數(shù)學(xué)聯(lián)想法在解題中的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)聯(lián)想法在解題中的應(yīng)用安徽省利辛縣望疃鎮(zhèn)第一初級中學(xué) 李凌云 (郵編：236735)摘 要： 數(shù)學(xué)聯(lián)想是探索數(shù)學(xué)解題途徑的向?qū)А１疚慕Y(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，從數(shù)學(xué)思維與解題教學(xué)兩個方面對數(shù)學(xué)聯(lián)想在解題中的應(yīng)用進(jìn)行較為系統(tǒng)、深入的探討，以期對其達(dá)到較為深刻的認(rèn)識，對指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)解題有一定的借鑒意義。關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)聯(lián)想；數(shù)學(xué)思維；解題教學(xué)聯(lián)想，是從事物之間具有某種聯(lián)系與相似性，推出另一些事物的聯(lián)系與相似性的一種思維方法。數(shù)學(xué)聯(lián)想是知識學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要思維形式。巴甫洛夫?qū)W派認(rèn)為,學(xué)習(xí)就是形成暫時聯(lián)系。暫時聯(lián)系就是聯(lián)想,就是獲得有關(guān)事物關(guān)系的知識。在進(jìn)行新的學(xué)習(xí)時,“利用知識,利用已獲得的諸多聯(lián)系,這

2、就是理解”。知識的學(xué)習(xí)和理解是離不開聯(lián)想的。前蘇聯(lián)教育學(xué)、心理學(xué)家克魯捷茨基認(rèn)為：“數(shù)學(xué)能力就是用數(shù)學(xué)材料去形成概括的、簡縮的、靈活的聯(lián)想和聯(lián)想系統(tǒng)的能力”。中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)研究的對象是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具體可以分為：教學(xué)目的（為什么教）、教學(xué)對象（教誰）、教學(xué)內(nèi)容（教什么）、學(xué)法（如何學(xué)）、教法（如何教）、學(xué)習(xí)效果（學(xué)得如何）中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)研究的對象是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具體可以分為：教學(xué)目的（為什么教）、教學(xué)對象（教誰）、教學(xué)內(nèi)容（教什么）、學(xué)法（如何學(xué)）、教法（如何教）、學(xué)習(xí)效果（學(xué)得如何）具體可以分為：教學(xué)目的（為什么教）、教學(xué)對象（教誰）、教學(xué)內(nèi)容（教什么）、學(xué)法（如何學(xué)）、教法（如具體可以分為：教

3、學(xué)目的（為什么教）、教學(xué)對象（教誰）、教學(xué)內(nèi)容（教什么）、學(xué)法（如何學(xué)）、教法（如何教）、學(xué)習(xí)效果（學(xué)得如何）具體可以分為：教學(xué)目的（為什么教）、教學(xué)對象（教誰）、教學(xué)內(nèi)容（教什么）、學(xué)法（如何學(xué)）、教法（如何教）、學(xué)習(xí)效果（學(xué)得如何）具體可以分為：教學(xué)目的（為什么教）、教學(xué)對象（教誰）、教學(xué)內(nèi)容（教什么）、學(xué)法（如何學(xué)）、教法（如何教）、學(xué)習(xí)效果（學(xué)得如何）在解題過程中,我們通過聯(lián)想,一方面使已學(xué)過的知識重現(xiàn),從而迅速找到解決新問題的方法；另一方面又啟發(fā)我們將這種方法遷移到同類的問題上,推廣它的應(yīng)用?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)研究強(qiáng)調(diào)知識的發(fā)生、發(fā)展過程,那么就要求教師在教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想、類比

4、、猜想、探究。 數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要任務(wù)就是要還原數(shù)學(xué)思維活動的過程。在教學(xué)中,發(fā)展學(xué)生的聯(lián)想能力,不僅有利于學(xué)生一般能力的發(fā)展,更有利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造思維能力。一、數(shù)學(xué)思維中的聯(lián)想1、數(shù)學(xué)聯(lián)想的內(nèi)涵所謂數(shù)學(xué)聯(lián)想，是以觀察為基礎(chǔ),根據(jù)所研究的對象或問題的特點(diǎn),聯(lián)系已有的知識、技能、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行想象的思維方法。它是一種再現(xiàn)性現(xiàn)象,是進(jìn)行類比、模擬、歸納、猜想等似真推理的基礎(chǔ)。針對具體數(shù)學(xué)問題,根據(jù)聯(lián)想的方向、方位、角度的不同,我們可以聯(lián)想有關(guān)定義、公理、定理、公式、性質(zhì)、法則等數(shù)學(xué)事實(shí),可以聯(lián)想到已經(jīng)解決的熟悉問題,可以將一般問題聯(lián)想到特殊情況,可以將特殊問題聯(lián)想到一般情況,可以將數(shù)的問題聯(lián)想到形的問

5、題,又可以將形的問題聯(lián)想到數(shù)的問題,可以用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、思想、方法解決初等數(shù)學(xué)問題。又可以將初等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、思想、方法移植到高等數(shù)學(xué)中去等等。研究聯(lián)想的目的在于使人們能自覺地強(qiáng)化聯(lián)想意識，遵循聯(lián)想規(guī)律思考問題，從而提高思維的效率與質(zhì)量。這里,著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在怎樣解題一書中擬定的解題策略,是運(yùn)用數(shù)學(xué)聯(lián)想的高度概括,成為世人的典范。2、數(shù)學(xué)聯(lián)想在數(shù)學(xué)解題思維中的作用（1） 數(shù)學(xué)聯(lián)想是探索數(shù)學(xué)解題途徑的向?qū)Р徽撌裁磫栴},只要有路可循,即使復(fù)雜、曲折,總可沿路逐步地走向欲達(dá)的目標(biāo),最傷腦筋的則是面對問題茫茫然不知從何下手,其原因不外是,遇到的題目,其面貌與我們學(xué)過的知識、會做的題型,相差懸殊；

6、或者是與我們所掌握的解題方法聯(lián)系不上。解題之難,也就在于沒有一個普遍又行之有效的辦法,去打破這無從下手的窘?jīng)r。處于山重水復(fù)疑無路的時候,不妨跳出原來局限的范圍,聯(lián)想到與之相近的知識或類似的問題,并著力去發(fā)掘它們內(nèi)在的聯(lián)系,由此及彼,以收他山之石,可以攻玉的效果。甚至聯(lián)想到與它的反面進(jìn)行對比,以從中受到有益的啟示,如此這般地進(jìn)行聯(lián)想,就有可能出現(xiàn)柳暗花明的局面。因此,當(dāng)我們面臨難題,百思不得其解的時候,廣泛地進(jìn)行聯(lián)想,倒是值得一試的法寶。（2） 數(shù)學(xué)聯(lián)想是將數(shù)學(xué)題設(shè)向結(jié)論轉(zhuǎn)化的橋梁在數(shù)學(xué)中,轉(zhuǎn)化是最常用的手段.因?yàn)橥ㄟ^適宜的轉(zhuǎn)化,費(fèi)解的可以變得易懂,生疏的能夠換成熟悉的,從而收到以簡馭繁、化難為

7、易的效果,因此,恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化在解題中能發(fā)揮巨大的威力.但是,怎樣去轉(zhuǎn)化,特別是朝哪個方向去轉(zhuǎn)化,常常是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵,對此,廣泛地聯(lián)想就可引導(dǎo)我們?nèi)プ鬓D(zhuǎn)化的嘗試，設(shè)法溝通聯(lián)想的對象。（3）數(shù)學(xué)聯(lián)想是尋求數(shù)學(xué)習(xí)題巧思妙解的搖籃在數(shù)學(xué)中,我們常常贊賞某些解法巧妙,其原因是因?yàn)樗鼪]有墨守常規(guī),而是針對題目的特點(diǎn)出人意料地聯(lián)想到與之相似的問題,因而給人以新鮮、巧妙之感。（4）數(shù)學(xué)聯(lián)想是提升數(shù)學(xué)解題思維層次的階梯演算、論證的技能雖是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很重要的基本功,然而對數(shù)學(xué)的發(fā)展來說,更重要的還在于發(fā)現(xiàn),除了從實(shí)際中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題以外,解題過程中,也常常存在著發(fā)現(xiàn)問題的機(jī)遇,關(guān)鍵在于我們是否有心,如果不滿足于解出題

8、來,就會進(jìn)而考慮,題目的條件是否可以減弱,結(jié)論是否還可以加強(qiáng)?這樣就有可能將原題改進(jìn)行推廣.一般說來,原題產(chǎn)生的過程中,就曾力求做到條件最少、結(jié)論最強(qiáng).然而,這種努力也因局限于當(dāng)時所處的時間和范圍,未必達(dá)到盡善美.如果我們有意地進(jìn)行多方面的聯(lián)想,那就有可能打破原來所處的局限,受到聯(lián)想之物的啟示,使題目能夠改進(jìn),問題得以發(fā)展。二、數(shù)學(xué)聯(lián)想法在解題中的應(yīng)用1、數(shù)學(xué)聯(lián)想是解決數(shù)學(xué)問題的一個有力的工具，也是中學(xué)數(shù)學(xué)中極為重要的基本方法之一，通過數(shù)學(xué)聯(lián)想可將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形相結(jié)合，是抽象思維與形象思維相結(jié)合，縮短思維鏈，簡化思維過程。所謂數(shù)學(xué)聯(lián)想方法,就是以聯(lián)想為中介,進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),探求解題思路

9、, 由此及彼地思考問題的一種方法。數(shù)學(xué)解題的思考過程實(shí)質(zhì)上是已知和未知之間一系列的聯(lián)想過程。在解題時,通過仔細(xì)的觀察、分析,由問題的條件、圖形特征和求解目標(biāo)的結(jié)構(gòu)形式（或其等價形式),聯(lián)想到與其有關(guān)的定義、公式、定理、法則、性質(zhì)、數(shù)學(xué)解題思想、解題方法、解題技巧以及熟知的相關(guān)問題的結(jié)論和解法,由此連續(xù)化簡條件和結(jié)論,建立條件與求解目標(biāo)間的聯(lián)系,從而就找到解題的思路和方法。數(shù)學(xué)中的定義、公式、定理和性質(zhì),是解決數(shù)學(xué)問題的工具, 當(dāng)我們要解決一個新問題時,首先聯(lián)想到的是與之有關(guān)的定義、定理、公式和性質(zhì),這是最基本的聯(lián)想對象。一些結(jié)構(gòu)不太復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題,往往經(jīng)過簡單的聯(lián)想和與之相關(guān)概念的定義、有關(guān)定

10、理、公式和性質(zhì)就可以解決。對于復(fù)雜的問題,則需反復(fù)聯(lián)想。例1：，求的值。直接求出和再求值是復(fù)雜的。通過觀察已知，是方程的兩根，聯(lián)想到韋達(dá)定理有+=，從而=4。2、聯(lián)想常用的數(shù)學(xué)方法當(dāng)我們解決一個數(shù)學(xué)問題時,聯(lián)想到與它有關(guān)的定義、公式、定理和性質(zhì)與問題相距較遠(yuǎn)時,可通過一定的數(shù)學(xué)方法把它們聯(lián)接起來。因此在聯(lián)想到有關(guān)的定義、定理、公式和性質(zhì)以后,還要聯(lián)想到與它有關(guān)的數(shù)學(xué)方法。這些常用的數(shù)學(xué)方法是配方法、換元法、消元法、待定系數(shù)法、判別式法、解析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等等。例2：求方程的一切實(shí)數(shù)根。分析：問題是與二次三項式有關(guān)，又與實(shí)根有關(guān)，因而又聯(lián)想到配方法。將方程配方為： 因?yàn)橛新?lián)想到非負(fù)實(shí)數(shù)和

11、為0時，各項均為0的性質(zhì)，列出兩個等式，便可求出實(shí)根。例3：已知且求z的值。分析：用消元法來解很麻煩,由（2）（3）的形式結(jié)構(gòu)聯(lián)想到余弦定理,將（2）（3） 變形為 于是數(shù)形聯(lián)想構(gòu)造圖形。利用，便可求出 z來。數(shù)形結(jié)合是一種很重要的數(shù)學(xué)方法,常常使我們能夠達(dá)到事半功倍的效果。3、數(shù)學(xué)聯(lián)想的類型（1）相似聯(lián)想相似聯(lián)想，就是從問題的條件或結(jié)論出發(fā)，在尋找與題目接近或很相似的公式或結(jié)論，聯(lián)想有關(guān)知識，探求解題途徑。巴甫洛夫說:“解題時的聯(lián)想,就是找出與題目某些特點(diǎn)很接近的或很相似的原理、方法、結(jié)論或命題來,變通使用這些知識和方法,觀察能否解決或趨于解決問題。”在解決組合等式問題時,通過仔細(xì)的觀察、分

12、析,由問題的條件、求解目標(biāo)的結(jié)構(gòu)形式( 或其等價式)聯(lián)想到與其有關(guān)的公式、定理、法則、性質(zhì)、思想、方法、技巧以及熟知的相關(guān)問題的解法,由此連續(xù)地化簡條件和結(jié)論,建立條件與求解目標(biāo)間的邏輯聯(lián)系,從而找到解題的思路和方法。相似性聯(lián)想又稱類似性聯(lián)想,是對當(dāng)前事物或問題進(jìn)行表征后產(chǎn)生相似直感而回憶起另一具有圖形相似、圖式相似或方法類似的事物或問題的聯(lián)想，就是指事物中某種屬性的相似性。由于事物之間具有相同或相似的屬性,我們可以由一個事物已知的特殊性質(zhì)聯(lián)想到另一事物的特殊性質(zhì)。例4：若，則成等差數(shù)列。分析：常規(guī)解法先把左邊的代數(shù)式展開,然后再利用因式分解來證明。 但若仔細(xì)觀察條件發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的根的

13、判別式類似,于是聯(lián)想到將已知條件看作是關(guān)于t的二次方程有等根的條件。不難發(fā)現(xiàn),方程左邊各項系數(shù)之和為0 ,即故知方程有兩個等根,均為1,于是可利用韋達(dá)定理,其兩根之積為即故成等差數(shù)列。相似聯(lián)想反映事物間的相似性和共性,在教學(xué)中運(yùn)用類似聯(lián)想便于識記和回憶,有利于由類似聯(lián)想而提高學(xué)習(xí)效率。（2）接近聯(lián)想接近聯(lián)想是指對當(dāng)前事物或問題感知時,形成表征或產(chǎn)生直感以后,對過去的在時間上、空間上或關(guān)系、性質(zhì)方面很接近的事物或問題的回憶,是相互接近的事物之間形成的聯(lián)想,是從已知探索未知的有力武器。解題中要學(xué)會觀察問題的條件和結(jié)論,聯(lián)想到與之內(nèi)容相近的有關(guān)知識,從而發(fā)現(xiàn)解決問題的思路。在數(shù)學(xué)解題中表現(xiàn)為觀察問題

14、的條件和結(jié)論,聯(lián)想到與之內(nèi)容相接近的有關(guān)知識,例如,算術(shù)根與絕對值,二次函數(shù)的圖像與一元二次不等式的解集、條件相同結(jié)論相異的命題等都是接近聯(lián)想的對象。例5： 例求證分析：不等式左邊根式的被開方數(shù)都是平方和的形式,這使我們聯(lián)想到復(fù)數(shù)模的表達(dá)式,由此得到啟發(fā),通過構(gòu)造函數(shù)證題。設(shè)則左邊接近聯(lián)想是最普遍的聯(lián)想,也是最常用的聯(lián)想方法，運(yùn)用接近聯(lián)想還能啟發(fā)創(chuàng)造性思維和想象（3）數(shù)形聯(lián)想數(shù)形結(jié)合思想反映了客觀事物深層次的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合能啟迪聯(lián)想，進(jìn)而產(chǎn)生靈感，使向問題轉(zhuǎn)化或者找到數(shù)學(xué)模型，或者回到基本概念，使問題變成原來我們熟悉的類型，就可以找到解題的關(guān)鍵，探尋到解題的正確途徑。數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)里的

15、一種重要的思想方法，善于進(jìn)行數(shù)與形之間的聯(lián)想，往往使我們在解題時得到新穎、簡潔的方法。例6： 若滿足，滿足，則 ( ) A B 3 C D 4 解析：將所給兩個條件變形處理，利用函數(shù)圖像的對稱性求解。將已知條件變形為：，構(gòu)造函數(shù)，作出以上3個函數(shù)以及圖像，如圖：由題意知，函數(shù)與關(guān)于直線對稱，又直線與垂直且圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，根據(jù)圖像對稱性知，。（4）意愿聯(lián)想意愿聯(lián)想，即由推理的意愿引發(fā)的聯(lián)想。推理的意愿可以引起聯(lián)想，這是因?yàn)橥评淼囊庠缚梢约ぐl(fā)主觀能動性，而思維活動是受主觀能動性控制的。有了推理的主觀要求，就有可能出現(xiàn)有關(guān)內(nèi)容的聯(lián)想。在人們思考研究問題時，研究對象對感官的刺激是外因，而思維的自我追

16、尋則成為內(nèi)因。如自我追尋有時表現(xiàn)為自言自語，有時是沉默在心中的默問，有時僅僅是下意識，即自己不曾感到有問的跡象而實(shí)際是在自問自尋的推理意愿激勵下產(chǎn)生聯(lián)想逐步前進(jìn)的。例7：一塊正方形地板由全等的正方形瓷磚鋪成，且地板的兩條對角線上的瓷磚是黑色的，其余瓷磚是白色。如果有101塊黑色瓷磚，那么瓷磚的總數(shù)是多少呢？A121 B625 C676 D252 E2601解：由于兩條對角線上黑色瓷磚共101塊，又發(fā)現(xiàn)中心處的一塊公用的，說明對角線上有51塊黑色瓷磚。正方形有51列又說明正方形每邊有51塊瓷磚，顯然瓷磚總數(shù)是=2601（塊）從上例分析可以看出，人們對所求的問題，在意愿的驅(qū)動下，一層層地展開聯(lián)想，

17、一步一步地解決了問題。（5）程式聯(lián)想所謂程式聯(lián)想，指的是對于歸類的問題（如有確定解法或者有確定解題思路），由問題本身的歸屬而觸發(fā)與問題解決有關(guān)的若干聯(lián)想。程式聯(lián)想往往與意愿聯(lián)想、相似聯(lián)想緊密相連，甚至是你中有我，我中有你。例8：解不等式分析：由數(shù)的問題聯(lián)想到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)一步聯(lián)想到利用函數(shù)式與函數(shù)圖像。于是設(shè)原不等式化成。在這個聯(lián)想的過程中，就其總體來說，屬于程式聯(lián)想，就其內(nèi)容來說卻與關(guān)系聯(lián)想、意愿聯(lián)想、相似聯(lián)想難舍難分。在這些聯(lián)想下，思維內(nèi)容逐步具體化，便的解集程式聯(lián)想揭示了定勢思維的思維機(jī)制，它對于問題解決具有不可低估的作用。聯(lián)想是數(shù)學(xué)研究的一種基本思維方法,作為一種思維形式,在

18、數(shù)學(xué)解題中有著極其重要的作用。從上面的例子可以看出,不少的數(shù)學(xué)問題,通過精心聯(lián)想,容易找到解題的簡捷方法,對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的問題,一般要聯(lián)合運(yùn)用多種聯(lián)想方法,巧妙地利用聯(lián)想突破思維的局限性,拓寬思維的深度和廣度,增強(qiáng)思維的靈活性,才能探明解題的線索?？梢赃@樣說:數(shù)學(xué)聯(lián)想是探索數(shù)學(xué)解題途徑的向?qū)?是將數(shù)學(xué)題設(shè)向結(jié)論轉(zhuǎn)化的橋梁,是尋求數(shù)學(xué)問題巧思妙解的搖籃,是提升解題思維層次的階梯。參考文獻(xiàn)：1劉來福、曾文藝著問題解決的數(shù)學(xué)模型方法（M）北京：北京師范大學(xué)出版社1999.8； （01）2錢佩芳 主編，中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法 （M）北京：北京師范大學(xué)出版社2001.9； (07)3鄧小榮，高中數(shù)學(xué)的體驗(yàn)教學(xué)法J桂林：廣西師范學(xué)院學(xué)報2003.8； (21)4黃紅，淺談高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方法J廣西：廣西右江民族師專學(xué)報 2003.6；（09） 5胡中雙，淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)J湖南：湖南教育學(xué)院學(xué)報20