IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法2

1、6.4、用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)思想： s 平面 z 平面模擬系統(tǒng) 數(shù)字系統(tǒng)H(z) 的頻率響應(yīng)要能模仿 Ha(s) 的頻率響應(yīng)，即 s 平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓因果穩(wěn)定的 Ha(s) 映射到因果穩(wěn)定的 H(z) ，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的單位圓內(nèi) |z| 1設(shè)計(jì)方法：- 沖激響應(yīng)不變法- 階躍響應(yīng)不變法- 雙線性變換法6.5、沖激響應(yīng)不變法數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng) 模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)1、變換原理T抽樣周期根據(jù)理想采樣序列拉氏變換與模擬信號(hào)拉氏變換的關(guān)系 理想采樣 的拉氏變換 與模擬信號(hào) 的拉氏變換 之間的關(guān)系。 理想采樣 的拉氏變

2、換 與采樣序列 的 Z 變換 之間存在的 S 平面與 Z 平面的映射關(guān)系。s平面與z平面的映射關(guān)系 以上表明，采用沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時(shí)，它所完成的 S 平面到 Z 平面的變換，正是拉氏變換到Z變換的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系，即首先對(duì)Ha(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過 的映射關(guān)系映射到 Z 平面上。穩(wěn)定性： 如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則所有極點(diǎn) Si 都在S左半平 面，即 Resi0 , 那么變換后H(Z)的極點(diǎn) 也都在單位圓以內(nèi)，即 ,因此數(shù)字濾波器保持穩(wěn)定。 S平面上每一條寬為 的橫帶部分，都將重疊地映射到Z平面的整個(gè)平面上: 每一橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓以內(nèi)， 每一橫帶的右

3、半部分映射到Z平面單位圓以外， 軸映射到單位圓上， 軸上每一段 都對(duì)應(yīng)于繞單位圓一周。映射關(guān)系 ：S 平面Z 平面Z=esT的映射關(guān)系反映的是Ha(s)的周期延拓與 H（Z）的關(guān)系，而不是Ha(s)本身與H（Z）的關(guān)系，因此，使用沖激響應(yīng)不變法時(shí)，從Ha(s)到H(z)并沒有一個(gè)由S平面到Z平面的一一對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系，即沒有一個(gè)S=f(z)代數(shù)關(guān)系式。2、混迭失真僅當(dāng)數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，周期為 實(shí)際系統(tǒng)不可能嚴(yán)格限帶，都會(huì)混迭失真，在 處衰減越快，失真越小當(dāng)濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)以數(shù)字域頻率 給定

4、時(shí)，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象3、模擬濾波器的數(shù)字化方法系數(shù)相同：極點(diǎn)：s 平面 z 平面穩(wěn)定性不變：s 平面 z 平面S平面的極點(diǎn)與Z平面的極點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，但兩平面并不一一對(duì)應(yīng)。當(dāng)T 很小時(shí)，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正令：則：試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：設(shè)T = 1s，則模擬濾波器的頻率響應(yīng)：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：4、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：保持線性關(guān)系：線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)混迭只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng)時(shí)域逼近良好6.6、階躍響應(yīng)不變

5、法變換原理數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng) 模仿模擬濾波器的階躍響應(yīng)T 抽樣周期階躍響應(yīng)不變法同樣有頻率響應(yīng)的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應(yīng)不變法要小。6.7、雙線性變換法1、變換原理使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似。沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法：時(shí)域模仿逼近缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，引入系數(shù) c2、變換常數(shù)c的選擇2）某一特定頻率嚴(yán)格相對(duì)應(yīng)：1）低頻處有較確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系：特定頻率處頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等，可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率位置3、逼近情況1）s平面虛軸z平面單位圓2）左半平面單位圓內(nèi)s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上4、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)

6、點(diǎn)：避免了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象s 平面與 z 平面為單值變換缺點(diǎn)： 除了零頻率附近， 與 之間嚴(yán)重非線性2）要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會(huì)產(chǎn)生畸變1）線性相位模擬濾波器 非線性相位數(shù)字濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生畸變預(yù)畸變給定數(shù)字濾波器的截止頻率 ，則按 設(shè)計(jì)模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到 為截止頻率的數(shù)字濾波器5、模擬濾波器的數(shù)字化方法可分解成級(jí)聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)6.8、常用模擬低通濾波器特性將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器模擬濾波器巴特沃斯 Butterwo

7、rth 濾波器切比雪夫 Chebyshev 濾波器橢圓 Ellipse 濾波器貝塞爾 Bessel 濾波器1、由幅度平方函數(shù) 確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實(shí)函數(shù)將左半平面的的極點(diǎn)歸將以虛軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱零點(diǎn)的任一半作為 的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一半歸由幅度平方函數(shù)得象限對(duì)稱的s平面函數(shù)將 因式分解，得到各零極點(diǎn)對(duì)比 和 ，確定增益常數(shù)由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得例：解：極點(diǎn)：零點(diǎn)： （二階）零點(diǎn)：的極點(diǎn)：設(shè)增益常數(shù)為K02、Butterworth 低通逼近幅度平方函數(shù)：當(dāng)稱 為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N為濾波器的階數(shù)為通帶截止頻率1）幅度函數(shù)特點(diǎn)： 3dB不變性 通帶內(nèi)有最大平

8、坦的幅度特性，單調(diào)減小 過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小 當(dāng) （阻帶截止頻率）時(shí)，衰減 為阻帶最小衰減Butterworth濾波器是一個(gè)全極點(diǎn)濾波器，其極點(diǎn)： 2）幅度平方特性的極點(diǎn)分布： 極點(diǎn)在s平面呈象限對(duì)稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點(diǎn) 極點(diǎn)間的角度間隔為 極點(diǎn)不落在虛軸上 N為奇數(shù)，實(shí)軸上有極點(diǎn)，N為偶數(shù)，實(shí)軸上無極點(diǎn)3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去歸一化，得4）濾波器的設(shè)計(jì)步驟：根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：確定技術(shù)指標(biāo)：由得：同理：令則：求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：或者由N，直接查表得其中技術(shù)指標(biāo) 給出或由下式求出：其中極點(diǎn)：去歸一化阻帶指標(biāo)有富?；蛲◣е笜?biāo)有富裕 例：設(shè)計(jì)Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于 rad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率 到 之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。分別用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。1、用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：選T = 1 sa）確定參數(shù)用通帶技術(shù)指標(biāo)，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器b) 求出極點(diǎn)（左半平面）c) 構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)或者b) 由N = 6，直接查表得c) 去歸一化4）將 展成部分分式形式:變換成Butterworth數(shù)字濾波器：2、用雙線性變換法設(shè)計(jì)1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)