新高考新教材1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(2)導學案-人教A版高中數(shù)學選擇性必修第一冊

1、1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(2)學習目標L理解兩異面直線所成角與它們的方向向量之間的關系.會用向量方法求兩異面直線所成角.理解直線與平面所成角與直線方向向量和平面法向量夾角之間的關系.會用向量方法求直線與平面所成角.,理解二面角大小與兩個面法向量夾角之間的關系.會用向量方法求二面角的大小.重點難點重點：理解運用向量方法求空間角的原理難點：掌握運用空間向量求空間角的方法一、自主導學L利用向量方法求兩異面直線所成角若兩異面直線/4所成角為a它們的方向向量分別為a.b.則有 I 2cos =lcosl= .I。物特別提醒：不要將兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角等同起來，因為兩異面直線

2、所成角的范圍是僅身.而兩個向量夾角的范圍是。巾事實上.兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補的關系.利用向量方法求直線與平面所成角若直線/與平面。所成的角為6.直線/的方向向量為a,平面a的法向量為n,則有 sin =lcosl=-Win I特別提醒：直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角.利用向量方法求二面角(1)若二面角的平面角的大小為夕其兩個面久0的法向量分別為n .n ,貝ijlcos 6|=lcosv.n 1=(2)二面角的大小還可以轉化為兩直線方向向量的夾角.在二面角a-1-B的兩個半平面內(nèi),各取一條與棱I 垂直的直線.則當直線的方向向量的起點在棱上時

3、.兩個方向向量的夾角即為二面角的大小.特別提醒：由于二面角的取值范圍是而兩個面的法向量的方向無法從圖形上直觀確定.因此不能認 為二面角的大小就是其兩個面法向量夾角的大小，需要結合具體圖形判斷二面角是銳角還是鈍角.從而求得其大小.二、小試牛刀 TOC o 1-5 h z 1 若異面直線/ （的方向向量分別是a=（0,.2,l）,b=（2O4）,則異面直線/與的夾角的余弦值等于（） 122A.3B三C.里D迪55552,若直線/的方向向量與平面a的法向量的夾角等于120。,則直線/與平面所成的角等于（）A.12O0B.60C.1500D.3O03.二面角中，平面a的一個法向量為=（今,-夜），平面

4、的一個法向量是股=（0垓,夜），那么二面角 a-1-S的大小等于（）D.60?；?120A.12O0B.1500C.30?；?150學習過程一、情境導學地球繞太陽公轉的軌道平面稱為“黃道面”、黃道面與地球赤道面交角（二面角的平面角）為23。26.黃道面與天球相交的大圓為“黃道”.黃道及其附近的南北寬9。以內(nèi)的區(qū)域稱為黃道帶.太陽及大多數(shù)行星在天球上的位置常在黃道帶內(nèi).黃道帶內(nèi)有十二個星座.稱為黃道十二宮”從春分（節(jié)氣）點起.每30。便是一宮.并冠以星座名.如白羊座、獅子座、雙子座等等.這便是星座的由來地軸春分日（3月21日前后）冬至日（12月22日前后）問題：空間角包括哪些角？求解空間角常用的

5、方法有哪些?答案：線線角、線面角、二面角；傳統(tǒng)方法和向量法.二、典例解析 例1.如圖所示,在三棱柱中A、，底面八80工8=5。=兒4乙43。=90。,點七/分別是棱相劣/ 的中點，試求直線EF和所成的角.利用空間向量求兩異面直線所成角的步驟.(1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系.(2)求出兩條異面直線的方向向量的坐標.利用向量的夾角公式求出兩直線方向向量的夾角.(4)結合異面直線所成角的范圍得到兩異面直線所成角.求兩條異面直線所成的角的兩個關注點.(1)余弦值非負:兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負值.而對應的方向向量的夾角可能為鈍角.范圍:異面直線所成角的范圍是(0、外、故兩直線方向向量夾角的余

6、弦值為負時，應取其絕對值.跟蹤訓練1如圖，在正四棱柱/WCZXA化CR中艮則異面直線A產(chǎn)與AR所成角的 余弦值為.例 2.如圖所示.四棱錐 P-ABCD 中.PA_L底面8c48=AQ=AC=3,PA=BC=4.M 為線段 A。上一點工M=2MDN為PC的中點.(1)證明MN平面PA8;(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.p跟蹤訓練2在棱長為1的正方體ABCD-BFR中方為。J的中點,則直線A產(chǎn)與平面8。七所成的角為A-A6例3.如圖,在正方體A8EROCE尸中MN分別為AC.的中點，求平面A/NA與平面MNB所成銳二面角的余利用平面的法向量求二面角利用向量方法求二面角的大小時.多采用

7、法向量法.即求出兩個面的法向量，然后通過法向量的夾角來得到二面角的大小，但利用這種方法求解時.要注意結合圖形觀察分析確定二面角是銳角還是鈍角,不能將 兩個法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來 跟蹤訓練3如圖,在直三棱柱ABC48G中，求二面角C-C的大小.金題典例 如圖.四棱柱ABOA/FP的所有棱長都相等/cn&)=0Anqq=0四邊形ACC A和四邊形8。8均為矩形. 1 1 1 1(1)證明:Oy_L底面ABCD若NC8A=60。,求二面角C -OB-D的余弦值.延伸探究1 本例條件不變.求二面角B-AC-D的余弦值.延伸探究2本例四棱柱中,NCBA=60。改為NC8A=90。,設E.

8、F分別是棱BC,CD的中點, 求平面ABE與平面AOf所成銳二面角的余弦值.向量法求二面角（或其某個三角函數(shù)值）的四個步驟（1）建立適當?shù)淖鴺讼?寫出相應點的坐標；（2）求出兩個半平面的法向量n .11； 1 2（3）設二面角的平面角為。.則Icos |=|cos1;I 2根據(jù)圖形判斷e為鈍角還是銳角，從而求出6（或其三角函數(shù)值）.達標檢涮L平面a的斜線/與它在這個平面上射影/的方向向量分別為a=（1.0Db=（0,l）,則斜線/與平面a所成的角 為（）A.30B.45C.60D.90.已知向量m.n分別是直線/和平面o.的方向向量和法向量，若cos=-a則/與所成的角為（）A.30B.60C

9、.120D.1500.在正方體/WCD-A產(chǎn)中.、N分別為棱8。和棱Cq的中點，則異面直線AC和MN所成的角為（）A.30B.45C.90D.604,在三棱錐P-ABC中點0.D分別是ACPC的中點。尸，底面A8C,則直線。與平面P8C所成角的正弦值為5如圖.四棱錐P A8CD中,PB_L底面ABCDCQ_LPD底面ABCO為直角梯形8cd8a4B=AO=P3=3.點E在棱PA上.且PE=2EA,求二面角ABED的余弦值.犧異面直線所成角 利用向量求空間角卜僵與平面所施 刎個平面的夾角參考答案：知識梳理.解析因為 ab=-4,lal=但lbl=2/5,所以 cos 6=：cosl=答案：B |

10、a|b|105.解析：因為直線/的方向向量與平面a的法向量的夾角等于120。,所以它們所在直線的夾角為60。,則直線/與平面a所成的角等于90。-60。=30。.答案：D.解析：設所求二面角的大小為0.貝ij|cos 6 =34 = g所以6=30?；?50。.答案：C學習過程 例1.思路分析:建立空間直角坐標系,求出直線E尸和8c的方向向量的坐標.求它們的夾角即得直線石尸和BC所成的角. 1解:分別以直線為qn軸.建立空間直角坐標系（如右圖）.AGB于是 cos=BCEF bclef設 ”=1.則 3(000)000)4 O.oq)Ci(O,Ll),所以即=J,同=(O.L1).了 J =為

11、斤以直線EF和BC所成角的大小為60。.XV22跟蹤訓練1解析以。為坐標原點QAQC。？所在直線為x軸,軸.z軸建立空間直角坐標系Dr)z設A8=L 則8( 1,1,0)(1,0,2)雪竺)n (09,2),還=(0,12),苑=(J,0,2),3而可工麗=仁=三故異面直線山3與所成角的余弦值為】ALBADk I答案g例2.思路分析：(1)線面平行的判定定理=的平面PAB.(2)利用空間向量計算平面PMN與4N方向向量的夾角=直線AN與平面PMN所成角的正弦值.證明:由已知得w=|.m=2.如圖，取3尸的中點連接7N. 3由N為尸。的中點知TN/BC,TN=BC=2.又故 且 TN=AM.所以

12、四邊形XMA7為平行四邊形，于是 MN/AT.因為X7u平面RL5.MW平面PAB.所以平面以8.解:如圖,取BC的中點及連接工E由AB=AC得從而4皿RAE=!AB2-BE2 =以A為坐標原點標的方向為人軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系A-沖乙 由題意知尸(004)J/(020)C(逐 20)N(31，2)，PM =(02-4)而=(3 12 )前=(= 1,2 ).n PM = 0設=(.”/)為平面的法向量，則二 (nPN = 0.(2y-4z = 0. _.店x 9可取n=(021).于是gsvn；而|寺=曾X + y-2z = 0,nAN 25所以直線N與平面RMN所成角的正弦

13、值為等 跟蹤訓練2解析:以D為原點建立空間直角坐標系,可求得平面BDE的法向量n=(l,-L2),而 甌二(0,-11),所以cos 6=親=4,則6=30。,故直線48與平面8D七成60。角. 答案：B例3.思路分析:有兩種思路,一是先根據(jù)二面角平面角的定義.在圖形中作出二面角的平面角,然后利用向量方 法求出夾角從而得到所成二面角的大小;另一種是直接求出兩個面的法向量.通過法向量的夾角求得二面角 的大小.解:設正方體棱長為L以8為坐標原點,孫所在直線分別為x軸j軸n軸建立空間直角坐標系則歷& o ?爬, ,o(l ,O0),5(O,OQ).(方法1)取V的中點G.連接8GHG,則穴就,)因為

14、ALMMABKAr為等腰三角形，所以HG_LMV方G J_MV, 故NHG5為二面角的平面角或其補角.又因為點而=(-鴻司，所以cosv次盲喂箴=故所求兩平面所成銳二面角的余弦值為去(方法2)設平面AMN的法向量m=(xj，,z).由于京=則卜絲二即If ,I = ，令x=l.解得產(chǎn)1二=1,于是m=(l,l,l).同理可求得平面BMN的一個法向量n2=(l,-l,-l), 所以cosvn.”在二嬴三，Tlx ilHj I V 3X 33故所求兩平面所成銳二面角的余弦值為小跟蹤訓練3解：如圖.建立空間直角坐標系,則4200).。(020)4(202叫(002).q(022), 即8M=(1,1

15、,0)是平面AiCiC的一個法向量.設平面的一個法向量是=(x加二).1？=(22,-2).而=(-200),所以 n4B；=-2x=0,n ALC =-2x+2y-2z=0,令 z=l,解得 x=0產(chǎn)L故 n=(0,l,l).設法向量n與函7的夾角為夕，二面角B1-J1C-C1的大小為a顯然e為銳角.因為cos 6=|cos 0尸嚅 =a解得咤所以二面角S-C-C1的大小為?金題典例(1)證明因為四邊形和四邊形8QR/均為矩形，所以 CC 1AC.DD BD. 1 又 CC /DD /OO .所以 0。1AC.OO A.BD. 1 1 1因為ACn8Q=0,所以O,_L底面ABCD.解：因為

16、四棱柱的所有棱長都相等.所以四邊形A8CO為菱形，ACi.BD.yk qoj_底面 A3CD,所以 OB.OC.OO 兩兩垂直.如圖.以0為原點OB.OCOq所在直線分別為A-,y,z軸、建立空間直角坐標系.設棱長為2,因為NCB，=60。,所以OB=WOC= 所以 0(0,0,0)i(V3,0,2),Ci(0,1,2),平面BDDiBi的一個法向量為n=(0.1.0), 設平面。山】的法向量為m=(xyz),則由m_L甌皿,運，所以卜號:2z= (y+ 2z = 0,取二=-6,則 x=2j，=2Vl所以 m=(2,2x/3,-V3), 所以|cosvma|=|制小焉由圖形可知二面角Ci-O

17、Bi-D的大小為銳角， 所以二面角Ci-OBi-D的余弦值為箸.延伸探究1解:建立如圖所示的空間直角坐標系.設棱長為2, 則由(0,-1,2*(V10,0)C(0 J ,0)Q(心 0,0).所以就=(V11,0)石? =(0,2,-2),CD =(-73,1,0).設平面48c的法向量為ni=(xuviiX2y1-2z1 = 0、-V3xx + y1 = 0,取、1=后,則,1=二1=3,故 m =(73,3,3).則叮竺=0唧n2 CD = 0,取治=、氏則#=2二3,故 H2=(VX-3,-3),所以|cosvni,ii2| =711yl257,設平面31C。的法向量為112=(X2J?

18、22), 12y2-2zz = 0, (-V3x2-y2 = 、由圖形可知二面角B2 + Z2 = 0, X + 為=0令也=2廁 ”=-1幻=1.所以 02=(2,-1,1).所以平面與平面.1DF所成銳二面角的余弦值為cosvnm=% = 6V OXV 6 Z達標檢測L解析:/與。.所成的角即為a與b所成的角(或其補角)，因為cos=-=所以=60。. 例 2答案c.解析：由已知得直線I和平面法向量所夾銳角為602因此/與a所成的角為30。.答案：A.解析以D為原點.分別以OAQCDR所在直線為x軸j軸.z軸建立空間直角坐標系.設正方體ABCDA BCD中棱長為2, till二”、N 分別為棱 8C 和棱 CC 的中點，:M(120)W(021)a(2,0.0)C(0.2,0), 1加=(L0、l)君(22,0)，設異面直線AC和MN所成的角為/cosi則又6是銳角,：6=60。:異面直線AC和MN所成的角為60。.故選D.答案DOD(- = aO乎