數(shù)學(xué)第一冊第八章第三節(jié)課件

1、21523-9a 主編第一章 集合與邏輯用語第三節(jié)復(fù)數(shù)的概念第四節(jié)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算第五節(jié)復(fù)數(shù)的三角形式2.3(a-2b-c)-2(-a+b+3c)=。第三節(jié)復(fù)數(shù)的概念一、 虛數(shù)單位我們知道,方程x2=-1沒有實數(shù)根。一般地,對于實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0,當(dāng)b2-4ac|z2|。 圖8-20例7用向量表示復(fù)數(shù):-1+i、2i、3,并分別求它們的模。解(1) 如圖8-20所示,向量 表示復(fù)數(shù)-1+i,它的模為|=|-1+i|= (2) 如圖8-20所示,向量 表示復(fù)數(shù)2i,它的模為|=|2i|=2(3) 如圖8-20所示,向量 表示復(fù)數(shù)3,它的模為|=|3|=3=3。習(xí)題8-31. 填

2、空。(1) i200=;i-5=;(2) 1-i的實部為,虛部為,共軛復(fù)數(shù)為。(3) 實數(shù)集與虛數(shù)集的交集是,并集是。2.指出下列復(fù)數(shù)的實部、虛部,并說出哪些是實數(shù),哪些是虛數(shù),哪些是純虛數(shù)。(1) 3-2i;(2)i;(3) 0;(4) i6;(5) i8;(6)6i(7)8i-5;(8)-2。 3.若x,y都是實數(shù), 則當(dāng)x,y為何值時,復(fù)數(shù)(2+i)x+(x-3y)i=-3i?4.實數(shù)m取什么數(shù)值時,復(fù)數(shù)z=m+1+(m-1)i為(1) 實數(shù)? (2) 虛數(shù)? (3) 純虛數(shù)?5.在復(fù)平面內(nèi),作出表示下列復(fù)數(shù)的點(diǎn)及向量。(1)2-5i;(2) -2i-4;(3)-3;(4)-3i;(5)

3、2i;(6)-3+3i6.已知(x+y-5)-xi與4i-(x-yi)是共軛復(fù)數(shù),求實數(shù)x與y的值。7.求下列復(fù)數(shù)的模。(1)5;(2)-+i;(3) 1-i;(4)6i;(5)-4-i;(6)9i。第四節(jié)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算一、 復(fù)數(shù)的加法和減法復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算按照多項式的加法和減法法則進(jìn)行,也就是實部與實部相加減,虛部與虛部相加減,即設(shè)z1 =a+bi, z2=c+di,(a,b,c,dR,以下不再說明),則有(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i兩復(fù)數(shù)的和或差仍是一個復(fù)數(shù)。容易驗證,復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足:(1)交換律: z1+z2=z1+z2;(2)結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z

4、2+z3)。例1計算(2-3i)+(5+6i)-(-1-i)。解(2-3i)+(5+6i)-(-1-i)=(2+5+1)+(-3+6+1)i=8+4i二、 復(fù)數(shù)的乘法與除法1.復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算仍然按照多項式的乘法法則來進(jìn)行,設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多項式的乘法運(yùn)算是類似的,但必須在所得結(jié)果中把i2換成-1,并且把實部、虛部分別合并。顯然,兩個復(fù)數(shù)的乘積仍是一個復(fù)數(shù)。容易驗證,復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足:(1) 交換律:z1 z2=z2z1;(2)結(jié)合律:(z1z2)z3

5、=z1(z2 z3);(3)分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3。根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則,對任何復(fù)數(shù)z=a+bi,有(a+bi)(a-bi)=a2+b2+(ab-ab)i=a2+b2 因此,互為共軛的兩個復(fù)數(shù)的乘積是一個實數(shù),并且這個實數(shù)等于這個復(fù)數(shù)模的平方,即z =|z|2=|2 此外,實數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算也能推廣到復(fù)數(shù)集中,即zmzn=zm+n (zm)n=zmn (z1z2)n=(m,nN)例2計算(2-i)(3+i)(-1+4i)。解(2-i)(3+i)(-1+4i)=(7-i)(-1+4i)= -3+29i例3計算(1-i)2。解(1-i)2=1-2i+i2=1-2i-1=-

6、2i2.復(fù)數(shù)的除法兩個復(fù)數(shù)a+bi與c+di相除(c+di0),先寫成分式的形式,然后分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù),并把結(jié)果化簡,即= 例4計算(1)(1+2i)(3-4i);(2)。 解(1) (1+2i)(3-4i)=-+i;(2) =i100=1。3.實系數(shù)一元二次方程的解法一般地,由于= i,所以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),當(dāng)實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的判別式=b2-4ac0時,有一對共復(fù)數(shù)根,即x= 例5在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程x2-8x+17=0。解因為=b2-4ac=64-68=-4所以x=4i習(xí)題8-41. 計算:(1) (8-6i)+(-1-i);(2) 3+(-2+5i)

7、;(3) (i-9)-(6+3i);(4) (-8-7i)(-2i);(5);(6) 2i(1-i)。2.設(shè)=-+i,求證: (1)1+2=0(2) 3=1。3.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程:(1) x2-4x+5=0;(2) 2(x2+4)=5x。第五節(jié)復(fù)數(shù)的三角形式一、 復(fù)數(shù)的三角形式我們知道,與復(fù)數(shù)z=a+bi對應(yīng)的向量 的模r叫做這個復(fù)數(shù)的模,并且r=。如圖8-21所示,以x軸的正半軸為始邊、向量 所在的射線(起點(diǎn)是O)為終邊的角,叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角。非零復(fù)數(shù)的輻角有無窮多個,它們相差2的整數(shù)倍。例如,i的輻角是2k+(kZ),輻角的單位可以用弧度或度。圖8-21滿足02的輻角的值,

8、叫做輻角的主值,通常記作argz,即0argz2。例如,i的輻角主值是。設(shè)復(fù)數(shù)a+bi的模為r,輻角為,從圖8-21中,我們可以看出, 于是,任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r(cos+isin)的形式,其中r=,tan=(a0),所在的象限就是與復(fù)數(shù)相對應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)所在的象限。我們把r(cos+isin)叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角形式。為了同三角形式區(qū)別開來,a+bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。 每一個不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角的主值,并且可由它的模與輻角的主值唯一確定。因此,兩個非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等。 例1把下列復(fù)數(shù)表示為三角形式:(1)-i;(2)1+i

9、;(3)-3。解(1)因為a=-,b=-1,所以r=2tan= 又因為(-,-1)在第三象限,所以=,得-i=2 (2) 因為a=1,b=1,所以r= tan=1又因為(1,1)在第一象限,所以= 得1+i= (3) 因為a=-3,b=0,所以r=3又因為與-3對應(yīng)的點(diǎn)在x的負(fù)半軸上,所以=得-3=3(cos+isin) 例2將復(fù)數(shù)表示成三角形式,并指出它的模和輻角主值。解因為= = 所以的三角形式為 它的模為,輻角主值為。例3將復(fù)數(shù)3表示成代數(shù)形式。解3=3(0-i)=-3i二、 復(fù)數(shù)的三角形式的乘法和除法1.乘法與乘方運(yùn)算設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2的三角形式分別是z1=r1(cos1+isin1),

10、z2=r2(cos2+isin2),則z1z2=r1(cos1+isin1)r2(cos2+isin2)=r1r2(cos1cos2-sin1sin2)+i(sin1cos2+cos1sin2)=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)。由此可知,兩復(fù)數(shù)相乘,積的模等于兩復(fù)數(shù)模的積,積的輻角等于兩復(fù)數(shù)輻角的和。簡單地說,兩復(fù)數(shù)相乘,模相乘,輻角相加。以上結(jié)論可以推廣到有限個復(fù)數(shù)相乘的情形,即z1z2z3zn=r1r2r3rncos(1+2+3+n)+isin(1+2+3+n)當(dāng)z1=z2=z3=zn=z,即r1=r2=r3=rn=r,1=2=3=n=時,有zn=r(cos+isin)n=r

11、n(cosn+isinn)(nN)這就是說,復(fù)數(shù)的n次冪的模等于這個復(fù)數(shù)模的n次冪,輻角等于這個復(fù)數(shù)輻角的n倍。這就是復(fù)數(shù)的乘方法則,這個法則又稱為棣莫佛定理。例4計算83。解83 =83 =24 =24i例5計算。解利用棣莫佛定理計算,+i的三角形式為cos+isin,則= =cos+isin=-i2.除法運(yùn)算設(shè)復(fù)數(shù)z1=r1(cos1+isin1),z2=r2(cos2+isin2),z20,則= = =- =cos(1-2)+isin(1-2)由此可知,兩復(fù)數(shù)相除,商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商,商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差。簡單地說,兩復(fù)數(shù)相除,模相除,輻角

12、相減。例6 解 = =+i習(xí)題8-51.將下列復(fù)數(shù)化為三角形式。(1)-i;(2)2-2i;(3)1+i;(4)3i;(5)4;(6)-2+2i。2.把下列復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式。(1);(2) 。3.計算。(1) 25;(2) (cos13+isin13)(cos45+isin45)(cos92+isin92);(3) (1-i);(4) ;(5) ;(6) (+i)6。4.直角三角形ABC中,C=,BC=AC,點(diǎn)E在AC上,且EC=2AE,利用復(fù)數(shù)證明:CEB+CBA=。一、 選擇題1.向量a,b都是非零向量,則以下說法錯誤的是()。(A) 向量a與b同向,則向量a+b與a同向(B) 向量a與b

13、同向,則向量a+b與b同向(C) 向量a與b反向,且|a|b|,則向量a+b與b同向2.矩形ABCD中,|=,|=1,則|+|等于()。(A) 0(B) 2(C) 4(D) 3.向量的坐標(biāo)為(-1,3),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,4),則點(diǎn)B的坐標(biāo)是()。(A) (4,7)(B) (-6,-1)(C) (6,1)(D) (-7,4)4.已知向量a、b的坐標(biāo)分別為(,1),(-3,),則a與b的夾角為()。(A) 60(B) 30(C) 150(D) 1205.復(fù)數(shù)a+bi的平方是一個實數(shù)的條件是()。(A) a=0,b0(B) a0,b=0(C) a=b=0(D) ab=06.若(x2-1)+(x2+

14、3x+2)i是純虛線,則實數(shù)x的值是()。(A) 1(B) -1(C) 1(D) -1或-27.若x-2+yi和3x-i互為共軛復(fù)數(shù),則實數(shù)x、y的值是()。(A) x=3,且y=3(B) x=5且y=1(C) x=-1,且y=-1(D) x=-1且y=18.復(fù)數(shù)+i的模為()。(A) 2(B) 5(C) (D) 9.當(dāng)n為偶數(shù)時,+=()。(A) 2(B) -2(C) 0(D) 0或-210.復(fù)數(shù)sin70+icos70的三角形式是()。(A) sin70+icos70(B) cos20+isin20(C) cos70+isin70(D) sin20+icos20二、 填空題1.平行四邊形ABCD兩條對角線交于O點(diǎn),如圖8-22所示,則+=,-=,-=。 圖8-222.3(a-2b-c)-2(-a+b+3c)=。3.若|a|=2,|b|=3,=60,則ab=。4.已知向量a=(2,-1),b=(3,k),若ab,則k=。5.已知(1+i)m2+(7-5i)m+10-14i=0,則實數(shù)m=。6