離散時(shí)間信號(hào)處理：第5章 離散傅立葉變換與快速算法1(DFT1)

1、1第五章 DFT與FFT在科學(xué)研究和工程實(shí)踐中：信號(hào)時(shí)域很寬甚至無限長(zhǎng)數(shù)字設(shè)備只能對(duì)有限個(gè)離散數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。為了能夠?qū)π盘?hào)進(jìn)行處理，必須采取以下三項(xiàng)措施：(1)時(shí)域采樣（時(shí)域離散化）(2)時(shí)域截?cái)嗷蚍侄危ㄓ邢藁?3)頻率離散化有限長(zhǎng)序列的重要性時(shí)域采樣后的截?cái)鄬?duì)應(yīng)有限長(zhǎng)序列數(shù)字頻率主值區(qū)間內(nèi)的抽樣也同樣形成了頻域中的一個(gè)有限長(zhǎng)度序列由信息的等效性可知有限長(zhǎng)度的頻域抽樣序列會(huì)與時(shí)域的同樣有限長(zhǎng)度離散序列對(duì)應(yīng)它們之間是否存在著某種變換關(guān)系？23離散傅立葉變換(DFT)變換需要反映有限長(zhǎng)度序列特點(diǎn)，并且處理更加有效信息未丟失，等量對(duì)應(yīng)適宜用計(jì)算機(jī)或?qū)Ｓ脭?shù)字設(shè)備計(jì)算有快速有效計(jì)算方法FFT具有很高的

2、實(shí)用價(jià)值，在離散時(shí)間信號(hào)處理中起著核心作用。4主要內(nèi)容5.1 離散傅立葉變換(DFT)傅立葉變換四大形式抽樣Z變換-頻域抽樣理論離散傅立葉變換及性質(zhì)5.2 快速傅立葉變換(FFT)基-2 DIT算法基-2 DIF算法5.3 若干常用FFT算法戈澤爾算法，Chirp Z變換5.4 DFT的應(yīng)用LTI的DFT實(shí)現(xiàn)，信號(hào)的DFT分析55.1 離散傅立葉變換(DFT)5.1.1傅立葉變換的表現(xiàn)形式傅里葉變換建立信號(hào)時(shí)域表達(dá)與其頻域表達(dá)之間的變換關(guān)系。當(dāng)自變量“時(shí)間”或“頻率”分別為連續(xù)或離散時(shí)，就形成了各種不同表象形式的傅里葉變換對(duì)。6一、連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率 傅里葉變換(CTFT)若信號(hào)為連續(xù)時(shí)間的非

3、周期信號(hào)，其傅里葉變換是頻域連續(xù)的非周期函數(shù)。7二、連續(xù)時(shí)間、離散頻率 傅里葉級(jí)數(shù)(CTFS)按照狄義赫利條件，周期性信號(hào)為功率信號(hào)，能量無限，不滿足變換的充分條件因此其傅立葉變換必有特殊的表現(xiàn)形式。我們?nèi)耘f按照傅立葉變換式來進(jìn)行考察：8無論模擬頻率為何值，上式恒為零。 僅僅在有限可數(shù)個(gè)頻點(diǎn) 處為零，就要求在其他頻段 皆為零，為離散頻率函數(shù)。時(shí)域上的周期性造成了頻域上的離散。由帕塞瓦爾定理知：時(shí)、頻域能量相等，周期信號(hào)能量是無限的，所以離散頻點(diǎn) 處的能量為沖激函數(shù)。 9實(shí)際上， 可展成傅立葉級(jí)數(shù)，引入廣義函數(shù)的條件下有：10時(shí)域周期性相應(yīng)于頻域的離散化11三、離散時(shí)間、連續(xù)頻率 序列的傅里葉變

4、換(DTFT)12序列的傅立葉變換為頻域周期性函數(shù)13設(shè) 是周期為N的一個(gè)周期序列，由于周期序列不是絕對(duì)可和的，所以不能用DTFT表示四、離散時(shí)間、離散頻率 離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)14與連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)一樣，周期序列應(yīng)該可以用傅里葉級(jí)數(shù)表示。周期為N的復(fù)指數(shù)序列基頻序列為：其k次諧波序列為： 連續(xù)周期信號(hào)與離散周期序列的復(fù)指數(shù)連續(xù)傅立葉級(jí)數(shù)有無窮多個(gè)諧波成分離散傅里葉級(jí)的諧波只有N個(gè)是獨(dú)立15基頻序列周期基頻k次諧波序列連續(xù)周期離散周期16假設(shè)信號(hào)可展成如下的離散傅里葉級(jí)數(shù)其中N為常數(shù)，選取它是為了表達(dá)式成立的需要， 是k次諧波的系數(shù)。假設(shè)17系數(shù)的求取1819 通常對(duì)變換因子采用以下符號(hào)：

5、 則DFS變換對(duì)為：正變換反變換周期序列的傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)20周期矩形脈沖串的DFS-10 01234 91021需要注意的是，周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)可以看成是對(duì)序列主值周期作Z變換，在單位圓上按等間隔抽樣而得到。設(shè) ，則Z變換為：2223例題：DFS與主值區(qū)間的DTFT關(guān)系-10 01234 91024255.1.2 抽樣Z變換-頻域抽樣在采樣定理的限制條件下，信號(hào)在時(shí)域的采樣可以恢復(fù)原始信號(hào)。信號(hào)的Z域的單位圓上的變換(DTFT)也可以恢復(fù)信號(hào)。更為一般的討論，在單位圓上抽樣將導(dǎo)致信號(hào)在時(shí)間域上發(fā)生怎樣的變化？是否也可以利用單位圓抽樣恢復(fù)原始信號(hào)呢？2627不考慮信號(hào)的具體形式，直接

6、對(duì)單位圓抽樣值經(jīng)過IDFS變換得到的序列為：2829由此看出：?jiǎn)挝粓A上N點(diǎn)的頻率抽樣變換得到的是原序列在時(shí)軸上以抽樣點(diǎn)數(shù)為周期的延拓 。為此：如原序列不是有限長(zhǎng)，則時(shí)域延拓必然造成混疊；若原序列是一個(gè)有限長(zhǎng)且長(zhǎng)度小于采樣點(diǎn)數(shù)N的序列，則可以通過乘以窗函數(shù)得到原始序列，即：30長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，頻域抽樣不失真的條件是頻域抽樣的點(diǎn)數(shù)N要大于或等于序列長(zhǎng)度M。因此，若頻域抽樣可以無失真的恢復(fù)原序列，則它們必然也可以完整的表達(dá) 及頻率響應(yīng)。31頻域重構(gòu)32其中： 稱為內(nèi)插函數(shù)。分子有N個(gè)零點(diǎn)：內(nèi)插函數(shù)的極點(diǎn)與第k個(gè)零點(diǎn)相抵消，僅在該點(diǎn)處值不為零，在其他抽樣點(diǎn)處皆為零。 Z域內(nèi)插公式33頻域重構(gòu)公式同樣道理可以得到：可見 具有線性相位。 34例題：已知6點(diǎn)周期序列x1(n)的DFS為X1(k);若假設(shè)一個(gè)周期為3的序列x2(n)的DFSX2(k)與上述6點(diǎn)周期序列之間存在如下關(guān)系：X2(k)=X1(2k),請(qǐng)確定3點(diǎn)周期序列若未知序列為12點(diǎn)， X2(2k)=X1(k),則能否唯一