代數(shù)專(zhuān)題（含答案）

1、狀元廊數(shù)學(xué)思維方法講義之十四 年級(jí)：九年級(jí)第14講專(zhuān)題復(fù)習(xí) 代數(shù)專(zhuān)題反比例函數(shù)與二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是期末考試重點(diǎn)，二次函數(shù)的考察也是一難點(diǎn)，所以本次專(zhuān)題以這二者的講解與訓(xùn)練為主?！镜淅觥繉?zhuān)題一 一元二次方程考點(diǎn)1： 一元二次方程的根的判別式、韋達(dá)定理、根的定義以及整體思想【例1】1、方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 2、已知是方程的根,則代數(shù)式的值為 考點(diǎn)2： 一元二次方程的應(yīng)用【例2】“低碳生活，綠色出行”，自行車(chē)正逐漸成為人們喜愛(ài)的交通工具。某運(yùn)動(dòng)商城的自行車(chē)銷(xiāo)售量自2013年起逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，該商城1月份銷(xiāo)售自行車(chē)64輛，3月份銷(xiāo)售了100輛。（1）若該商城前4個(gè)月的自行車(chē)銷(xiāo)量的

2、月平均增長(zhǎng)率相同，問(wèn)該商城4月份賣(mài)出多少輛自行車(chē)？（2）考慮到自行車(chē)需求不斷增加，該商城準(zhǔn)備投入3萬(wàn)元再購(gòu)進(jìn)一批兩種規(guī)格的自行車(chē)，已知A型車(chē)的進(jìn)價(jià)為500元/輛，售價(jià)為700元/輛，B型車(chē)進(jìn)價(jià)為1000元/輛，售價(jià)為1300元/輛。根據(jù)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，A型車(chē)不少于B型車(chē)的2倍，但不超過(guò)B型車(chē)的2.8倍。假設(shè)所進(jìn)車(chē)輛全部售完，為使利潤(rùn)最大，該商城應(yīng)如何進(jìn)貨？專(zhuān)題二 反比例函數(shù)和二次函數(shù)考點(diǎn)1：反比例函數(shù)圖像及性質(zhì)應(yīng)用【例3】1、如圖，矩形ABCD的對(duì)角線BD經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上。若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），則k的值為( )A1B3C4D1或32、如圖，直線與反

3、比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于A、B兩點(diǎn)，交x軸的正半軸于C點(diǎn)，若AB:BC=(m1):1（m1），則OAB的面積（用m表示）為.圖1 圖2 圖33、如圖，M為雙曲線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸、y軸的垂線，分別交直線于D、C兩點(diǎn)，若直線與y軸交與點(diǎn)A，與x軸交與點(diǎn)B，則ADBC的值為 ?？键c(diǎn)2：規(guī)律探索【例4】1、如圖12，一段拋物線：yx(x3)（0 x3），記為C1，它與x軸交于點(diǎn)O，A1；將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180得C2，交x 軸于點(diǎn)A2；將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180得C3，交x 軸于點(diǎn)A3；如此進(jìn)行下去，直至得C13若P（37，m）在第13段拋物線C13上，則m =_2、如圖，點(diǎn)P1（x1，y1

4、），點(diǎn)P2（x2，y2），點(diǎn)Pn（xn，yn）在函數(shù)（x0）的圖象上，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，PnAn1An都是等腰直角三角形，斜邊OA1、A1A2、A2A3，An1An都在x軸上（n是大于或等于2的正整數(shù)），則點(diǎn)P3的坐標(biāo)是 ；點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是 （用含n的式子表示）考點(diǎn)3：反比列函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用【例5】如圖，矩形的頂點(diǎn)分別在軸和軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為。雙曲線的圖像經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，連接。（1）求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，求直線的解析式。【例6】如圖，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線（k0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F。（1）若E是AB

5、的中點(diǎn)，求F點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若將BEF沿直線EF對(duì)折，B點(diǎn)落在x軸上的D點(diǎn)，作EGOC，垂足為G，證明EGDDCF，并求k的值。.考點(diǎn)4：求二次例函數(shù)解析式【例7】1、（已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、或極值求二次函數(shù)的解析式）已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1，2），對(duì)稱軸為且最小值為2，求這個(gè)函數(shù)的解析式。2、（已知圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離求解析式）已知二次函數(shù)的圖象x軸兩交點(diǎn)間的距離為6，對(duì)稱軸為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，4），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。3、（由二次函數(shù)的圖象變換求解析式）把函數(shù)的圖象繞其圖象與y軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1800，求所得拋物線的解析式?？键c(diǎn)2：二次函數(shù)圖像及性質(zhì)運(yùn)用【例8】1、 對(duì)于二次函數(shù)，有下列說(shuō)

6、法：它的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；如果當(dāng)1時(shí)隨的增大而減小，則；如果將它的圖象向左平移3個(gè)單位后過(guò)原點(diǎn)，則；如果當(dāng)時(shí)的函數(shù)值與時(shí)的函數(shù)值相等，則當(dāng)時(shí)的函數(shù)值為其中正確的說(shuō)法是 （把你認(rèn)為正確說(shuō)法的序號(hào)都填上）2、小軒從如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象中，觀察得出了下面五條信息：ab0；a+b+c0；b+2c0；a2b+4c0；你認(rèn)為其中正確信息的有 （填番號(hào)）?？键c(diǎn)5：二次例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例9】某電子廠商投產(chǎn)一種新型電子廠品，每件制造成本為18元，試銷(xiāo)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)y=2x+100（利潤(rùn)=售價(jià)制造成本）（1）

7、寫(xiě)出每月的利潤(rùn)z（萬(wàn)元）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月能獲得350萬(wàn)元的利潤(rùn)？當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月能獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？（3）根據(jù)相關(guān)部門(mén)規(guī)定，這種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)不能高于32元，如果廠商要獲得每月不低于350萬(wàn)元的利潤(rùn)，那么制造出這種產(chǎn)品每月的最低制造成本需要多少萬(wàn)元？考點(diǎn)6：二次函數(shù)的壓軸題【例10】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（3，0），B（0，3），C（1，0）（1）求此拋物線的解析式（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線

8、，垂足為F，交直線AB于點(diǎn)E，作PDAB于點(diǎn)D動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，PDE的周長(zhǎng)最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；連接PA，以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)（結(jié)果保留根號(hào)） 【課后測(cè)控】1、如圖1，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角頂點(diǎn)A在直線y = x上，其中A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且兩條直角邊AB、AC分別平行于x軸、y軸。若雙曲線y = (k0)與ABC的邊有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）A1k2 B1k3 C1k4 D1k42、如圖，直線 交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，P是反比例函

9、數(shù)圖象上位于直線下方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)F。則 。3、某汽車(chē)銷(xiāo)售公司6月份銷(xiāo)售某廠家汽車(chē)，在一定范圍內(nèi)，每輛汽車(chē)的進(jìn)價(jià)與銷(xiāo)售量有如下關(guān)系，若當(dāng)月僅售出1輛汽車(chē)，則該汽車(chē)的近價(jià)為27萬(wàn)元；每多售出1輛，所有售出的汽車(chē)的進(jìn)價(jià)均降低0.1萬(wàn)元/輛，月底廠家根據(jù)銷(xiāo)售量一次性返利給銷(xiāo)售公司，銷(xiāo)售量在10輛以內(nèi)（含10輛），每輛返利0.5萬(wàn)元，銷(xiāo)售量在10輛以上，每輛返利1萬(wàn).（1）若該公司當(dāng)月售出3輛汽車(chē)，則每輛汽車(chē)的進(jìn)價(jià)為多少萬(wàn)元？（2）如果汽車(chē)的售價(jià)為28萬(wàn)元/輛，該公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬(wàn)元，那么需要售出多少輛汽車(chē)？（盈利=

10、銷(xiāo)售利潤(rùn)+返利）4、如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，軸的正半軸于點(diǎn)，是的中點(diǎn)；一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，并將軸于點(diǎn)若 （1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，請(qǐng)指出在軸的右側(cè)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，邊OC、OA分別在x、y軸上，頂點(diǎn)B在第四象限， ，將矩形沿直線折疊，使點(diǎn)落在 處，交于（1）求的長(zhǎng)；（2）求過(guò)三點(diǎn)拋物線的解析式；（3）若為過(guò)三點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間（秒）為何值時(shí)，直線把分成面積之比為的兩部分？部分答案:【例2】（1）27（31）0.

11、1=26.8. （2）設(shè)銷(xiāo)售汽車(chē)x輛，則汽車(chē)的進(jìn)價(jià)為27（x1）0.1=27.10.1x萬(wàn)元， 若x10,則（2827.1+0.1x）x+0.5x=12 解得x1=6,x2=20(不合題意，舍去) 若x10,則（2827.1+0.1x）x+x=12 解得x3=5(與x10舍去，舍去),x4=24(不合題意，舍去) 公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬(wàn)元，需要售出6輛汽車(chē).【例6】解：（1）OABC為矩形,AB=OC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AE=2，OA=2，點(diǎn)E（2，2）在雙曲線y= eq f(k,x) 上，k=22=4 ,點(diǎn)F在直線BC及雙曲線y= eq f(4,x) ，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，f）,f= e

12、q f(4,4) =1,所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）.(2)證明：DEF是由BEF沿EF對(duì)折得到的，EDF=EBF=90，點(diǎn)D在直線OC上，GDE+CDF=180-EDF=180-90=90，DGE=FCD=90，GDE+GED=90，CDF=GED，EGDDCF；設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a ,2）, 點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4,b）,點(diǎn)E、F在雙曲線y= eq f(k,x) 上，k=2a=4b,a=2b,所以有點(diǎn)E（2b,2）, AE=2b,AB=4,ED=EB=4-2b, EG=OA=CB=2, CF=b, DF=BF=CB-CF=2-b,DC= eq r(,DF2-CF2) = eq r(,(2-b)2-b

13、2) =2 eq r(,1-b) ,EGDDCF, eq f(DC,DF) = eq f(EG,ED) , eq f(2 r(,1-b),2-b) = eq f(2, 4-2b) ,b= eq f(3,4) ,有點(diǎn)F（4， eq f(3,4) ），k = 4 eq f(3,4) = 3.考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題3718684專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題分析：（1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；（2）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA=OB，從而得到AOB是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BAO=45，然后求出PED是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性

14、質(zhì)，PD越大，PDE的周長(zhǎng)最大，再判斷出當(dāng)與直線AB平行的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，PD最大，再求出直線AB的解析式為y=x+3，設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，與拋物線解析式聯(lián)立消掉y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式=0列式求出m的值，再求出x、y的值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；先確定出拋物線的對(duì)稱軸，然后（i）分點(diǎn)M在對(duì)稱軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ對(duì)稱軸于Q，根據(jù)同角的余角相等求出APF=QPM，再利用“角角邊”證明APF和MPQ全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PF=PQ，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，表示出PQ的長(zhǎng)，即PF，然后代入拋物線解析式計(jì)算即可得解；（ii）點(diǎn)N在對(duì)稱軸上時(shí)，同理求

15、出APF和ANQ全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PF=AQ，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求出橫坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)解答：解：（1）拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（0，3），C（1，0），解得，所以，拋物線的解析式為y=x22x+3；（2）A（3，0），B（0，3），OA=OB=3，AOB是等腰直角三角形，BAO=45，PFx軸，AEF=9045=45，又PDAB，PDE是等腰直角三角形，PD越大，PDE的周長(zhǎng)越大，易得直線AB的解析式為y=x+3，設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，聯(lián)立，消掉y得，x2+3x+m3=0，當(dāng)=3241（m3）=0，

16、即m=時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，PD最長(zhǎng)，此時(shí)x=，y=+=，點(diǎn)P（，）時(shí)，PDE的周長(zhǎng)最大；拋物線y=x22x+3的對(duì)稱軸為直線x=1，（i）如圖1，點(diǎn)M在對(duì)稱軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ對(duì)稱軸于Q，在正方形APMN中，AP=PM，APM=90，APF+FPM=90，QPM+FPM=90，APF=QPM，在APF和MPQ中，APFMPQ（AAS），PF=PQ，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n（n0），則PQ=1n，即PF=1n，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，1n），點(diǎn)P在拋物線y=x22x+3上，n22n+3=1n，整理得，n2+n4=0，解得n1=（舍去），n2=，1n=1=，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；（ii）如圖2，

17、點(diǎn)N在對(duì)稱軸上時(shí)，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，PAF+FPA=90，PAF+QAN=90，F(xiàn)PA=QAN，又PFA=AQN=90，PA=AN，APFNAQ，PF=AQ，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P（x，x22x+3），則有x22x+3=1（3）=2，解得x=1（不合題意，舍去）或x=1，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2）綜上所述，當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（，），當(dāng)頂點(diǎn)N恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）解：（1）三，k0；（2）梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，ACOB，BCOB，而點(diǎn)C的坐標(biāo)標(biāo)為（2，2），A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），把y=2代入

18、得x= ；把x=2代入得y=，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2， ），=，當(dāng)k2=0，即k=2時(shí)，S陰影部分最小，最小值為；E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），即E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在BC的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積S最小；（3）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（a， ），OD=DC，即D點(diǎn)為OC的中點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（2a，），把y= 代入 得x= ，確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（，），=1，解得k=.例8（2）【例9】解：（1）z=（x18）y=（x18）（2x+100）=2x2+136x1800， z與x之間的函數(shù)解析式為z=2x2+136x1800。（2）由z=350，得350=2x2+136x1800，解這個(gè)方程得x1=25，

19、x2=43。銷(xiāo)售單價(jià)定為25元或43元時(shí)，廠商每月能獲得3502萬(wàn)元的利潤(rùn)。z2x2+136x1800 =2（x34）2+512，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為34元時(shí)，每月能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是512萬(wàn)元。（3）結(jié)合（2）及函數(shù)z=2x2+136x1800的圖象（如圖所示）可知，當(dāng)25x43時(shí)，z350。又由限價(jià)32元，得25x32。根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，得y=2x+100中y隨x的增大而減小，當(dāng)x=32時(shí)，每月制造成本最低。最低成本是18（232+100）=648（萬(wàn)元）。所求每月最低制造成本為648萬(wàn)元。【例10】 解：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式拋物線與軸交于點(diǎn)，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得所求函數(shù)表達(dá)式，即（2）點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C的