C題基金使用計(jì)劃

1、 2001年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽大專(zhuān)組賈玉昌 苗玉東 張寧基金使用計(jì)劃問(wèn)題基金使用計(jì)劃一 題目簡(jiǎn)介某單位基金會(huì)有一筆數(shù)額為M元的基金，打算將其存入銀行或購(gòu)買(mǎi)國(guó)庫(kù)券。當(dāng)前銀行存款及各期國(guó)庫(kù)券的利率見(jiàn)下表。假設(shè)國(guó)庫(kù)券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時(shí)間不定。取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策。單位基金會(huì)計(jì)劃在n年內(nèi)每年用部分本息獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀職工，要求每年的獎(jiǎng)金額大致相同，且在n年末仍保留原基金數(shù)額。單位基金會(huì)希望獲得最佳的基金使用計(jì)劃，以提高每年的獎(jiǎng)金額。請(qǐng)你幫助單位基金會(huì)在如下情況下設(shè)計(jì)基金使用方案，并對(duì)M=5000萬(wàn)元，n=10年給出具體結(jié)果：1. 只存款不購(gòu)國(guó)庫(kù)券；2. 可存款也可購(gòu)國(guó)庫(kù)券。3單位在基金到位后的

2、第八（2010年）年要舉行50年慶祝，基金會(huì)希望這一年的獎(jiǎng)金比其它年度多20%。存款種類(lèi) 活期 3個(gè)月 6個(gè)月 一年 二年 三年 五年年利率% 0.72 1.71 1.89 1.98 2.25 2.52 2.79額外條件1 實(shí)際收益利益為公布利率的80%，20%為利息稅上交國(guó)庫(kù)2 國(guó)庫(kù)券具有2年，3年，5年的三種，其存款利率與周期的定期存款利率相同，但不交利息稅。要求1 問(wèn)題的提出2 模型的假設(shè)3 符號(hào)的說(shuō)明4 模型的分析5 模型以及求解6 模型的檢驗(yàn)7 模型的優(yōu)缺點(diǎn)8 模型的改進(jìn)方向9 參考文獻(xiàn)C題 基金使用計(jì)劃某?；饡?huì)有一筆數(shù)額為M元的基金，打算將其存入銀行或購(gòu)買(mǎi)國(guó)庫(kù)券。當(dāng)前銀行存款及各

3、期國(guó)庫(kù)券的利率見(jiàn)下表。假設(shè)國(guó)庫(kù)券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時(shí)間不定。取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策。校基金會(huì)計(jì)劃在n年內(nèi)每年用部分本息獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀師生，要求每年的獎(jiǎng)金額大致相同，且在n年末仍保留原基金數(shù)額。?；饡?huì)希望獲得最佳的基金使用計(jì)劃，以提高每年的獎(jiǎng)金額。請(qǐng)你幫助?；饡?huì)在如下情況下設(shè)計(jì)基金使用方案，并對(duì)M=5000萬(wàn)元，n=10年給出具體結(jié)果：只存款不購(gòu)國(guó)庫(kù)券；可存款也可購(gòu)國(guó)庫(kù)券。3學(xué)校在基金到位后的第3年要舉行百年校慶，基金會(huì)希望這一年的獎(jiǎng)金比其它年度多20%。銀行存款稅后年利率（%）國(guó)庫(kù)券年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89

4、五年期2.3043.14 最佳基金使用計(jì)劃模型 摘要：運(yùn)用基金M分成n份（M1，M2，Mn），M1存一年，M2存2年，Mn存n年這樣，對(duì)前面的（n1）年，第i年終時(shí)M1到期，將Mi及其利息均取出來(lái)作為當(dāng)年的獎(jiǎng)金發(fā)放；而第n年，則用除去M元所剩下的錢(qián)作為第n年的獎(jiǎng)金發(fā)放的基本思想，解決了基金的最佳使用方案問(wèn)題關(guān)鍵詞：超限歸納法；排除定理；倉(cāng)恩定理 1問(wèn)題簡(jiǎn)介 基金使用計(jì)劃某?；饡?huì)有一筆數(shù)額為M元的基金，欲將其存入銀行或購(gòu)買(mǎi)國(guó)庫(kù)券當(dāng)前銀行存款及各期國(guó)庫(kù)券的利率見(jiàn)表1假設(shè)國(guó)庫(kù)券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時(shí)間不定取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策?；饡?huì)計(jì)在n年內(nèi)每年用部分本息獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀師生，要求每年的獎(jiǎng)金額大致

5、相同，且在n年末仍保留原基金數(shù)額?；饡?huì)希望獲得最佳的基金使用計(jì)劃，以提高每年的獎(jiǎng)金額需幫助校基金會(huì)在如下情況下設(shè)計(jì)基金使用方案，并對(duì)M5 000萬(wàn)元，n10年給出具體結(jié)果： 只存款不購(gòu)國(guó)庫(kù)券； 可存款也可購(gòu)國(guó)庫(kù)券學(xué)校在基金到位后的第3年要舉行百年校慶，基金會(huì)希望這一年的獎(jiǎng)金比其它年度多202模型的分析、假設(shè)與建立21模型假設(shè) 每年發(fā)放的獎(jiǎng)金額相同； 取款按現(xiàn)行銀行政策； 不考慮通貨膨脹及國(guó)家政策對(duì)利息結(jié)算的影響； 基金在年初到位，學(xué)校當(dāng)年獎(jiǎng)金在下一年年初發(fā)放；國(guó)庫(kù)券若提前支取，則按滿年限的同期銀行利率結(jié)算，且需交納一定數(shù)額的手續(xù)費(fèi)；到期國(guó)庫(kù)券回收資金不能用于購(gòu)買(mǎi)當(dāng)年發(fā)行的國(guó)庫(kù)券22符號(hào)約定

6、K發(fā)放的獎(jiǎng)金數(shù)； ri存i年的年利率，（i12，1，2，3，5）；Mi支付第i年獎(jiǎng)金，第1年開(kāi)始所存的數(shù)額（i1，2，10）； U半年活期的年利率；23模型的建立和求解231情況一：只存款不購(gòu)國(guó)庫(kù)券（1）分析令：支付各年獎(jiǎng)金和本金存款方案Mij（i1，10，i；j屬于N）根據(jù)排隊(duì)定理：一個(gè)集一定可以依一個(gè)次序排除 A中每行必存在上界， A中存在一個(gè)極大組合M萬(wàn)元基金存入銀行后，每年又拿出相同數(shù)額的本息獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀師生，因?yàn)樽詈笫Ｓ嗟慕痤~等于原來(lái)的本金，所以用這種發(fā)放的獎(jiǎng)金總數(shù)可以看作是n年中各種利息的總和將基金M分成n份（M1，M2，Mn），M1存1年，M2存2年，Mn存n年，對(duì)前面的（n1）年，

7、第i年的次年年初Mi到期，將Mi及其利息均取出來(lái)作為當(dāng)年的獎(jiǎng)金發(fā)放；而第10年，則用除去M元后所剩下的錢(qián)作為第n年的獎(jiǎng)金發(fā)放 一般的模型：關(guān)鍵在于如何計(jì)算每一個(gè)Ri基金在年初到位，而學(xué)校當(dāng)年的獎(jiǎng)學(xué)金一般在次年年初發(fā)放因此，選擇存活期或不可能使得到的利息最大要盡可能提高獎(jiǎng)金額，應(yīng)選擇存定期在定期的選擇上，應(yīng)把盡可能多的錢(qián)存到定期長(zhǎng)的儲(chǔ)種上去；同時(shí)由于儲(chǔ)種有限（只有半年、1、2、3、5年定期），這就需要對(duì)某些儲(chǔ)種進(jìn)行組合優(yōu)化即應(yīng)盡可能地利用年份多的儲(chǔ)種（如能用3年的決不用2年定期），對(duì)于M1，為了支付第一年的獎(jiǎng)金，顯然是存1年期拿到本金和利息最高，余者顯然亦如此對(duì)于特定年份的定期存款采用現(xiàn)有的儲(chǔ)蓄

8、種類(lèi)的組合（如4年定期采用3年定期和1年定期組合等），要使所得的利息最大，對(duì)于該結(jié)論的說(shuō)明如下所述 存4年定期時(shí)的有2種方案：N為任意存款），顯然，3年定期和一年定期組合最優(yōu)同理，通過(guò)計(jì)算各種組合，Mi得最大利息的存儲(chǔ)方案如表2（Q1、Q2、Q3、Q5分別表示定期存的年數(shù)） 從表中可以得出以下結(jié)論：這是一個(gè)以5年為周期的方案組合，從第6年開(kāi)始相當(dāng)于對(duì)應(yīng)的年份再加上一個(gè)5年定期，所得的存儲(chǔ)方案最為合理采用超限歸納法的推論，可將模型論推廣到n年，則可得到如下的結(jié)論對(duì)于一個(gè)以m年為周期的方案組合，可以從第m1年開(kāi)始，在相應(yīng)的年份上再加上一個(gè)m年定期，此時(shí)所得的方案最為合理（2）每1個(gè)Mi經(jīng)過(guò)i年后得

9、到的本金和利息，可用于支付獎(jiǎng)金，下面可用反證法加以證明證明：假設(shè)有另外一種方案使K1K，則顯然存在某個(gè)n年期的存款到期后所得的總額R，可滿足RK10（因?yàn)樵谖覀兊挠?jì)算方式下，RK，即剛好用完）則需要將RK1轉(zhuǎn)存入下一個(gè)存款而按照前面我們得出的結(jié)論，要使所得的利息最大，則應(yīng)盡可能地利用年份多的儲(chǔ)種可推斷，由此所得的利息要比一開(kāi)始就將RK1存一個(gè)更長(zhǎng)時(shí)間的定期要少與假設(shè)相矛盾所以上述方式使得每年獲得的獎(jiǎng)金額度最大 （3）求解：根據(jù)以上的討論，可以建立以下的方程組： 其中ri是i年期的存儲(chǔ)的一個(gè)增長(zhǎng)系數(shù)由MATLAB編程的線性?xún)?yōu)化函數(shù)LP（Linear Programming），可得K109800

10、0（萬(wàn)元）這樣，我們就可以通過(guò)把分成這10份，前9份剛好付當(dāng)年的獎(jiǎng)金，第10份剛好滿足獎(jiǎng)金和原有的基金，并得到了最優(yōu)化的解（見(jiàn)表3）232情況二：可存款也可購(gòu)國(guó)庫(kù)券我們對(duì)情形二外加了一個(gè)購(gòu)買(mǎi)國(guó)庫(kù)券的方式同樣把M分成M1，M2，Mn；存n年；且n年終將本金和利息一起取出來(lái)作為獎(jiǎng)金發(fā)放，在外加購(gòu)買(mǎi)國(guó)庫(kù)券后，對(duì)Mn達(dá)到最大本金和利息有更多的組合及考慮因素因?yàn)閲?guó)庫(kù)券發(fā)行時(shí)間任意，且銀行結(jié)算與發(fā)放獎(jiǎng)金均在年終，因此得到購(gòu)券基金并不能馬上購(gòu)券，需先存銀行，國(guó)庫(kù)券到期也不能馬上作為獎(jiǎng)金發(fā)掉，也需存銀行 因經(jīng)購(gòu)買(mǎi)一次國(guó)庫(kù)券，必定耽誤一年的時(shí)間使它不能存整年定期，而只能存活期和半年的定期，由于半年定期的利率明顯

11、高于活期，又不影響對(duì)獎(jiǎng)金的發(fā)放，所以這一年一定存1個(gè)半年定期和半年的活期。由于國(guó)庫(kù)券發(fā)行時(shí)間不定，一年中任何一天發(fā)行都是可能，這就涉及到數(shù)學(xué)期望的問(wèn)題?？梢园岩荒甑姆譃?60天，如果國(guó)庫(kù)券發(fā)行在上半年的第n天，則n天到期后的本金和利息為（0.792%n180),這筆錢(qián)要分半年定期和活期是最優(yōu)化的.先不考慮定期半年的本利率,那么(180-n)天的活期的本金和利息是0.792%(180-n)/360+1m,那么這筆錢(qián)有半年里的本金和利息為0.792%(180-n)/360+1 u=0.00396 由上節(jié)(2)已證了Mi經(jīng)過(guò)i年的本金和利率,剛好放獎(jiǎng)金時(shí)最優(yōu),現(xiàn)在討論Mi在i年中存銀行或購(gòu)買(mǎi)國(guó)庫(kù)券,

12、或兩者都有,以不同組合的所得到的利息的高低來(lái)取最優(yōu)的組合.我們對(duì)每年Mi的組合都進(jìn)行分析(見(jiàn)表4),對(duì)于M1,M2不能考慮國(guó)庫(kù)券,兩年內(nèi)尚不可支取用于支付獎(jiǎng)金.對(duì)于M3根據(jù)情形可得出要使所得的利息最大,則應(yīng)盡可能地利用年份多的儲(chǔ)種這樣一個(gè)結(jié)論.從表4可知,最優(yōu)的方案如表達(dá)所示.根據(jù)以上的討論,可以建立以下的方程組:ro/2)(1+u)=k 與上題同法,用線優(yōu)化函數(shù)(lp)就解得: k=127.5(萬(wàn)元)按照表6所述的對(duì)Mi各組達(dá)到最優(yōu)化分配，并保證了所發(fā)放的獎(jiǎng)金k達(dá)到最優(yōu)值233學(xué)?；鸬轿缓蟮牡谌甑莫?jiǎng)金比其他年度多20要使得基金到位后第3年的獎(jiǎng)金比其他年度多20，問(wèn)題3與問(wèn)題1和問(wèn)題2的情

13、形類(lèi)同可分為只存銀行與既存銀行又買(mǎi)國(guó)庫(kù)券兩種情形將情形一的（3）式改成其余保持不變 得最優(yōu)解，K10753（萬(wàn)元）其本金收益計(jì)算于見(jiàn)表7將情形二的（3）式改成M3（1r3）12K；其余保持不變 得最優(yōu)解：K1248（萬(wàn)元）其本金收益見(jiàn)表83模型的分析和改進(jìn)情形一，我們利用超限歸納法及其推論，對(duì)結(jié)論2給出了一個(gè)完整的說(shuō)明，從而對(duì)下述定理的證明及推廣也起了很大的作用，該方法使得數(shù)學(xué)模型大為簡(jiǎn)化但情形一中，我們所考慮的是大大簡(jiǎn)化了的模型，要考慮各方面因素，不會(huì)影響該模型，我們只需對(duì)原方程中加入一些參數(shù)，思路不變例如：不假設(shè)學(xué)校一年發(fā)兩次獎(jiǎng)金對(duì)于該題，我們需要考慮存半年期的情況，這也就是與前面最大的不

14、同之處情形二，前面用有限枚舉法，通過(guò)與情況一的比較確定更優(yōu)值，其思想方法簡(jiǎn)單易行，但計(jì)算太復(fù)雜可以利用集論中的倉(cāng)恩定理對(duì)該模型求出一個(gè)上限或下限上限，即國(guó)庫(kù)券隨時(shí)可購(gòu)，可用情況一的求解方法，直接求解，然后由倉(cāng)恩定理可得出必定存在極大元素，再對(duì)各種可能的情況進(jìn)行分析，計(jì)算，從中選出極大值，這就是我們所要求的最優(yōu)方案下限，就是考慮到想買(mǎi)買(mǎi)不到的情況如存9年期的M9，假如第一年國(guó)庫(kù)券發(fā)行時(shí)間是9月份，買(mǎi)了一個(gè)5年期的那就是到第5年的9月份才能取出來(lái)，但第5年的國(guó)庫(kù)券發(fā)行時(shí)間可能在9月份之前，也就是只有到下一個(gè)才能買(mǎi)到這就有一個(gè)最壞的情況，可以求出問(wèn)題的一個(gè)下限同時(shí)我們也要考慮到求每個(gè)Mi的增長(zhǎng)率時(shí)，不能單獨(dú)考慮如：對(duì)于存9年期的M9如果考慮對(duì)M6買(mǎi)一個(gè)五年期的國(guó)庫(kù)券時(shí)把發(fā)行時(shí)間定在第一個(gè)季度，那么對(duì)M9先買(mǎi)5年期的國(guó)庫(kù)券也要在第一個(gè)季度4結(jié)語(yǔ)這一思想的理論基礎(chǔ)是序數(shù)中所用的“排隊(duì)定理”和“倉(cāng)恩定量”對(duì)第一問(wèn)，通過(guò)計(jì)算我們得到最優(yōu)的將基金的本金（加上去）作為獎(jiǎng)金發(fā)放，同時(shí)我們用超限歸納法及其推論，