《微積分》函數(shù)的極限與連續(xù)2.7 函數(shù)的連續(xù)性

1、2.6 函數(shù)的連續(xù)性 在很短的時(shí)間內(nèi), 它們的變化都是很微小的。 即：當(dāng)自變量的改變量很微小時(shí)，函數(shù)值的變化也很小。 在實(shí)際問(wèn)題中所遇到的函數(shù)往往具有這樣的特點(diǎn)：因變量隨自變量的變化而連續(xù)不斷地變化。例如：溫度的變化，運(yùn)動(dòng)物體的位移，等等。具有這種特點(diǎn)的函數(shù)就是連續(xù)函數(shù)。 如何從數(shù)量關(guān)系上來(lái)刻畫(huà)戶(hù)這種“連續(xù)不斷地變化”的特點(diǎn)呢？ 可以用極限來(lái)給出其定義。1一、函數(shù)的增量或改變量改變量 可正可負(fù), 還可為0.2圖1中的函數(shù)曲線(xiàn) (連續(xù))而不間斷。 即而圖2中的函數(shù)曲線(xiàn)卻間斷。 即oxyy=(x)yoxyyy=(x)xx二、 連續(xù)函數(shù)的定義3定義1 設(shè)函數(shù)(x)在 x0的某鄰域內(nèi)有定義,在 x0

2、處給 x一個(gè)增量 x, oxyy=(x)xy則稱(chēng)函數(shù)(x)在 x0 處連續(xù)。 稱(chēng) x0 為連續(xù)點(diǎn)。 1、在x0處連續(xù)4例1 證明函數(shù) y = sin x 在 x0 處連續(xù)。證 在 x0 處給 x 一個(gè)增量x,則相應(yīng)的函數(shù)增量為則函數(shù) y = sin x 在 x0 處連續(xù)。同理可證，函數(shù) y = cos x 在 x0 處連續(xù)。5注:從而有函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)定義定義2 設(shè)函數(shù)(x)在 x0 的某鄰域內(nèi)有定義, 若則稱(chēng)函數(shù)(x)在 x0 處連續(xù)。 稱(chēng) x0為連續(xù)點(diǎn)。6 函數(shù)的連續(xù)性是通過(guò)極限定義的, 當(dāng)然可以運(yùn)用 語(yǔ)言描述它:成立,定義37因則有2、左、右連續(xù)則稱(chēng)函數(shù)(x)在x0處左連續(xù); 記為：

3、則稱(chēng)函數(shù) (x)在 x0 處右連續(xù)。記為：定義4 若8結(jié)論: 函數(shù)(x)在x0 處連續(xù)的充要條件是(x)在 x0 處既左連續(xù)又右連續(xù)。 即：定義5 若函數(shù)(x)在開(kāi)區(qū)間 (a , b) 內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù),則稱(chēng)函數(shù)(x)在開(kāi)區(qū)間 (a , b) 內(nèi)連續(xù); 若函數(shù)(x)在開(kāi)區(qū)間 (a , b) 內(nèi)連續(xù), 且在左端點(diǎn) a右連續(xù) , 在右端點(diǎn) b 左連續(xù) , 則稱(chēng)函數(shù) (x) 在閉區(qū)間a , b 內(nèi)連續(xù)。3、在區(qū)間內(nèi)連續(xù)9例1. 證明函數(shù) y = x2 在 (-, +) 連續(xù).證明:設(shè) x 為 (-, +)內(nèi)任意一點(diǎn) 函數(shù) y = x2 在 (-, +) 連續(xù).10例2. 討論函數(shù)在 x = 0 處的

4、連續(xù)性 y = | x | 在點(diǎn) x = 0 處連續(xù).xyy = | x |O證明：11sgn x|x=0=sgn 0 = 0故符號(hào)函數(shù) y = sgnx 在點(diǎn) x = 0 處不連續(xù)。證明：12證明：連續(xù)13例3. 討論函數(shù)在x = 1解處的連續(xù)性。14例4.設(shè)當(dāng) k 為何值時(shí), (x)在 x = 0點(diǎn)連續(xù)。解15例5 確定常數(shù) a, b, 使為連續(xù)函數(shù). 要使(x)連續(xù)，則(x)就必須在 x = 1處連續(xù)。 16解之，得 a = 0 , b = 1故 當(dāng) a = 0且 b = 1時(shí)，函數(shù) (x) 連續(xù)。 由定義2可知：求連續(xù)函數(shù)在某點(diǎn)的的極限即為求此點(diǎn)的函數(shù)值.171. 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算定

5、理1例6 求函數(shù) 的連續(xù)區(qū)間, 并求三、 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)因此，有理分式及在它們的定義域內(nèi)皆連續(xù)。182. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)。例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).19反函數(shù)的連續(xù)性從而,單調(diào)性、連續(xù)性保持. 從幾何上看:與的圖形相同, 的圖形只是 的圖形繞直線(xiàn)y=x翻轉(zhuǎn)1800而成，故單調(diào)性、連續(xù)性仍保持。20證明: 注: 1、由此可知連續(xù)函數(shù)符號(hào)可與極限符號(hào)交換位置(內(nèi)函數(shù)的極限存在即可?。? 定理3. 如果函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù), 在對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn) 處也連續(xù)。213、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)

6、是連續(xù)的.(均在其定義域內(nèi)連續(xù) )221. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.注意注意2. 初等函數(shù)求極限的方法代入法.3、初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).從而一切初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間連續(xù).23例7. 求下列函數(shù)極限（2）（3）解解24可不要這3步25解2627定理. (等價(jià)代換原理)注1:由此定理可知, 求兩個(gè)無(wú)窮小量積或商的極限時(shí), 如果分子（或分子的乘積因子）或分母（或 分母的乘積因子）的等價(jià)無(wú)窮小量存在, 則就可用它們各自的等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)代換原來(lái)的分子或 分母（或分子或 分母的乘積因子）

7、, 使計(jì)算簡(jiǎn)化. 四、 無(wú)窮小量代換原理及應(yīng)用（自變量的變化過(guò)程可以是任意的）281. sin x x; 2. tan x x;3. ln(1+x) x; 4. arcsin x x;5. arctan x x;注2：請(qǐng)記住以下幾個(gè)常用的等價(jià)無(wú)窮小量:29例8.求下列函數(shù)的極限303132注意33(7) 若【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問(wèn)題.解34定理4 (最大值與最小值定理)若函數(shù) (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù), 則在a,b上(x)一定有最大值與最小值. 如右圖中的 1 與 2 便分別是最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn).oxyy=(x)ab五、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)35注: 定理中的連續(xù)性與閉區(qū)間條件

8、缺一不可. 如函數(shù) y = x 在(0, 1)內(nèi)連續(xù)卻沒(méi)有最大值、最小值. 又如oxy11 在閉區(qū)間0, 2上有間斷點(diǎn) x = 1, 而函數(shù)(x)在0, 2上卻無(wú)最大值、最小值.236定理5 (有界性定理)若函數(shù) (x) 在閉區(qū)間a, b 上連續(xù),則 (x)在a, b上一定有界.顯然有 mf(x)M定理6 (介值定理)若函數(shù) (x) 在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 且 m 與 M 分別為(x)在 a, b上的最小值與最大值, 則對(duì)于任意介于m與M之間的實(shí)數(shù) C (mCM), 至少存在一點(diǎn)oxymCMaby=(x)幾何意義: (如上圖)介于a, b內(nèi)的連續(xù)曲線(xiàn)的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的任意直線(xiàn)y = C(

9、mCM), 至少與該曲線(xiàn)y = (x)相交于一點(diǎn).37定理7 (零點(diǎn)存在定理)若函數(shù)(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 且(a)與(b) 異號(hào) (即(a)(b) 0), 至少存在一點(diǎn)oxyab幾何意義: (如右圖)在a, b上連續(xù)的曲線(xiàn) y = (x)的兩個(gè)端點(diǎn)如果分布在 x 軸的兩側(cè), 則在(a, b)內(nèi), 此曲線(xiàn)必與X 軸至少有一個(gè)交點(diǎn).y=(x)代數(shù)應(yīng)用:零點(diǎn)存在定理給了大家一個(gè)判定方程在某個(gè)區(qū)間上是否有根以及尋找近似根的方法.38證明例9. 證明方程 在區(qū)間 內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。由零點(diǎn)定理得：39趣味題*：（1） 如果100米花10秒跑完，則至少有一段10米剛好花1秒跑完.（2） 一塊不規(guī)則的薄餅，一定至少存在一種方法使成為1/2（一刀切下）設(shè)任意10米所花時(shí)間與1秒之差為：401.利用極限的四則運(yùn)算法則, 以及對(duì)于(