高三專題—概率復(fù)習(xí)(一)

1、山高人為峰，努力定成功！第 頁(yè)共 8 頁(yè)山高人為峰，努力定成功！第 頁(yè) 共 8 頁(yè)BST 金牌數(shù)學(xué)高三專題系列之概率復(fù)習(xí)(一)一、離散型隨機(jī)變量及其分布列離散型隨機(jī)變量 : 若隨機(jī)變量的取值能夠一一列舉出來， 這 樣的隨機(jī)變量稱為離散隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的線性組合 Y aX b(a,b是常數(shù) )也是隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 X 的的分布列設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的取值為 a1,a2,L ,an，X 取ai的 概率為 pi (i 1,2,L ,n)，記作：P(X ai ) pi(i 1,2,L ,n) 把上式列成表：Xa1a2P(X ai )p1p2則上表稱為離散型隨機(jī)變量 X 的的分布列分布列的兩個(gè)

2、性質(zhì)： pi 0， i 1,2,L p1 p2 L 1 求隨機(jī)變量 X 的分布列的步驟：(1)確定 X 的可能取值 ai (i 1, 2,L ) ； (2)求出相應(yīng)的概率 P(X xi ) pi； (3)列成表格的形式。說 明 ： 在 寫 出 X 的分布列后，要及時(shí)檢查所有的概率之和 是否為 1三、兩個(gè)重要的分布1.超幾何分布： 一般地，設(shè)有 N 件產(chǎn)品， 其中有 M (M N) 件次品，從中 任取n (n N )件產(chǎn)品，用X 表示取出的 n件產(chǎn)品中次品的k n k件數(shù)，那么 P(X k) CMCM N .其中 k 為非負(fù)整數(shù) CN如果一個(gè)隨機(jī)變量的分布列由上式確定， 則稱 X 服從參數(shù)為 N

3、，M ， n的超幾何分布 .2、二項(xiàng)分布進(jìn)行 n 次試驗(yàn)，如果滿足下列條件：每次試驗(yàn)只有兩種相互對(duì)立的結(jié)果， 可以分別稱為 “成功” 和“失敗”；每次試驗(yàn)“成功”的概率均為p ，“失敗” 的概率均為1 p ；各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的 . 用X表示這 n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則P(X k) Cnk pk (1 p)nk(k 0,1,2,L ,n)若一個(gè)隨機(jī)變量 X 的分布列如上所示，稱 X 服從參數(shù)為 n, p 的二項(xiàng)分布，記作 X B(n, p) .四、數(shù)學(xué)期望與方差 .1、均值： 一般地，若離散型隨機(jī)變量 X 的概率分布為P(X ai ) pi(i 1,2,L )則稱 EX a1 p1 a2 p2

4、 L ar pr 為 X 的均值或數(shù)學(xué)期望 (簡(jiǎn)稱期望 ).數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平2、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：DX (a1 EX ) 相互獨(dú)立事件的概率：對(duì)兩個(gè)事件 A,B ，如果事件 B發(fā)生與否不影響事件 A 發(fā)生 的概率，則稱 A,B 相互獨(dú)立，即有 P(AB) P(A)P(B) .若事件 A與 B獨(dú)立，則 A與 B，B與 A， A與B 也相互 獨(dú)立(3)對(duì)多個(gè)事件，如果 A1,A2,L , An相互獨(dú)立，則有P(A1 A2L An) P(A1)P(A2)L P(An ) p1 (a2 EX )2 p2 L (ar EX )2 pr 稱為 X 的方差 . 顯然 DX 0 ，

5、 故 X DX ， X 為 X 的標(biāo)準(zhǔn)差 .隨機(jī)變量 X 的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量 X 取值的穩(wěn) 定與波動(dòng)，集中與離散的程度 . DX 越小，穩(wěn)定性越高，波動(dòng) 越小.均值 EX 、標(biāo)準(zhǔn)差 X 具有與隨機(jī)變量 X 相同的單位 . 3、期望、方差的性質(zhì)(1)隨機(jī)變量 Y aX b(a,b均為常數(shù) )的數(shù)學(xué)期望、方差： EY E(aX b) aEX b ；DY D(aX b) a2DX (2)二項(xiàng)分布 X B(n,p)： EX np，DX np(1 p)X 服從參數(shù)為 N , M ,n的超幾何分布： EX n M N例 1.【福建理科】某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3 次密碼嘗試錯(cuò)誤，該

6、銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的 6 個(gè)密碼之一，小王決 定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇 1 個(gè)進(jìn)行嘗試 .若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.（）求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；（）設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望拓展變式練習(xí)【福建理科】如圖，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 1,0 ，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 2,4 ，函數(shù) f x x2 ，若在矩形 ABCD 內(nèi)隨機(jī)3 個(gè)，白粽取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于例 2. 【江蘇理科】 （本小題滿分 13 分，（1）小問 5 分，（ 2）小問 8

7、 分） 端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有 10個(gè)粽子，其中豆沙粽 2 個(gè)，肉粽 三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取 3 個(gè)。（1）求三種粽子各取到 1 個(gè)的概率；（2）設(shè) X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望江蘇理科】袋中有形狀、大小都相同的只與道路暢通狀況有關(guān)，例 3.【理科】（本小題滿分 12 分）設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時(shí)間為 對(duì)其容量為 100 的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：（分鐘）25303540頻數(shù)（次）20304010（ I）求 的分布列與數(shù)學(xué)期望 ；（ II ）劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個(gè) 50 分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求劉教

8、授從離開老校 區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過 120 分鐘的概率拓展變式練習(xí)理科】設(shè)復(fù)數(shù) z （x 1） yi （x,yR） ，若 |z| 1，則 y x的概率為（31A 4 2典型高考11 B4211 C211D2【北京理科】（本小題13 分）A，A 組：10，11，12，13，14，15，B 組：12，13，15，16，17，14，16aB 兩組各有 7 位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間（單位：天）記錄如下：假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間互相獨(dú)立，從 A ， B 兩組隨機(jī)各選 1 人， A 組選出的人記為甲， B 組選出的人記為乙山高人為峰，努力定成功！第 頁(yè)共 8 頁(yè)山高人為峰，努力定成功！第

9、 頁(yè)共 8 頁(yè)（） 求甲的康復(fù)時(shí)間不少于 14 天的概率；（ ） 如果 a 25，求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的概率；【山東卷】（本小題滿分 12 分）若 n是一個(gè)三位正整數(shù)，且 n 的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字， 則稱 n 為“三位遞增數(shù)” （如 137,359,567 等） . 在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)則如 下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被 5整除，參加者得 0分；若能被 5整除，但不能被 10 整除， 得-1分；若能被 10整除，得 1 分.（）寫出所有個(gè)位數(shù)字是 5的“三位遞增數(shù)”

10、； （）若甲參加活動(dòng)，求甲得分 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 EX.【天津理科】（本小題滿分 13 分）為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員 3 名，其中種子選手 2 名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員 5名，其中種子選手 3 名.從這 8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選 擇 4 人參加比賽 .（I）設(shè) A為事件“選出的 4人中恰有 2 名種子選手，且這 2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會(huì)”求事件 A 發(fā)生的概率； （II）設(shè) X為選出的 4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望 .20 個(gè)【新課標(biāo)二卷】 （本題滿分 12分）某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從 A， B兩地

11、區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了 用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：A 地區(qū)： 6273819295857464537678869566977888827689B 地區(qū)： 7383625191465373648293486581745654766579（）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可） ；A 地區(qū)B 地區(qū)456789）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意記事件 C：“A 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于 B

12、 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí) ”假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立根據(jù) 所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求 C 的概率【四川理科】 某市 A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽， A中學(xué)推薦 3名男生， 2名女生， B中學(xué)推薦了 3名男生，4 名女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，由于集訓(xùn)后隊(duì)員的水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3 人，女生中隨機(jī)抽取 3 人組成代表隊(duì)（1）求 A中學(xué)至少有 1 名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率 .（2）某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的 6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取 4 人參賽，設(shè) X表示參賽的男生人數(shù)，求 X得分布列和數(shù)學(xué)期 望.【湖南理科】某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額

13、商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有4 個(gè)紅球、 6 個(gè)白球的甲箱和裝有 5個(gè)紅球、 5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出 1 個(gè)球，在摸出的 2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等 獎(jiǎng)；若只有 1 個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則 不獲獎(jiǎng) .（1）求顧客抽獎(jiǎng) 1 次能獲獎(jiǎng)的概率；（2）若某顧客有 3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在 3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為 X，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 .【安徽理科】 （本小題滿分 12分）已知 2 件次品和 3 件正品放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè) 一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放 回，直到檢測(cè)出 2 件次品或者檢測(cè)出 3 件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束 . （）求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率（）已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用 100元，設(shè)X 表示直到檢測(cè)出 2件次品或者檢測(cè)出 3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi) 用（單位：元） ，求 X 的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）山高人為峰，努力定成功！第 8頁(yè) 共 頁(yè)山高人為峰，努力定成功！第 8頁(yè) 共 頁(yè)課前回顧姓名： 得分： 1.【理 4】二項(xiàng)式 （x 1）n（n N ）的展開式中 x2的系數(shù)為 15，則 n.（用數(shù)字作答 ）2.【湖北，理 3】已知 （1 x）n的展開式中第 4 項(xiàng)與第 8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式 系數(shù)和為.（用數(shù)字作答 ）3.【重慶，理 12】12x5的