等比數列考點、考題分析

1、等比數列考點、考型解析臨泉實驗中學安慶旺等比數列是數列的核心內容，是高考必考的知識點之一.在高考中涉及到等比數列的主要考點有：等比數列的基本運算與通項公式；等比數列的性質；等比數列的前n項和；等比數列的綜合應用等.考點一 等比數列的基本運算與通項公式考型一 等比數列的基本運算例1 (2012新課標卷)等比數列 以的前n項和為Sn,若S+3S2=0,則公比q =_. TOC o 1-5 h z 【命題立意】本題考查等比數列的基本運算，考查學生的運算能力【試題解析】由 S3 +3S2 = 0,即 a1 +a2 +a3 +3(a1 +a2) = 0a,即 4al +4a2 + a3 = 0 ,即 4

2、al +4aq +a1q2 =0 ,即 q2 +4q +4 = 0,所以 q = -2.【點撥】等比數列的通項公式及前n項和Sn,反映出五個變量 a1,an,n, q, Sn的關系，利用方程的思想，知三求二，能熟練列方程，求未知量考型二：4與S的關系例2 (2013新課標卷I)若數列a的前n項和Sn =2an+1 ,則OJ的通項公式是33an【命題立意】本題考查等比數列的定義，Sn與an之間的關系，意在考查考生利用分類討論思想和等比數列的定義，考查運算能力. HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 2121【試題斛析】當n =1時，由已知Sn = -

3、 an十一 得a1 = a1十一 即a1 = 1 ； HYPERLINK l bookmark15 o Current Document 3333, 一 一 21當n上2時，由已知得到Sn=an+,33所以 anSn - Sn 4 =2JanV2a3 J 312_2-n-l+- =-an 二 an二所以 Hn = -2Hn，333所以，數列為以1為首項，以-2為公比的等比數列，故 an = (-2)n，【點撥】利用an與Sn的關系，求通項公式時，要按照n = 1和n之2兩種情況分類解答，當n22時，由an =& 一Sn2JanJf23an4122十二=二4一二an,得an與an的關系 333n

4、 =1也成立.式，再利用等比數列的定義和通項公式求解.最后驗證所求通項公式對于 考型三：可化為等比數列的線性遞推數列例 3 數列 Q中，a =1a+=2an+3,則 an =.【命題立意】本題考查遞推數列通項公式的求法，考查學生的觀察能力、推理運算能力，轉化與化歸的思想方法.【試題解析】由an+ = 2an +3變形得%中+3 = 2（4 + 3）,令bn = % + 3,得bn書=2bn.從而數列&n是首項為4 ,公比為2的等比數列，易得bn =2n* ,所以an =2n* -3.【方法、規(guī)律點撥】在上面的變形過程中，為什么想到兩邊加上3,就構成等比數列，其中有什么規(guī)律？事實上，對于形如an

5、 = pan+q,（p,q為常數，且p#1）的數列，我 TOC o 1-5 h z 們把它叫做一階線性遞推數列，我們可以采用待定系數法求通項公式假設 an.+x = p（an+x）展開后得an = pan+ （p -1）x ,與 an.= pan+q 比較系數，n -1n11 -1nn -in可得 x =,即 an書 + = p（an +），p -1p 1p 1令bn =an,則匕為等比數列，公比為p,首項為p 1p 1求出bn，進而求出an.這種構造等比數列的方法是解決線性遞推數列問題的基本方法，對于復雜的遞推數列的關系一旦轉化為線性遞推關系，很容易求出其通項公式.常見以下幾種變式變式1：已

6、知數列 Q 的首項a =1，且an書=3an +2n*,（n主2）,求an【試題解析】方法一：由已知an書=3an +2n*,（n至2）等式兩邊同時除以2n卡，得骷 =3，駕+1,兩邊同時加2得的+2=9（與+2）.2n 122n2“122n所以，數列（a；十2；是首項為5,公比為。的等比數列.2n22a5故曳2=52n23丫5M3n=2nn 4 n 1，即 an = 5 3-2方法二：由已知an+=3an +2n書,（n之2）等式兩邊同時加2n卡,得 an1 2n2 =3 (an 2n1)所以，數列On +2n+1是首項為5,公3比為的等比數列n 1n 1n3n1故 an +2=5父3 ,即

7、 an =5父3 -2【方法、規(guī)律點撥】對于形如 an+=pan +qn的遞推數列，兩邊同時除以 qn中,得包葉=E .與 1,轉化為線性遞推數列，再進一步轉化成等比數列求解 qn q qn qa.變式2：已知ai =5,a5 = n (n1),則該數列的通項 an =.22【試題解析】由an書=a-,兩邊取對數得 lg an+=2lg an -lg2,進而變形為lgan+lg2=2(lgan lg2),所以，數列 加小lg2是首項為lg5 lg2,公比為2的等2n 1一,一,一, n 1，5比數列，從而 lgan lg2 = (lg5 lg2)2 ,即 an =2黑 9.0,q1)的遞推數列

8、，兩邊取對數得lg an+ =qlg an +lg p轉化為線性遞推數列，化歸為熟知的問題求解變式3：已知數列 Q 的首項a1 =1 ,且a. = 2an ，求an.3an 42a113【試題斛析】由 an書=,兩邊取倒數，得 =2 x + ,3an 4an 1an 21313 變形為，+3=2 - + -an 書 2是等比數列，首項是。2：所以+ 3 =5M2n，從而an =21an 2 25 2n -3【方法、規(guī)律點撥】對于形如an+= Aan (A,B,C為非零常數)的遞推數列，可通過兩 Ban C TOC o 1-5 h z 邊取倒數，轉化為線性遞推數列求解.考點二等比數列的性質及其應

9、用考型一等比數列的單調性例4(1) (2010山東)設4是首項大于零的等比數列，則“ a0 ,所以有a1 1 , 所以數列是遞增數列；反之，若數列 小 是遞增數列，則公比 q 1且a1A 0 ,所以 a1 1 , a1 a2 ：一 .an遞增；當 n 4 時，an 1, a1a2 .an 遞減.又24=1,所以當n=3或4時，a1 a2 an最大，最大值為 64.考型二 等比數列的性質例5數列小是各項都為正數的等比數列，公比為 2 ,若a1 22 a3230 = 230,【命題立意】本題考查等比數列乘積的性質，考查學生的運算求解能力【試題解析】方法一：由an 是各項都為正數的等比數列得30=2

10、 ,=a1 2a30 15a1a30 =a2，a29=a15a16,所以aaa3130=(a1 1a30)故 a，a30 = 2 . TOC o 1-5 h z l r5則a3%89830= a3a0a6 仇7.a15a第=a3a0555=a3 a30= a1 2 a30= 2方法二：利用等比中項的性質,a2a3=a2,a4a5a6=a5,a28a29a30= a29.33 - - -3.330a2a3a30=a2B5W29 =a2a5a29= 2所以,a2 a5a29=2：a30 = a2 2 a52 : a29 2 = a2 a5-210 =220【點撥】在等比數列中，距首末兩端等距離的兩

11、項乘積相等，即a an = a?an 4-= akan由，方法二中巧妙利用等比中項進行轉化，使得計算過程簡化.考點三等比數列的前項和公式；考型一等比數列前n項和公式例6 （2012江西）等比數列an的前n項和為Sn,公比不為1.若a1=1,且對任意的n N十都有 Sn + 2 + 3n+ 1 2an = 0,則 S5=.【命題立意】以遞推形式給出等比數列，考查方程思想、等比數列的基本運算、等比數列求和公式的應用.【試題解析】由 an-2 +an+-2an =0,得 anq2 +anq2an =0,顯然 an #0,5 所以 q +q-2 = 0.又 q#1,解得 q = 2 .又 a1 = 1

12、,所以 S5 =- =11.1-(-2)【點撥】因為對任意的 nw N +都有an42+an書一2an = 0,可以由a1=1,n=1代入，解方程得公比q ,也可以利用等比數列的定義得 anq2 +anq -2an = 0 ,由an = 0 ,所以 q2 +q2=0.解方程，求出q的值.考型二等比數列前n項和公式的性質例7在等比數列Q 中，前n項和為Sn,若Sn= 48,S2n= 60,則Sn=.【命題立意】考查等比數列前 n項和的性質，考查運算能力、方程思想【試題解析】顯然，公比a1(1 - q3n)S3n =631 -qa2=481-qq #1,由已知得J2nx la1(1 - q )解得

13、=60=64方法二：由Sn，S2n - Sn，S3n - S2 n，構成等比數列，知2.Sn S3n-S2n)=(S2n-Sn),把S = 48, S2n = 60代入得 S3n = 63.【方法、規(guī)律點撥】在等比數列中，當n為奇數或n為偶數，且q=-1時,S ,S2n - Sn,S3n 8n,構成等比數列，即等比數列的連續(xù)n項的和也是等比數列.巧妙利用等比數列的性質可以簡化運算 考點四：等比數列的綜合應用 考型一 等比數列的證明例8設C1，C2,，Cn, 是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在X軸的正半軸上，且都一 3與直線y =一X相切，對每一個正整數n ,圓Cn都與圓Cn+相互外切，以rn

14、表小Cn的半徑, 3已知 rn為遞增數列.(I)證明:rn為等比數歹U；(n)設r1 =1 ,求數列1的前n項和.rn【命題立意】本題考查等比列的基本知識，利用錯位減法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理論證能力.【試題分析】（1）求直線傾斜角的正弦，設Cn的圓心為（九n,0）,得 K =2rn ,同理得元+ = 2%4，結合兩圓相切得圓心距與半徑間的關系，得兩圓半徑之間的關系，即rn中中與rn的關系，證明rn為等比數列；（2）利用（1）的結論求rn的通項公式，代入數列-, rn然后用錯位相減法求和.（1）將直線y=E3x的傾斜角記為 日，則有tane =3 , sine =1.設Cn的圓

15、心為（4,0）332 nr1則由題意得知 得 =2% ,同理、書=21n書，從而九n41 =九n +n +n書=2%中， n 2將An =2%代入，解得rn*=3rn，故I是公比為3的等比數列（2）由于 r1 =1, q = 3故 rn = 3n，,從而一=n 父 31 rn1 2n（3）記 Sn =十一十一 十,則 8n =1 +2M3 十十M31 。1 上rn8n =1父3二十2M3二十.一+n3Jn（2）3G-得=1+3/+3 二十.一十 31jq門/3 二1-? -n3J = 3 -門 + 3卜322 2成立.Sk。C【命題立意】本題以數列為載體，考查等比數列、不等式的知識，考查學生的

16、運算能力及探索性問題推理論證能力.- t 1 t 11【試題解析】(1)由Sn =4 1 n i,得Sn卡=4 1科1= Sn+2 (nw N).12nl2n 1 2c -(2)要使Sk 一C 2 ,只要 Sk - C3、Sk -22JC - Sk：0.，c1 ),因為 S =4 1 . i4 , 0 (kwN),故只要 TOC o 1-5 h z 12123-Sk -2 :二 c :二 Sk (k N).33因為Sk+ Sk(k= N),所以-Sk -23S1 -2 = 1, HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 22又Sk 4,故要使成立，c只能取2或3.當c = 2時，因為& =2,所以當k=1時，c c ,由 Sk Sk+(k = N),