出濾波器階數(shù)N：確定技術指標：由得：同理：令則：求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：或者由N，直接查表得其中技術指標 給出或由下式求出：其中極點：去歸一化阻帶指標有富裕或通帶指標有富裕 例：設計Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于 rad的通帶內幅度特性下降小于1dB。在頻率 到 之間的阻帶內，衰減大于15dB。分別用沖激響應不變法和雙線性變換法。1、用沖激響應不變法設計1）由數(shù)字濾波器的技術指標：2）得模擬濾波器的技術指標：選T = 1 sa）確定參數(shù)用通帶技術指標，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設計Butterworth模擬低通濾波器b) 求出極點（左半平面）c) 構造系統(tǒng)函數(shù)或者b) 由N = 6，直接查表得c) 去歸一化4）將 展成部分分式形式:變換成Butterworth數(shù)字濾波器：2、用雙線性變換法設計1）由數(shù)字濾波器的技術指標