通信原理的-隨機信號分析課件(PPT 97頁)

1、3.1隨機過程的基本概念3.2平穩(wěn)隨機過程3.3高斯隨機過程3.4平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)3.5窄帶隨機過程3.6正弦波加窄帶高斯過程 3.7高斯白噪聲和帶限白噪聲第 3 章 隨機過程第1頁，共97頁。作業(yè)P613-33-53-83-93-14第2頁，共97頁。3.1隨機過程的基本概念 自然界中事物的變化過程可以大致分成為兩類：一類是其變化過程具有確定的形式，用數(shù)學語言來說，其變化過程可以用一個或幾個時間t的確定函數(shù)來描述，這類過程稱為確定性過程。另一類過程沒有確定的變化形式，也就是說，每次對它的測量結(jié)果沒有一個確定的變化規(guī)律，用數(shù)學語言來說，這類事物變化的過程不可能用一個或幾個時間t的確定函

2、數(shù)來描述，這類過程稱為隨機過程。第3頁，共97頁。圖 3- 1樣本函數(shù)的總體 第4頁，共97頁。 由此我們給隨機過程下一個更為嚴格的定義： 每一次試驗都有一條時間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作xi(t)； 所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體x1(t), x2(t)， , xn(t)， 就構(gòu)成一隨機過程，記作(t)。 簡言之， 無窮多個樣本函數(shù)的總體叫做隨機過程。第5頁，共97頁。 在縱向： 是隨機變量，是樣本。 隨機過程看作是在時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。 無窮多個樣本函數(shù)的總體叫做隨機過程。 在橫向： 僅是一個實現(xiàn)，或者說是樣本函數(shù)。第6頁，共97頁。 設(shè)(t)表示一個隨機過程，在任意給

3、定的時刻t1T， 其取值(t1)是一個一維隨機變量。而隨機變量的統(tǒng)計特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。我們把隨機變量(t1)小于或等于某一數(shù)值x1的概率 P(t1)x1，簡記為F1(x1, t1)， 即 F1(x1,t1)=P(t1)x1 (3.1-1)式(3.1 - 1)稱為隨機過程(t)的一維分布函數(shù)。 如果F1(x1, t1)對x1的偏導(dǎo)數(shù)存在，即有3.1.1 隨機過程的分布函數(shù)第7頁，共97頁。 則稱f1(x1, t1)為(t)的一維概率密度函數(shù)。 顯然，隨機過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機過程在各個孤立時刻的統(tǒng)計特性，而沒有說明隨機過程在不同時刻取值之間的內(nèi)在

4、聯(lián)系，為此需要進一步引入二維分布函數(shù)。 任給兩個時刻t1, t2T，則隨機變量(t1)和(t2)構(gòu)成一個二元隨機變量(t1), (t2)，稱 F2(x1,x2; t1,t2)=P(t1)x1, (t2)x2 (3.1-3)為隨機過程(t)的二維分布函數(shù)。 如果存在第8頁，共97頁。 則稱f2(x1,x2; t1,t2)為(t)的二維概率密度函數(shù)。 同理，任給t1, t2, , tnT, 則(t)的n維分布函數(shù)被定義為 Fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)= P(t1)x1,(t2)x2, (tn)xn 若第9頁，共97頁。 則稱fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)為(t)的n維

5、概率密度函數(shù)。顯然，n越大，對隨機過程統(tǒng)計特性的描述就越充分，但問題的復(fù)雜性也隨之增加。在一般實際問題中，掌握二維分布函數(shù)就已經(jīng)足夠了。 第10頁，共97頁。3.1.2隨機過程的數(shù)字特征 分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面地描述隨機過程的統(tǒng)計特性, 但在實際工作中，有時不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，而它的某些數(shù)字特征卻比較容易估算出來，并且在許多實際問題中只需要知道這些數(shù)字特征就可以了。 1. 數(shù)學期望 隨機過程(t)的數(shù)學期望為第11頁，共97頁。 a(t)是時間t的函數(shù)，它表示隨機過程的n個樣本函數(shù)曲線的擺動中心。第12頁，共97頁。2. 方差 D(t)常記為2(t)，它表示樣本

6、偏離均值的程度。 稱E2(t)為均方值。 稱方差的平方根(t)為標準差、均方差或均方根差。第13頁，共97頁。3. 自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù) 均值和方差都只與隨機過程的一維概率密度函數(shù)有關(guān)，因而它們描述了隨機過程在各個孤立時刻的特征。 為了描述隨機過程在兩個不同時刻狀態(tài)之間的聯(lián)系，還需利用二維概率密度引入新的數(shù)字特征。 衡量同一隨機過程在任意兩個時刻獲得的隨機變量之間的關(guān)聯(lián)程度時，常用協(xié)方差函數(shù)B(t1, t2)和相關(guān)函數(shù)R(t1, t2)來表示。第14頁，共97頁。自協(xié)方差函數(shù)定義為式中，t1與t2是任取的兩個時刻； a(t1)與a(t2)為在t1及t2時刻得到的數(shù)學期望； f2(x1,x2

7、; t1,t2)為二維概率密度函數(shù)。特例：當t1=t2 =t時， B(t1,t2)= D(t)用途：用協(xié)方差來判斷同一隨機過程的兩個變量是否相關(guān)。第15頁，共97頁。自相關(guān)函數(shù)定義為二者的關(guān)系: B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2)用途： a 用來判斷廣義平穩(wěn)； b 用來求解平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度及平均功率。 B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2)第16頁，共97頁。B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2) 若 a(t1)=0或a(t2)=0，則B(t1, t2)=R(t1, t2) 若 t2t1，并令t2=t1+， 則 R(

8、t1, t2)可表示為R(t1, t1+)。 這說明，相關(guān)函數(shù)依賴于起始時刻t1及t2與t1之間的時間間隔,即相關(guān)函數(shù)是t1和的函數(shù)。 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一過程的相關(guān)程度的，因此，它們又常分別稱為自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。對于兩個或更多個隨機過程，可引入互協(xié)方差及互相關(guān)函數(shù)。第17頁，共97頁。設(shè)(t)和(t)分別表示兩個隨機過程，則互協(xié)方差函數(shù)定義為B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) 互相關(guān)函數(shù)定義為 R(t1, t2)=E(t1)(t2)第18頁，共97頁。3.2 平穩(wěn)隨機過程3.2.1 定義 設(shè)隨機過程(t)，tT,若對于任意n和

9、任意選定t1t2tn, tkT， k=1, 2, , n，以及為任意值，且x1, x2, , xnR，有： fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)= fn(x1, x2, , xn; t1+, t2+, , tn+) (3.2-1)則稱(t)是嚴平穩(wěn)隨機過程或狹義平穩(wěn)隨機過程。 第19頁，共97頁。 該定義說明，平穩(wěn)隨機過程的概率密度函數(shù)并不隨著時間的推移而變化，即狹義平穩(wěn)隨機過程是統(tǒng)計特性與時間起點無關(guān)的隨機過程。 具體到它的一維分布和二維分布： f1(x1, t1)=f1(x1, t1 +)= f1(x1) (3.2-2) 即一維分布與時間t無關(guān) f2(x1,x2;t

10、1,t2)=f2(x1,x2; t1+, t2+)=f2(x1,x2;) (3.2-3) 二維分布只與時間間隔有關(guān)第20頁，共97頁。數(shù)字特征：可見 （1）其均值與t無關(guān)，為常數(shù)a； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)。第21頁，共97頁。對于隨機過程(t)，若滿足 (1) a(t)=a (2) R(t1, t1+)=R()則(t)為寬平穩(wěn)隨機過程或廣義平穩(wěn)隨機過程。 可見狹義平穩(wěn)必定是廣義平穩(wěn)，廣義平穩(wěn)不一定狹義平穩(wěn)。 通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程。以后討論的隨機過程除特殊說明外，均假定是平穩(wěn)的， 且均指廣義平穩(wěn)隨機過程，簡稱平穩(wěn)過程。 第22頁，共97頁。3.2.

11、2 各態(tài)歷經(jīng)性 平穩(wěn)隨機過程在滿足一定條件下，有“各態(tài)歷經(jīng)性” 這種平穩(wěn)隨機過程，它的數(shù)字特征（均為統(tǒng)計平均）完全可由隨機過程中的任一實現(xiàn)的數(shù)字特征（均為時間平均）來替代。 假設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機過程(t)的任意一個實現(xiàn)，它的時間均值和時間相關(guān)函數(shù)分別為第23頁，共97頁。如果平穩(wěn)隨機過程以概率1使下式成立： 則稱該平穩(wěn)隨機過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。 “各態(tài)歷經(jīng)”的含義：隨機過程中的任一實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)，任一實現(xiàn)都能代表整個隨機過程。因此，我們無需（實際中也不可能）獲得大量用來計算統(tǒng)計平均的樣本函數(shù)，而只需從任意一個隨機過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征， 從而使“統(tǒng)計平均

12、”化為“時間平均”，使實際測量和計算的問題大為簡化。 第24頁，共97頁。 注意： 具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機過程必定是平穩(wěn)隨機過程，但平穩(wěn)隨機過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。第25頁，共97頁。3.2.3平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù) 設(shè)(t)為實平穩(wěn)隨機過程， 則它的自相關(guān)函數(shù) R()=E(t)(t+)具有下列主要性質(zhì)： (1) R(0)=E2(t)=S ，(t)的平均功率盡管平穩(wěn)隨機過程的總能量是無窮的，但平均功率為有限值。 第26頁，共97頁。 (2) R()=E2(t)，(t)的直流功率 (3) R(0)-R()=2 ，方差，(t)的交流功率

13、 當均值為0時，有R(0)=2。 第27頁，共97頁。|R()|R(0) ，R()的上界R(0)自己和自己相關(guān)值最大，因此0 的相關(guān)值小于R(0) 。 (5) R()=R(-)，的偶函數(shù) R(-)=E(t)(t-) =E(t +)(t)= R() 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān),|間隔。第28頁，共97頁。3.2.4 平穩(wěn)過程的功率譜密度 隨機過程中的任一實現(xiàn)是一個確定的功率型信號。因此隨機過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。而對于任意的確定功率信號f(t)，它的功率譜密度為 FT()是f(t)的截短函數(shù)fT(t) 所對應(yīng)的頻譜函數(shù)。 我們可以把f(t)看成是平穩(wěn)隨機過程(t)中的

14、任一實現(xiàn)，過程的功率譜密度應(yīng)看做是任一實現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計平均，即第29頁，共97頁。(t)的平均功率S則可表示成 雖然上式給出了平穩(wěn)隨機過程(t)的功率譜密度P()，但我們很難直接用它來計算功率譜。 那么，如何方便地求功率譜P()呢？ 我們知道，確知的周期功率信號的自相關(guān)函數(shù)與其譜密度是一對傅氏變換關(guān)系。對于平穩(wěn)隨機過程，也有類似的關(guān)系:第30頁，共97頁。稱為維納辛欽公式?；虻?1頁，共97頁。（2）各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個過程的的譜特性。R(0)表示隨機過程的平均功率，它應(yīng)等于功率譜密度曲線下的面積。（3）

15、功率譜密度P ( f )具有非負性和實偶性，即有 （1） P()0，非負性； （2） P(-)=P()，偶函數(shù) （3）第32頁，共97頁。例 31/32： 某隨機相位余弦波(t)=Acos(ct+)，其中A和c均為常數(shù)，是在(0,2)內(nèi)均勻分布的隨機變量。 （1） 求(t)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度； （2）求(t)的平均功率； （3） 討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。第33頁，共97頁。(t)的數(shù)學期望為：解： (1) 先考察(t)是否廣義平穩(wěn)。第34頁，共97頁。(t)的自相關(guān)函數(shù)為可見(t)的數(shù)學期望為常數(shù)， 而自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)， 所以(t)為廣義平穩(wěn)隨機過程。第35頁，共97頁。

16、根據(jù)平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即：而所以，功率譜密度為第36頁，共97頁。（2）功率？ 方法一：方法二：第37頁，共97頁。統(tǒng)計平均=時間平均，因此，隨機相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。 (3) (t)的時間平均第38頁，共97頁。3.3 高斯隨機過程 3.3.1定義 若隨機過程(t)的任意n維（n=1, 2, ）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機過程或正態(tài)過程。 式中, ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下： 第39頁，共97頁。 b12 b1nb21 1 b2nbn1 bn2 1|B|jk為行列式|

17、B|中元素bjk的代數(shù)余因子 bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)第40頁，共97頁。3.3.2 重要性質(zhì) （1） 由上式可以看出, 高斯過程的n維分布完全由n個隨機變量的數(shù)學期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，對于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。 （2） 如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值與時間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)，由性質(zhì)(1)知，它的n維分布與時間起點無關(guān)。 所以，廣義平穩(wěn)的高斯過程也是狹義平穩(wěn)的。 （3） 如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的， 即對所有jk有bjk=0，這時上式為第41頁，共97頁。 = f(x1, t1)f(x2, t2)

18、f(xn, tn) 結(jié)論：如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的， 那么它們也是統(tǒng)計獨立的。（4）高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。即若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。 第42頁，共97頁。a為高斯隨機變量的數(shù)學期望，2為方差。3.3.3 高斯隨機變量 高斯過程在任一時刻上的樣值是一個一維高斯隨機變量，其一維概率密度函數(shù)可表示為：第43頁，共97頁。圖3-3 正態(tài)分布的概率 (3) 且有f(x)具有如下特性： (1) f(x)對稱于x=a這條直線。f(a+x)=f(a-x) (2)x，f(x) 0，在點a處達到極大值第44頁，共97頁。（4） a表示分布中心，表示

19、偏離的程度，f(x)圖形將隨著a的變化左右平移；隨著的減小而變高和變窄；一維正態(tài)概率密度函數(shù)（5）當a=0，=1時，稱f(x)為標準正態(tài)分布的密度函數(shù)，N(0,1)：第45頁，共97頁。概率分布函數(shù)（正態(tài)分布函數(shù)）：這個積分無法用閉合形式計算，我們要設(shè)法把這個積分式與可以在數(shù)學手冊上查出積分值的特殊函數(shù)聯(lián)系起來，一般常用以下特殊函數(shù)： 第46頁，共97頁。（1）誤差函數(shù):它是自變量的遞增函數(shù)；erf(0)=0，erf()=1，erf(-x)=-erf(x)。 它是自變量的遞減函數(shù)； erfc(0)=1，erfc()=0；erfc(-x)=2-erfc(x)，實際應(yīng)用中只要x2即可近似有（2）補

20、誤差函數(shù):第47頁，共97頁。（3）Q函數(shù):第48頁，共97頁。（4）概率分布函數(shù)第49頁，共97頁。 3.4 平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng) 通信系統(tǒng)中的信號或噪聲一般都是隨機的，對于平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)，其輸出過程類似于確知信號通過線性系統(tǒng)，即：（3.4-2） 若 vo(t) Vo(), vi(t) Vi(), h(t) H()， 則有 Vo()=H()Vi() （3.4-3） 第50頁，共97頁。 如果把vi(t)看作是輸入隨機過程的一個樣本，則vo(t)可看作是輸出隨機過程的一個樣本。 顯然，輸入過程i(t)的每個樣本與輸出過程o(t)的相應(yīng)樣本之間都滿足式(3.4-2)的關(guān)系。就整個過

21、程而言，便有（3.4-4）第51頁，共97頁。 假定輸入i(t)是平穩(wěn)隨機過程，Ei(t)=a(常數(shù))，自相關(guān)函數(shù)為Ri()，系統(tǒng)的輸出過程o(t)的統(tǒng)計特性：1. 輸出過程o(t)的數(shù)學期望：求得直流傳遞函數(shù)第52頁，共97頁。所以 輸出過程的數(shù)學期望等于輸入過程的數(shù)學期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且Eo(t)與t無關(guān)。 2. 輸出過程o(t)的自相關(guān)函數(shù) 第53頁，共97頁。 可見, o(t)的自相關(guān)函數(shù)只依賴時間間隔而與時間起點t1無關(guān)。 由以上輸出過程的數(shù)學期望和自相關(guān)函數(shù)證明，若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。而則第54頁，共97頁。 3. 輸出過程o(t)的

22、功率譜密度 令則有即第55頁，共97頁。 可見，系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度Pi()與系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)|H()|2的乘積。這是一個很重要的公式。 當我們想得到輸出過程的自相關(guān)函數(shù)Ro()時，比較簡單的方法是先計算出功率譜密度Po()，然后求其反變換，這比直接計算Ro()要簡便得多。第56頁，共97頁。4. 和 的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度第57頁，共97頁。5. 輸出過程o(t)的概率分布： 一個線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的?？偨Y(jié)：高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯的。與輸入正態(tài)過程相比，輸出過程的數(shù)字特征改變了。第58頁，共97頁。 例2 帶限白噪聲。試求功

23、率譜密度為n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為解:輸出功率譜密度第59頁，共97頁。 可見， 輸出噪聲的功率譜密度在|H內(nèi)是均勻的， 在此范圍外則為零，如圖所示，通常把這樣的噪聲稱為帶限白噪聲。 （a) (b) 帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)第60頁，共97頁。其自相關(guān)函數(shù)為：式中，H=2fH。由此可見，帶限白噪聲只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的隨機變量才不相關(guān)。第61頁，共97頁。噪聲平均功率 帶限白噪聲的自相關(guān)函數(shù)Ro()在=0 處有最大值，這就是帶限白噪聲的平均功率:第62頁，共97頁。（1）（2）（3

24、）互功率譜密度例3：已知(t)的自相關(guān)函數(shù)R()，求(t)和 的相關(guān)函數(shù)和功率譜？奇函數(shù)第63頁，共97頁。3.5 窄帶隨機過程 窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度ffc，且fc遠離零頻率的系統(tǒng)。 實際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時的信號或噪聲又是隨機的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機過程。第64頁，共97頁。圖3-4 窄帶過程的頻譜和波形示意P(f)x(t)第65頁，共97頁。窄帶隨機過程(t)可用下式表示：表示方法1 (t)=a(t)cosct+(t), a(t)0 (3.5-1)表示方法2 (t)=c(t)cosct-s(t)sinct (3.5-2) 其中： c

25、(t)=a(t)cos(t) (3.5-3) s(t)=a(t) sin(t) (3.5-4)式中, a(t)及(t)分別是(t)的隨機包絡(luò)和隨機相位， c(t)及s(t)分別稱為(t)的同相分量和正交分量， 它們也是隨機過程，顯然它們的變化相對于載波cosct的變化要緩慢得多。第66頁，共97頁。3.5.1 同相和正交分量的統(tǒng)計特性 前提：設(shè)窄帶過程(t)是平穩(wěn)高斯窄帶過程，且均值為0，方差為2。 將證明：它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是零均值的平穩(wěn)高斯過程，而且與(t)具有相同的方差。E(t)=Ec(t)cosct-Es(t)sinct =0 (3.5-5)則： Ec(t)=0

26、Es(t)=0 (3.5-6) E(t)= Ec(t)= Es(t)=0 1. 數(shù)學期望 第67頁，共97頁。2. 自相關(guān)函數(shù)R(t, t+)=E(t)(t+) =Ec(t)cosct-s(t)sinct c(t+)cosc(t+)-s(t+) sinc(t+) =Rc(t, t+) cosct cosc(t+) -Rc s(t, t+) cosctsinc(t+) -Rs c(t, t+) sinc tcosc(t+) +R s(t, t+) sinc tsinc(t+) = R() (3.5-7)第68頁，共97頁。令 t=0 ，則式(3.5-7)應(yīng)變?yōu)?(3.5-8)這時，顯然應(yīng)有則式（

27、3.5-8）變?yōu)?3.5-9)第69頁，共97頁。再取使t=/2c，同理可求得(3.5-10) Rs(t, t+)=Rs() Rsc(t, t+)=Rsc() 由以上的數(shù)學期望和自相關(guān)函數(shù)分析可知， 如果窄帶過程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)與s(t)也必將是平穩(wěn)的。第70頁，共97頁。 故有 R c()=R s() (3.5-11) Rc s()= -Rs c() (3.5-12) 同相分量c(t)和正交分量s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。(3.5-9)(3.5-10) 式（3.5-9）和式（3.5-10）應(yīng)同時成立，即 R (0)=R c(0)=R s(0) (平均功率) (3.5-16) 則

28、2 =2 c =2 s (3.5-17)這表明(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差（因為均值為0）。第71頁，共97頁。將上式代入式（3.5-12），可得 R s c(-) = -R s c() (3.5-13)同理可推得 R c s(-) = -R c s() (3.5-14)即c(t)、s(t)的互相關(guān)函數(shù)Rs c()、Rc s()都是的奇函數(shù)，在=0時 R s c(0)=R c s(0)=0 (3.5-15) 即c(t)、 s(t)在同一時刻的取值互不相關(guān)。R c s()=R s c(-) 根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有：第72頁，共97頁。c(t)、s(t)也是高斯隨機過程，

29、同一時刻不相關(guān)=統(tǒng)計獨立?？偨Y(jié)：一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)：同相分量c(t)和正交分量s(t)均值都為零，方差相同, 同相分量c(t)和正交分量s(t)也是平穩(wěn)高斯過程。同相分量c(t)和正交分量s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)，且在同一時刻上得到的c和s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計獨立的。取t=t1=0, (t1)=c(t1)取t=t2=/2c ,(t2)=-s(t2)第73頁，共97頁。例4：求平穩(wěn)隨機過程 同向分量 和正交分量 的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度表達式。已知：第74頁，共97頁。第75頁，共97頁。Pn(f)ffc-fcn0/2BBPnc(f)= Pns(f)fn00-B/2B/2帶通

30、低通帶寬平均功率第76頁，共97頁。 3.5.2 包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性 由于c和s統(tǒng)計獨立，聯(lián)合概率密度函數(shù)為 設(shè)a,的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(a,)，則利用概率論知識，有 而第77頁，共97頁。 得到 于是 注意，這里a0, 而在(0，2)內(nèi)取值。 再利用概率論中邊緣概率密度知識將f(a,)對積分， 可求得包絡(luò)a的一維概率密度函數(shù)為第78頁，共97頁。 可見，a服從瑞利分布。 同理，f(a, )對a積分可求得相位的一維概率密度函數(shù)為可見，服從均勻分布。 且有： f(a,)=f(a)f()第79頁，共97頁。 綜上所述，我們又得到一個重要結(jié)論：一個均值為零，方差為2的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)：其包

31、絡(luò)a(t)的一維分布是瑞利分布；相位(t)的一維分布是均勻分布；就一維分布而言，a(t)與(t)是統(tǒng)計獨立的，即有下式成立 f(a,)=f(a)f() (3.5-22)第80頁，共97頁。窄帶隨機過程結(jié)論：一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程，其同相分量和正交分量同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值都為零，方差也相同；在同一時刻上的同相分量與正交分量是不相關(guān)的或統(tǒng)計獨立的。其包絡(luò)的一維分布是瑞利分布，而其相位的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，包絡(luò)和相位是統(tǒng)計獨立的。第81頁，共97頁。3.6 正弦波加窄帶高斯過程 信號經(jīng)過信道傳輸后總會受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影響，通常在接收機前端設(shè)置一個帶通

32、濾波器，以濾除信號頻帶以外的噪聲。 因此，帶通濾波器的輸出是信號與窄帶噪聲的混合波形。最常見的是正弦波加窄帶高斯噪聲的合成波，這是通信系統(tǒng)中常會遇到的一種情況，所以有必要了解合成信號的包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性。第82頁，共97頁。設(shè)合成信號為 r(t)=A cos(ct+)+n(t) (3.6-1) 式中, n(t)=nc(t) cosct-ns(t) sinct為窄帶高斯噪聲，其均值為零，方差為2n；正弦信號的A, c均為常數(shù)，是在(0, 2)上均勻分布的隨機變量。 于是第83頁，共97頁。 r(t)=Acos+nc(t)cosct-Asin+ns(t)sinct =zc(t)cosct-zs(t) sinct =z(t)cosct+(t) (3.6 - 2)式中 zc(t)=A cos+nc(t)=z(t)cos(t) (3.6 - 3) zs(t)=Asin+ns(t)= z(t)sin(t) (3.6 - 4)表示方法1表示方法2第84頁，共97頁。合成信號r(t)的包絡(luò)和相位為 利用上一節(jié)的結(jié)果，如果值已給定，則zc、zs是相互獨立的高斯隨機變量，且有zc(t)=Acos+nc(t)zs(t)=Asin+ns(t)第85頁，共97頁。 所以，在給定相位的條件下的zc和zs的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 利用上一節(jié)相似的方法， 根據(jù)式(