隨機(jī)過程理論：03 平穩(wěn)隨機(jī)過程

1、回顧 隨機(jī)過程 定義隨機(jī)過程 概念聯(lián)合分布函數(shù)數(shù)字特征均值、方差與自相關(guān)函數(shù)平 穩(wěn) 隨 機(jī) 過 程主講人：張有光第03講主要內(nèi)容一、狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程二、廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程三、二階矩過程三、平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)四、平穩(wěn)隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)一、狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程1、狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義2、一維概率密度及數(shù)字特征3、二維概率密度及數(shù)字特征1、狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義設(shè) 為一隨機(jī)過程，若對(duì)于任意正整數(shù)n及實(shí)數(shù) ，F(xiàn)n()表示分布函數(shù)，則稱X(t)狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程1、狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義在概率密度存在的情況下，該定義等價(jià)為：其中，fn()表示概率密度函數(shù)2、一維概率密度及數(shù)字特征平穩(wěn)過程的一維概率密度

2、：均值：方差：一維概率密度、均值、方差均與時(shí)間無關(guān)3、二維概率密度及數(shù)字特征二維概率密度：自相關(guān)函數(shù)：3、二維概率密度及數(shù)字特征協(xié)方差函數(shù) 二維概率密度、自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間的起點(diǎn)和終點(diǎn)無關(guān)總結(jié)若 ，則其均值、方差為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)為單變量 的函數(shù)。二、廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程1、引入的背景和意義2、廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程3、狹義平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)1、為什么要引入廣義平穩(wěn)狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程的條件過于嚴(yán)格，往往滿足不了。弱化條件，在二階矩范圍內(nèi)（一階矩、二階矩）滿足平穩(wěn)性，已經(jīng)可以滿足實(shí)際中的分析要求。2、廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程設(shè) 是一隨機(jī)過程， 且有： 則稱 為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程（弱平

3、穩(wěn)隨機(jī)過程）3、廣義平穩(wěn)與狹義平穩(wěn)當(dāng)X(t)為高斯過程時(shí)， 狹義平穩(wěn) 廣義平穩(wěn)當(dāng) 時(shí)， 狹義平穩(wěn) 廣義平穩(wěn)結(jié)論：廣義平穩(wěn)和狹義平穩(wěn) 并沒有必然的因果關(guān)系 例2.2-1設(shè)隨機(jī)過程 ，A為均勻分布于 上的隨機(jī)變量。試問 是否平穩(wěn)？ 解：因?yàn)?例2.2-2解：因?yàn)橛忠驗(yàn)槔?.2-3 解：設(shè)隨機(jī)相位余波 ，其中 為常數(shù)， 是在區(qū)間上 均勻分布的隨機(jī)變量，即： 例2.2-4試判斷隨機(jī)過程 的平穩(wěn)性。解：因?yàn)楣手?為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程 再看自相關(guān)函數(shù)三、二階矩過程1、二階矩過程定義2、二階矩過程性質(zhì)3、相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1、二階矩過程定義則此過程稱為二階矩過程。若一個(gè)隨機(jī)過程 ，如果對(duì)于一切 ，總有：2、二階矩

4、過程性質(zhì)均值函數(shù)：自協(xié)方差函數(shù)： 二階矩的均值函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)總是存在的存在性證明：3、相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)（一）定理：設(shè)有二階矩過程 ， 為它的相關(guān)函數(shù)，則即：實(shí)二階矩隨機(jī)過程的自相關(guān) 函數(shù)是對(duì)稱的。3、相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)（二）定理： 二階矩過程的自相關(guān)函數(shù) 具有非負(fù)定性，即對(duì)于任意有限個(gè) 和任意的n個(gè)復(fù)數(shù) 有其中n為任意整數(shù)證明：即：上述不等式可用矩陣表示為：或：四、平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)1、奇偶性2、零點(diǎn)處取峰值3、存在極限4、連續(xù)的充要條件5、非負(fù)定性1、 是偶函數(shù)證明：同理2、 在零點(diǎn)處達(dá)最大值用公式表示：證明：同理可證： （練習(xí)）3、 R()的極限在實(shí)際中，當(dāng)平穩(wěn)過程X(t)

5、中不包含任何確定分量時(shí)，時(shí)間間隔充分大的兩個(gè)狀態(tài)可以認(rèn)為是無關(guān)的，則：補(bǔ)充對(duì)于協(xié)方差：用R(0)和R()可以表示方差：另有：4、 連續(xù)的充要條件充分性證明：5、非負(fù)定性對(duì)于任意實(shí)數(shù)附：平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)曲線0自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 小結(jié)奇偶性零點(diǎn)處取峰值存在極限連續(xù)的充要條件：零點(diǎn)處連續(xù)非負(fù)定性例2.2-5 設(shè) 為一實(shí)隨機(jī)過程 的自相關(guān)函數(shù)。證明若對(duì)應(yīng)于某一個(gè) ，有 ，則 必為周期性的。證明： 根據(jù)切比雪夫不等式,可得：根據(jù)概率的定義有： 故有：即：于是得到 為周期過程， 為周期。并且進(jìn)一步有：因此證明 是以 為周期的周期函數(shù)。例2.2-6 隨機(jī)電報(bào)過程 的典型樣本函數(shù)如圖所示，過程的時(shí)間為 ，任

6、何時(shí)刻t，樣本函數(shù)只有“1”和“0”兩個(gè)值，出現(xiàn)的概率皆為1/2。從“1”到“0”或從“0”到“1”交換的時(shí)刻是隨機(jī)的。在任一給定時(shí)間段 內(nèi)，交換的次數(shù)k的概率服從泊松分布，即： 解： 式中， 為單位時(shí)間變換的次數(shù)。試求隨機(jī)過程 的數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)。由于相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，得 ：而協(xié)方差函數(shù) ： 由此， 為平穩(wěn)隨機(jī)過程五、互相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)1、聯(lián)合平穩(wěn)的概念2、互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1、聯(lián)合平穩(wěn)的概念若X(t)和Y(t)單獨(dú)及聯(lián)合都是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。且互相關(guān)函數(shù)僅是單變量 的函數(shù)，即：則稱X(t)和Y(t)是平穩(wěn)相關(guān)（聯(lián)合平穩(wěn)）的。2、互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)若過程X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的，則其互相關(guān)函數(shù) 具有以下性質(zhì)：2、相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)2、相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)若過程X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的，則Z(t)=X(t)+Y(t)是一聯(lián)合平穩(wěn)過程。相關(guān)系數(shù)與相關(guān)時(shí)間1、相關(guān)系數(shù)2、相關(guān)時(shí)間1、相關(guān)系數(shù)協(xié)方差函數(shù) 但是依賴于兩個(gè)量本身的大小；思考題：為什么不是自相關(guān)函數(shù)的比值？相關(guān)系數(shù)2、相關(guān)時(shí)間對(duì)于許多過程當(dāng) 之間已不相關(guān)，因此工程上通常定出一時(shí)間本書缺省為定義12、相關(guān)時(shí)間舉例已知隨機(jī)過程X(t)和Y(t)的協(xié)方差函數(shù)分別為（1）比較兩個(gè)過程的起伏程度（2）比較 時(shí)兩個(gè)過程的相關(guān)程度（3）比較Y