實驗二-一元函數(shù)微分學[146頁]課件

1、實驗二 一元函數(shù)微分學一、實驗?zāi)康亩?、Matlab函數(shù)及命令 1、符號對象 5、極限計算 2、符號表達式的初等運算 6、導(dǎo)數(shù)計算 3、求解符號方程 7、函數(shù)的極值 4、符號函數(shù)繪圖 8、可視化數(shù)學分析界面三、實驗內(nèi)容一、實驗?zāi)康?、熟練掌握符號和符號表達式的創(chuàng)建方法，掌握Matlab的符號運算。2、通過圖形演示和計算，觀察極限過程，深刻理解 數(shù)列極限與函數(shù)極限、無窮大與無窮小、連續(xù)與 間斷、導(dǎo)數(shù)與微分等基本概念。3、掌握計算函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)（包括高階導(dǎo)數(shù)、隱函 數(shù)的導(dǎo)數(shù)、參數(shù)方程定義的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）的方法。一、實驗?zāi)康?、利用函數(shù)圖形觀察和分析函數(shù)的幾何性態(tài)，理解 函數(shù)的間斷點類型、單調(diào)性、凹凸性

2、、漸近線、 極值等概念，掌握Matlab計算上述問題的方法， 建立數(shù)形結(jié)合的思想。5、借助繪圖功能，理解微分中值定理和泰勒展開定 理，掌握利用Matlab求Tayler多項式的方法，直 觀理解泰勒多項式在函數(shù)逼近的意義。6、掌握利用Matlab求方程的根、函數(shù)極值的方法。 二、Matlab函數(shù)及命令2.1 符號對象 Matlab中的運算分為數(shù)值運算和符號運算。數(shù)值運算中必須先對變量賦值，然后才能參與運算。符號運算無須事先對獨立變量賦值，運算結(jié)果以標準的符號形式表達，可得到問題的解析解 。 符號對象（sym類型）是符號工具箱（Symbolic Math Toolbox）中定義的一種數(shù)據(jù)類型，用來

3、表示符號變量、符號表達式和符號矩陣，是進行符號運算的基本構(gòu)成單元。 2.1.1 創(chuàng)建符號對象 Matlab利用sym函數(shù)和syms函數(shù)創(chuàng)建符號常量、符號變量、符號函數(shù)和符號表達式，利用函數(shù)class()判斷操作對象的類型。函數(shù)syma=sym(s) 將數(shù)值對象s轉(zhuǎn)換為符號對象aa=sym(s) 將符號串s轉(zhuǎn)換為符號對象a s=1/2;%定義字符串s a=1/2%定義數(shù)值變量a b=sym(1/2)%將字符串轉(zhuǎn)換為符號 sym(a)%將數(shù)值變量a轉(zhuǎn)換為字符變量 c=1/3; d=sym(c); ac=a+c%數(shù)值變量的四則運算 bd=b+d%符號變量的四則運算例2.1 比較數(shù)值變量、符號變量和符

4、號串s =1/2a = 0.5000%計算數(shù)值變量a的值b =1/2%符號變量b以字符串的方式顯示，并不計算其值ans = 1/2ac = 0.8333bd =5/6 函數(shù)symssyms var1 var2 varn功能：創(chuàng)建多個符號變量說明：使用該函數(shù)定義符號變量時，變量名上不能加單 引號（ ）。sym一次只能定義一個符號變量，而syms一次可 以定義多個符號變量，各符號變量名之間用空格 分隔，不能用逗號分隔。 clear all syms a b c x whos2.1.2 創(chuàng)建符號表達式 Matlab中，由符號常量、符號變量、符號函數(shù)運算符及專用函數(shù)連接起來的表達式稱為符號表達式。創(chuàng)建

5、符號表達式 常用方法有2種方法：利用sym函數(shù)或syms函數(shù)創(chuàng)建符號表達式利用已定義的符號變量創(chuàng)建符號表達式 函數(shù)findsym確定符號表達式中的所有自由符號變量。 例2.2 y1=sym(x2) %利用sym函數(shù)創(chuàng)建符號表達式 y1 = x2 syms x y2=sin(x) %利用已定義的符號變量創(chuàng)建符號表達式 y2 = sin(x) class(y2) %查看類型 ans = sym syms a b c x y=a*x2+b*x+c findsym(y) %查看自由符號變量 y = a*x2 + b*x + c ans = a,b,c,x 創(chuàng)建符號方程 符號表達式分為符號函數(shù)和符號方程

6、兩類。符號函數(shù)中不帶等號，只是由變量和數(shù)字組成的代數(shù)式子，而符號方程是由符號表達式和等號組成的等式。 創(chuàng)建符號方程的方法只有一種： eq=sym(equation)例如， f=sym(asin(x)%定義函數(shù)f =asin(x) x0=1; f0=eval(f)%計算函數(shù)值f0=f(x0)f0 = 1.57082.1.3 創(chuàng)建抽象函數(shù) 形如f(x)、g(x,y)等表示的未知函數(shù)稱為抽象函數(shù)。 Matlab中，由函數(shù)sym和syms來定義抽象函數(shù) 。 syms var1 var2 varn f=sym(f(var1 var2 varn)例如， syms x f=sym(f(x) f = f(x)

7、 g=sym(g(x2-sin(x) g = g(x2 - sin(x)2.2 符號表達式的初等運算 類型調(diào)用格式功能說明代換subs(s)用賦值語句中給定值替換符號表達式s中所有同名變量 subs(s,old new)用符號new代替符號表達式s中的符號old 精度設(shè)置digits(n)設(shè)置有效數(shù)字個數(shù)為n，n默認為32 digits返回當前數(shù)值計算的精度 2.2 符號表達式的初等運算 類型調(diào)用格式功能說明轉(zhuǎn)換eval(s)將符號表達式s轉(zhuǎn)換為數(shù)值表達式 sym(s)將數(shù)值表達式s轉(zhuǎn)換為符號表達式 vpa(s,n) 將符號表達式s轉(zhuǎn)換為具有n位精度的數(shù)值，省略n時，則按digits(n)函數(shù)

8、設(shè)置的有效位數(shù)輸出 double(s)將其他數(shù)值型數(shù)據(jù)、字符、字符串等s轉(zhuǎn)換成雙精度2.2 符號表達式的初等運算 類型調(diào)用格式功能說明化簡simplify(s)應(yīng)用各種恒等式關(guān)系、函數(shù)關(guān)系對符號表達式s進行化簡 simple(s) 調(diào)用Matlab的其他函數(shù)對符號表達式s進行綜合化簡，并顯示化簡過程 pretty(s) 以習慣方式顯示符號表達式s 復(fù)合函數(shù)運算y=compose(f,g) 返回y=f(u),u=g(x)的復(fù)合函數(shù)y=f(g(x) y=compose(f,g,t) 返回y=f(u)，u=g(t)的復(fù)合函數(shù)y=f(g(t) 反函數(shù)運算 g=finverse(f,t) 返回f按指定自

9、變量t的反函數(shù)g(t)；若省略t，則對默認的自由符號變量求反函數(shù) 2.2 符號表達式的初等運算 類型調(diào)用格式功能說明變換factor(s) 將符號表達式s轉(zhuǎn)換為乘積形式，即因式分解 expand(s) 將符號表達式s中的乘積展開為和式 collect(s,v) 將表達式s按變量v的同次冪項進行合并，v的默認值為x horner(s) 將表達式s中的符號多項式(或多項式矩陣)轉(zhuǎn)換為嵌套形式，其中的常數(shù)項保持不變 n,d=numden(s) 返回符號表達式s的分子n和分母d 2.2 符號表達式的初等運算 類型調(diào)用格式功能說明數(shù)列求和 symsum(s,t,n,m) 返回符號表達式s對符號變量t從n

10、到m的和式 泰勒多項式展開 taylor(f,v,Name,Value) 將符號函數(shù)f展開為指定變量v在a處的階名Name階數(shù)Value的泰勒多項式，階數(shù)Value默認值為5，省略v時為默認變量，a默認為0 2.2 符號表達式的初等運算說明：函數(shù)symsum中，s為通項表達式，t為求和變量，n、 m分別為求分別為求和的下限和上限；當m取為inf 時，則返回以s為通項的無窮級數(shù)的和。函數(shù)taylor中，階名Name和階數(shù)Value是成對參數(shù)， Name常用的有兩種：ExpansionPoint和Order， 分別表示展開點和階數(shù)，必須用單引號“ ”括起， Value是展開點和階數(shù)的具體值。例2.

11、3 利用subs和eval函數(shù)計算函數(shù)值。 syms x y f1=1/x2; f10=subs(f1,x,1:5)%計算y在x=1:5的函數(shù)值 f2=1/x2+y; f20=subs(f2,x,y,1,0.3)%計算f在x=1,y=0.3的函數(shù)值 f3=sym(asin(x);x=1; f30=eval(f3)f10 = 1.0000 0.2500 0.1111 0.0625 0.0400f20 = 1.300f30 = 1.5708例2.4 將符號對象轉(zhuǎn)換為不同精度的數(shù)值型數(shù)據(jù)。 a=sym(pi)%定義符號變量a a1=double(a)%將字符變量a轉(zhuǎn)換為雙精度數(shù)值 a2=eval(a

12、) ac=class(a)%獲取a的類型 a1c=class(a1)%獲取a的類型 a2c=class(a2) a3=vpa(a,16)%將a轉(zhuǎn)換為16位精度的數(shù)值例2.5 計算函數(shù)的泰勒多項式 。 syms x f=exp(x); g=taylor(f,x,ExpansionPoint,1,Order,4) %將函數(shù)f展開成為x-1的3次泰勒多項式g = exp(1) + exp(1)*(x - 1) + (exp(1)*(x - 1)2)/2 +(exp(1)*(x - 1)3)/62.3 求解符號方程調(diào)用格式功能說明x=roots(p) 返回多項式方程的根x，其中p為多項式的系數(shù)向量an

13、，an-1，a1，a0 x=solve(f,v) 求符號表達式或字符串f定義的代數(shù)方程f=0的解向量x，自變量為v，省略v時使用默認變量 v1,v2,vn=solve(f1,f2,fn,v1,v2,vn) 求符號表達式或字符串f1,f2,fn組成的代數(shù)方程組f1=0,f2=0,fn=0的解，求解變量分別v1,v2,vn 2.3 求解符號方程調(diào)用格式功能說明x=fsolve(f,x0) 從方程根的初值x0開始搜索非線性方程(組)f=0的解 x,f=fsolve(f,x0) 同fsolve(f,x0)，返回方程的解x及相應(yīng)的函數(shù)值f x=fzero(f,a,b) 返回單變量符號函數(shù)f在區(qū)間a,b內(nèi)

14、的零點x x=fzero(f,x0,tol) 返回單變量符號函數(shù)f在點x0附近滿足精度tol的零點x x,f=fzero(f,x0,tol) 返回單變量符號函數(shù)f在點x0附近滿足精度tol的零點x及相應(yīng)的函數(shù)值f 2.3 求解符號方程 說明：roots函數(shù)求解多項式的根時，約定：多項式的系數(shù) 用行向量表示，一組根用列向量表示；n次多項式 具有n個根，可能是實根，也可能是共軛復(fù)根。solve函數(shù)求方程的數(shù)組形式的解析解，求解形如 f(x)=g(x)形式的方程時，則需要用單引號把方程括 起來，如f(x)-g(x)。fsolve函數(shù)位于優(yōu)化（Optimization）工具箱，用于 求解非線性符號方程

15、的解，其中x0是解的初始估計 值，可以通過繪圖進行估計。 2.3 求解符號方程 說明：fzero函數(shù)只返回一個局部零點，不能找出所有的零 點；fzero(f,x0,tol)中x0是搜索起點，Matlab自動在 x0附近找出端點函數(shù)值異號的區(qū)間，然后迭代求出 并返回函數(shù) f 的零點z；若找不到，則返回Nan。初 值x0應(yīng)為接近零點的值，否則誤差較大；tol控制結(jié) 果的相對精度，省略時tol=eps；fzero(f,a,b)中端點 a、b處的函數(shù)值必須異號，否則系統(tǒng)會出錯。 例2.6 求方程x2-3x+1=0的根。 方法一 p=1,3,1; x0=roots(p) 方法二 x0=solve(x2-

16、3*x+1) x0 = 2.6180 0.3820 x1 = 2.6180 0.3820 x0 = 5(1/2)/2 + 3/2 %符號解 3/2 - 5(1/2)/2 x1=eval(x0)%轉(zhuǎn)換為數(shù)值解x0 = 0.3820 2.6180例2.6 求方程x2-3x+1=0的根。 方法三 f=(x)x.2-3*x+1; x=-1:0.01:3; y=f(x); plot(x,y) grid on x0=fsolve(f,0,3) hold on text(x0(1),x0(2),0.2,0.2,零點1;零點2) %添加文本標注 例2.6 求方程x2-3x+1=0的根。 方法四 f=(x)x.

17、2-3*x+1; x=-1:0.01:3; y=f(x); plot(x,y) grid on x1=fzero(f,0,1) x2=fzero(f,2,3)x1 = 0.3820 x2 = 2.61802.4 符號函數(shù)繪圖 Matlab有強大的符號函數(shù)繪圖功能，可以繪制一元函數(shù)的曲線圖、隱函數(shù)的圖形、二元函數(shù)的曲面圖及等高線圖、參數(shù)方程表示的函數(shù)以及極坐標表示的函數(shù)的圖形等。繪制一元符號函數(shù)圖形的函數(shù)主要有ezplotfplot2.4 符號函數(shù)繪圖調(diào)用格式功能說明ezplot(f) 繪制默認區(qū)間-2,2上符號函數(shù)f的圖形 ezplot(f,a,b)繪制指定區(qū)間a,b上符號函數(shù)f的圖形 ezp

18、lot(f,xmin,xmax,ymin,ymax) 繪制區(qū)間xminxxmax，yminyymax上由方程f(x,y)=0確定的隱函數(shù)的圖形，x和y的默認區(qū)間都為-2,2 ezplot(x,y,) 繪制區(qū)間t上參數(shù)方程x=x(t)，y=y(t)確定的函數(shù)的圖形，,省略時為0,2 例2.7 畫出y=arcsinx的圖形。 ezplot(asin(x),-2,2)畫出x-y+sin(y)/2=0所確定的隱函數(shù)的圖形。 ezplot(x-y+sin(y)/2)畫出x=t-sint，y=1-cost 所確定的函數(shù)的圖形。 ezplot(t-sin(t),1-cos(t),0,3*pi)2.4 符號函

19、數(shù)繪圖調(diào)用格式功能說明fplot(f,lim,ls,tol,n) 繪制范圍lim上函數(shù)f的圖形，ls為線形參數(shù)，tol指定誤差精度，默認為0.002，參數(shù)n指定最少的繪圖點數(shù)為n+1，默認為1 X,Y=fplot(f,lim,ls,tol,n) 返回繪圖數(shù)據(jù)點向量X和Y=f(X)，不繪制圖形 說明： 參數(shù) f 必須是以x為獨立變量的字符串、內(nèi)聯(lián)函數(shù)、 匿名函數(shù)或 M函數(shù)文件。 fplot函數(shù)不能繪制隱函數(shù)和參數(shù)方程的圖形。例2.8 比較plot函數(shù)、fplot函數(shù)和ezplot函數(shù)繪制函 數(shù) y=sin（1/x）（-0.1x0.1）的圖形。 clear all;close all; x=-0.

20、1:0.01:0.1; y=sin(1./x); subplot(3,1,1) plot(x,y) title(plot函數(shù)繪圖) subplot(3,1,2) fplot(sin(1/x),-0.1,0.1) title(fplot函數(shù)繪圖) subplot(3,1,3) ezplot(sin(1/x),-0.1,0.1) title(ezplot函數(shù)繪圖)2.5 極限計算調(diào)用格式功能說明limit(f,x,a) 返回極限 的值 limit(f,a) 返回默認變量趨于 a 時函數(shù) f 的極限值limit(f) 返回默認變量趨于 0 時函數(shù) f 的極限值 2.5 極限計算調(diào)用格式功能說明lim

21、it(f,x,a,right) 返回右極限 的值 limit(f,x,a,left) 返回左極限 的值 limit(f,x,inf) 返回極限 的值 limit(f,x,-inf) 返回極限 的值 例2.9 計算函數(shù)y=x2在x=0，-1，處的極限。 syms xy=x2;a=limit(y),limit(y,-1),limit(y,x,inf)a = 0, 1, Inf 2.6 導(dǎo)數(shù)計算調(diào)用格式功能說明diff(f) 返回符號表達式 f 對默認自變量的一階導(dǎo)數(shù) diff(f,v) 返回符號表達式 f 對指定變量 v 的一階導(dǎo)數(shù) diff(f,v,n) 返回符號表達式 f 對指定變量 v 的

22、n 階導(dǎo)數(shù) 例2.10 計算函數(shù)y=x2的一階、二階和三階導(dǎo)數(shù)。 syms xy=x2;dy=diff(y),diff(diff(y),1),diff(y,3) dy = 2*x, 2, 0嵌套2.7 函數(shù)的極值調(diào)用格式功能說明x,favl=fminbnd(f,x1,x2) 返回單變量非線性函數(shù) f 在區(qū)間(x1,x2)上的極小值點x和極小值favl x,favl=fminbnd(f,x1,x2,options) 按options結(jié)構(gòu)指定的優(yōu)化參數(shù)求函數(shù)f的極小值點和極小值 x,favl,exitflag,output=fminbnd() 返回函數(shù)f的極小值點和極小值，及求解狀態(tài)和求解信息 說

23、明：fminbnd函數(shù)只能求函數(shù)的局部極小值 options 結(jié)構(gòu)的參數(shù)字段含義 Display 設(shè)置結(jié)果的顯示方式，其值有off：不顯示輸出；iter：顯示每步迭代后的結(jié)果；final：只顯示最終結(jié)果；notify：只有當求解不收斂時才顯示結(jié)果 MaxFunEvals目標函數(shù)檢查的最大允許次數(shù) MaxIter 最大允許迭代次數(shù) OutputFcn 用戶自定義的輸出函數(shù)，其在每個迭代步調(diào)用 TolX 自變量的精度 options 結(jié)構(gòu)的參數(shù)可以通過函數(shù)optimset設(shè)置，其字段及含義，其字段有 輸出參數(shù)exitflag和outoutexitflag的取值含義 Output的字段 含義 1 成

24、功求得優(yōu)化解，且解的精度為TolX output.algorithm 優(yōu)化算法0 由于目標函數(shù)檢查次數(shù)達到最大或迭代次數(shù)達到最大值而退出 output.funcCount 目標函數(shù)檢查次數(shù) -1 由于用戶自定義函數(shù)引起的退出 output.iterations 優(yōu)化迭代次數(shù) 2 邊界條件不協(xié)調(diào)（x1x2） output.message 退出信息 例2.11 求函數(shù)y=(x2-1)3+1的極值。 y=(x2-1)3+1; x,fx,exitflag,output=fminbnd(y,-2,2)x = 4.4409e-16fx = 0exitflag = 1output = iterations:

25、 5 funcCount: 6 algorithm: golden section search, parabolic interpolation message: 1x111 char2.8 可視化數(shù)學分析界面 Matlab的符號數(shù)學工具箱為符號函數(shù)的可視化提供了一組簡單易操作的命令，其中常用有 符號函數(shù)計算器 taylor級數(shù)逼近計算器 符號函數(shù)計算器 在命令窗口中輸入 funtool 便啟動符號函數(shù)計算器 ，包括：2個圖形窗口1個運算控制窗口 運算控制窗口 分為兩個部分，第一部分中有以下4個文本框：函數(shù) f 文本框：輸入要分析的函數(shù)f（x）的解析式函數(shù) g 本框：輸入要分析的函數(shù)g（x）

26、的解析式常數(shù) a：常數(shù)的輸入自變量x的范圍：設(shè)置分析的區(qū)間 運算控制窗口第二部分中有4行按鈕，完成函數(shù)的以下運算：第一行按鈕只對 f 完成如求導(dǎo)、積分、化簡、提取 分子和分母、倒數(shù)、反函數(shù)等運算。第二行按鈕完成函數(shù) f 和常數(shù) a 間的加、減、乘、 除等運算。第三行按鈕完成 f 和 g的一些運算，前4個按鈕完成 四則運算，第5個按鈕求復(fù)合函數(shù)，第6個按鈕把 f 傳遞給 g，最后一個按鈕swap實現(xiàn) f 和 g 的互換。最后一行按鈕是對計算器自身進行的操作。 taylor級數(shù)逼近計算器 在命令窗口中輸入 taylortool 便啟動圖形化的泰勒級數(shù)逼近計算器，有4個交互項： 函數(shù) f(x) 文本

27、框：輸入要分析的函數(shù) f(x) 的解析 式。階數(shù)N文本框：泰勒級數(shù)的階數(shù)。可以通過右側(cè) 的按鈕設(shè)置，也可以直接輸入階數(shù)。展開點a：輸入泰勒級數(shù)中的x0。自變量x的范圍：設(shè)置分析的區(qū)間。 taylor級數(shù)逼近計算器 三、實驗內(nèi)容例2.12 利用圖形的方法，驗證數(shù)列極限并對=0.1，0.05，在圖形上尋找N，使得nN時，總有觀察數(shù)列極限存在的幾何意義。 繪制數(shù)列的各點n=1:1:100;%設(shè)置數(shù)列的項數(shù)為100an=(n+(-1).n)./n;%計算數(shù)列(n+(-1)n)/n的每一項的值subplot(1,2,1)%設(shè)置子窗口為(1,2,1)plot(n,an,.) grid on;hold on

28、驗證數(shù)列的極限ezplot(0.9,1,100)%取1=0.1，畫直線y=0.9ezplot(1.1,1,100)%畫直線y=1.1title(epsilon=0.1)axis(0,100,0,1.5)e1=0.1;N1=round(1/e1)plot(N1*ones(20),linspace(0,1.5,20),r) hold off驗證數(shù)列的極限subplot(1,2,2)%設(shè)置子窗口為(1,2,2)plot(n,an,.) grid on;hold onezplot(0.95,1,100)%取2=0.05，畫直線y=0.95ezplot(1.05,1,100)%畫直線y=1.05titl

29、e(epsilon=0.05)axis(0,100,0,1.5) e2=0.05;N2=round(1/e2) plot(N2*ones(20),linspace(0,1.5,20),r) 驗證數(shù)列的極限syms n an=(n+(-1).n)./n;limit(an,n,inf) ans = 1例2.13 設(shè)P(x)=2x3+8x+1，Q(x)=3x2+4，R(x)=x3-2x+4，計算極限 先畫出多項式P(x)、Q(x)、R(x)的圖形。 clear all;close all x=-100:0.1:100; y1=2*x.3+8*x+1; y2=3*x.2+4; y3=x.3-2*x+4

30、;先畫出多項式P(x)、Q(x)、R(x)的圖形。plot(x,y1,r-,x,y2,b-,x,y3,k:)text(22,10000,leftarrowP(x); %在指定位置添加文本標注text(34,3421,leftarrowQ(x);text(-5,3480,R(x)rightarrow);axis(-100,100,-5000,15000)x時函數(shù)P(x)、Q(x)、R(x)的絕對值無限增大， P(x)與 R(x)增大的速度比Q(x)快。 討論有理函數(shù)的圖形。 subplot(3,1,1) ezplot(2*x3+8*x+1)/(3*x2+4) title(P(x)/Q(x) su

31、bplot(3,1,2) ezplot(3*x2+4)/(x3-2*x+4) title(Q(x)/R(x) subplot(3,1,3) ezplot(x3-2*x+4)/(2*x3+8*x+1) title(R(x)/P(x) 討論有理函數(shù)的極限。 syms x P_Q=limit(2*x3+8*x+1)/(3*x2+4),x,inf) Q_R=limit(3*x2+4)/(x3-2*x+4),x,inf) R_Q=limit(x3-2*x+4)/(2*x3+8*x+1),x,inf) P_Q = InfQ_R = 0 R_Q = 1/2例2.14 求極限 syms x limit(1/(

32、x-1)-3/(x3-1),x,1) ezplot(1/(x-1)-3/(x3-1),-3,3) hold on grid on plot(1,1,ro) ans = 1例2.15 試用夾擠定理驗證極限x=-100:1:100;h=1./(x.4).(1/5);f=sin(x).*h;plot(x,f,b-,x,h,r.,x,-h,k-.)hold onezplot(0,-100,100)legend(f=sin(x)/x(4/5), h=1/x(4/5), g=-1/x(4/5)syms xlimit(sin(x)/(x(4/5),x,inf)繪制函數(shù)及其包絡(luò)線的圖形 例2.16 通過畫圖和

33、計算驗證重要極限 利用subplot函數(shù)和hold on函數(shù)，畫出函數(shù)y=x，y=sinx，y= 的圖形。 subplot(2,1,1) ezplot(x) hold on ezplot(sin(x) subplot(2,1,2) ezplot(sin(x)/x)例2.16 通過畫圖和計算驗證重要極限 計算極限值 syms x y yr yl%定義符號變量 y=limit(sin(x)/x,x,0)%計算x-0時的極限 yr=limit(sin(x)/x,x,0,right)%計算x-0時的右極限 yl=limit(sin(x)/x,x,0,left)%計算x-0時的左極限y =1yr =1y

34、l =1例2.16 通過畫圖和計算驗證重要極限 繪制函數(shù)的圖形 clear all;close all ezplot(1+1/x)x,-10000,10000) grid on hold on ezplot(exp(1),-10000,10000) text(0.2,2.7184,y=e) 例2.16 通過畫圖和計算驗證重要極限 計算極限值 syms x y=(1+1/x)x; limit(y,x,inf)ans =exp(1)例2.17 計算極限 和 ，理解無窮小與有界量乘積的性質(zhì)。 討論極限 clear all;close all ezplot(sin(x)/x,-10*pi,10*pi,

35、-0.5,1.5) syms x limit(sin(x)/x,x,inf)ans0例2.17 計算極限 和 ，理解無窮小與有界量乘積的性質(zhì)。 討論極限 syms x jy1=limit(sin(1/x),x,0) jy2=limit(x*sin(1/x),0)jy1 =limit(sin(1/x), x = 0)jy2 =0例2.18 討論極限 ，理解無窮小與無窮大的關(guān)系。syms x yr=limit(exp(1/x),x,0,right)yl=limit(exp(1/x),x,0,left)y=limit(exp(1/x),x,0)yr =Infyl =0y =NaN例2.19 當x0+

36、時，用定義比較無窮小 與(1) (2) (3) (4)的階，并用圖形進行驗證。syms xy=sqrt(x);y1=1-exp(sqrt(x);y2=log(1+x)/(1-sqrt(x);y3=sqrt(1+sqrt(x)-1;y4=1-cos(sqrt(x);L1=limit(y1/y,x,0,right);L2=limit(y2/y,x,0,right);L3=limit(y3/y,x,0,right);L4=limit(y4/y,x,0,right);L=L1,L2,L3,L4L = -1, 1, 1/2, 0例2.20 討論函數(shù) y= 的間斷點及其類型。 y_3 =-1/6y3 =N

37、aNclear allsyms xy=(x+3)/(x2-9);y_3=limit(y,x,-3)y3=limit(y,x,3) 例2.20 討論函數(shù) y= 的間斷點及其類型。 y3r =Infy3l =-Infy3r=limit(y,x,3,right)%計算x-3時y的右極限y3l=limit(y,x,3,left)%計算x-3時y的左極限 在極限不存在時，Matlab可能給出非數(shù)NaN或沒有結(jié)果的原式，但不能說明極限的詳細情況，需進一步考察其左右極限情況。 因此，x=-3是可去間斷點， x=3是無窮間斷點。例2.21 討論函數(shù) 的間斷點及其類型。 繪制函數(shù)圖形，命令為 clear all

38、,close all syms x ezplot(x-1,-3,1) hold on grid on ezplot(3-x,1,3) plot(1,2,ro,Markersize,6,LineWidth,2) text(2,1.2,bfy=3-x,Fontsize,12) text(-0.5,-0.8,bfy=x-1,Fontsize,12) axis(-3,3,-3,3)例2.21 討論函數(shù) 的間斷點及其類型。 計算函數(shù)的極限，輸入命令 yl=limit(x-1,x,1,left)%計算x-1時y的左極限 yr=limit(3-x,x,1,right) %計算x-1時y的右極限于是，函數(shù)只有

39、一個間斷點x=1，其是跳躍間斷點。 yl = 0 yr = 2例2.22 計算極限輸入命令 clear all syms a x h%定義符號變量a x h y=sin(x),ax;%定義符號函數(shù)y y1=subs(y,x,x+h);%計算y(x+h)的值 f=(y1-y)/h; jx=limit(f,h,0)%對f求h-0的極限值jx = cos(x), ax*log(a)例2.23 計算下列函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。（1）y=x10+10 x+lnx（2）y=ex(sinx+cosx)（3）y=xsinxlnx（4）y=sinnx+sinnx+sinxn輸入命令 clear all syms x n

40、 y1=x10+10 x+log(x); y2=exp(x)*(sin(x)+cos(x); y3=x*sin(x)*log(x); y4=sin(n*x)+(sin(x)n+sin(xn); dy1=diff(y1) dy2=diff(y2) dy3=diff(y3) dy4=diff(y4)輸出結(jié)果為 dy1 = 10 x*log(10) + 1/x + 10*x9 dy2 = exp(x)*(cos(x) + sin(x) + exp(x)*(cos(x) - sin(x) dy3 = sin(x) + log(x)*sin(x) + x*cos(x)*log(x) dy4 = n*co

41、s(n*x) + n*x(n - 1)*cos(xn) + n*cos(x)*sin(x)(n - 1)例2.23 計算下列函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。（1）y=x10+10 x+lnx（2）y=ex(sinx+cosx)（3）y=xsinxlnx（4）y=sinnx+sinnx+sinxn輸出結(jié)果為 dy1 = 10 x*log(10) + 1/x + 10*x9 dy2 = exp(x)*(cos(x) + sin(x) + exp(x)*(cos(x) - sin(x) 例2.23 計算下列函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。（1）y=x10+10 x+lnx（2）y=ex(sinx+cosx)（3）y=xsinxln

42、x（4）y=sinnx+sinnx+sinxndy2=simple(dy2)%化簡dy2dy2 =2*exp(x)*cos(x)繪制函數(shù)圖形 clear all,close all syms x ezplot(sin(abs(x),-3/2*pi,3/2*pi) grid on例2.24 討論函數(shù)f(x)=sin|x|的可導(dǎo)性，并繪制函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖形 。 syms h fr=sin(x);%fr為x=0時的函數(shù) fl=sin(-x);%fl為x0時的導(dǎo)函數(shù) dfdxl=limit(subs(fl,x,x+h)-fl)/h,h,0)%計算1，曲線 在點（1，1）處的切線與x軸的交點為（n，0

43、），求。qx =(n2 - 1)*(x - 1) + 1求n的表達式lanmda=solve(qx)lanmda =(n2 - 2)/(n2 - 1)計算極限值an=lanmda(n2);jx=limit(an,n,inf)jx = exp(-1)輸入命令 clear all y1=sym(x*f(x2); y2=sym(f(sin(x)2)+f(cos(x)2); y3=sym(f(exp(cos(sqrt(x); dy1=simple(diff(y1,x) dy2=simplify(diff(y2,x) dy3=simplify(diff(y3,x) 例2.27 設(shè)函數(shù) f(x)可導(dǎo)，求下

44、列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（1）y1(x)=xf(x2)（2）y2(x)=f(sin2x)+f(cos2x)（3）y3(x)=dy1 =f(x2) + 2*x2*D(f)(x2)dy2 =sin(2*x)*(D(f)(1 - cos(x)2) - D(f)(cos(x)2)dy3 =-(D(f)(exp(cos(x(1/2)*sin(x(1/2)*exp(cos(x(1/2)/(2*x(1/2)例2.27 設(shè)函數(shù) f(x)可導(dǎo)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（1）y1(x)=xf(x2)（2）y2(x)=f(sin2x)+f(cos2x)（3）y3(x)=即 例2.27 設(shè)函數(shù) f(x)可導(dǎo)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（1）

45、y1(x)=xf(x2)（2）y2(x)=f(sin2x)+f(cos2x)（3）y3(x)=求出導(dǎo)函數(shù)，然后利用eval函數(shù)計算點導(dǎo)數(shù)。 clear all syms x y=log(1+x2); d3y=simple(diff(y,x,3)%求三階導(dǎo)數(shù)y(x) x=1; d3y0=eval(d3y) %計算點導(dǎo)數(shù)y(1)例2.28 設(shè)函數(shù)y=ln(1+x2)，求三階導(dǎo)數(shù)y(x)及y(1)。d3y =(4*x*(x2 - 3)/(x2 + 1)3d3y0 =-1 輸入命令 syms x y=x2*sin(x); dy100=diff(y,x,100) 例2.29 計算函數(shù)y=x2sinx的1

46、00階導(dǎo)數(shù)。dy100 =x2*sin(x) - 9900*sin(x) - 200*x*cos(x) 利用輔助函數(shù)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 clear all syms x y z=x*y+exp(y)-x-1;%定義輔助函數(shù)z dydx=-diff(z,x)/diff(z,y)%計算dy/dx pretty(dydx)%以習慣方式顯示dy/dx x=0; y0=eval(z);%計算x=0時z的值 y0=solve(y0)%計算y(0) dyx0=eval(dydx);%計算x=0時dy/dx的值dyx0 dydx0=subs(dyx0,y,y0)%將dy中的y取為y0，計算y(0) 例2.30

47、求由方程xy+ey=x+1確定的隱函數(shù)y=y(x)的一階導(dǎo)數(shù)y（x）和y（0） 。dydx =-(y - 1)/(x + exp(y) y - 1 - - x + exp(y)y0 =0dydx0 =1例2.30 求由方程xy+ey=x+1確定的隱函數(shù)y=y(x)的一階導(dǎo)數(shù)y（x）和y（0） 。利用參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)。 clear all syms x y t x=sin(t);y=t*sin(t)+cos(t); dydx=diff(y,t)/diff(x,t);%計算一階導(dǎo)數(shù) dydx=simple(dydx)%化簡一階導(dǎo)數(shù) d2yd2x=diff(dydx,t); d2yd2x=sim

48、ple(d2yd2x) 例2.31 由參數(shù)方程 確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y（x）及 。dydx =td2yd2x =1出錯利用參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)。 clear all syms x y t x=sin(t);y=t*sin(t)+cos(t); dydx=diff(y,t)/diff(x,t);%計算一階導(dǎo)數(shù) dydx=simple(dydx)%化簡一階導(dǎo)數(shù) d2yd2x= %計算二階導(dǎo)數(shù) d2yd2x=simple(d2yd2x) 例2.31 由參數(shù)方程 確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y（x）及 。dydx =td2yd2x =1/cos(t)diff(dydx,t)/diff(x,t);計算點導(dǎo)數(shù)。 t=pi

49、/4; d2yd2x0=eval(d2yd2x)例2.31 由參數(shù)方程 確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y（x）及 。d2yd2x0 =1.4142若 dy2=diff(y,t,2)/diff(x,t,2)例2.31 由參數(shù)方程 確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y（x）及 。dy2 =-(cos(t) - t*sin(t)/sin(t)出錯注意：由參數(shù)方程 確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以嵌套調(diào)用diff()函數(shù)求各階導(dǎo)數(shù)，調(diào)用格式為：dn=diff(dn-1,t)/diff(x,t)不能用dn=diff(dn-1,t)及 dn=diff(y,t,n)/diff(x,t,n)以拋射點為原點建立直角坐標系，建立運動方程 例2.32 籃球從

50、距離地面10米的地方以速率v0=20m/s和投射角=30拋出，計算球落地的時間，落在何處，落地時速度的大小及方向。利用solve函數(shù)求解落地時間T。 syms t v0 g h sita x=v0*t*cos(sita); y=v0*t*sin(sita)-g*t2/2; T=solve(v0*t*sin(sita)-g*t2/2=-h,t); %計算落地時間T h=10;v0=20;g=9.8;sita=30*pi/180; T=eval(T) 計算落地時間?；@球落地的時間T滿足方程T =2.7760-0.7352（舍）籃球的射程 s=v0Tcos籃球落地時的速率 v=籃球落地時速度與水平面

51、的夾角 =計算射程和落地時速度的大小及方向。vx=diff(x,t);vy=diff(y,t);%計算水平速度和垂直速度v=sqrt(vx2+vy2); %計算速率a=atan(vy/vx);%計算速度的方向s=subs(eval(x),t,T(1)%計算射程svluo=subs(eval(v),t,T(1)%計算落地時的速率aluo=subs(eval(a),t,T(1)*180/pi%計算落地時速度方向s = 48.0815vluo = 24.4131aluo = -44.8077計算射程和落地時速度的大小及方向。利用taylor函數(shù)計算泰勒公式。 syms x f=exp(x); r1=

52、taylor(f,ExpansionPoint,0.5,Order,2) r3=taylor(f,ExpansionPoint,0.5,Order,4) r6=taylor(f,ExpansionPoint,0.5,Order,7)例2.33 將函數(shù)f(x)=ex在x=0.5處展開為1,3,6次泰勒公式，并計算 的近似值，誤差不超過0.01。 r1 =exp(1/2) + exp(1/2)*(x - 1/2)r3 =exp(1/2) + exp(1/2)*(x - 1/2) + (exp(1/2)*(x - 1/2)2)/2 + (exp(1/2)*(x - 1/2)3)/6r6 =exp(1

53、/2) + exp(1/2)*(x - 1/2) + (exp(1/2)*(x - 1/2)2)/2 + (exp(1/2)* (x - 1/2)3)/6 + (exp(1/2)*(x - 1/2)4)/24 + (exp(1/2)*(x - 1/2)5)/120+ (exp(1/2)*(x - 1/2)6)/720 輸出結(jié)果為 x0=0:0.1:2; f0=subs(f,x,x0); r10=subs(r1,x,x0); r30=subs(r3,x,x0); r60=subs(r6,x,x0); plot(x0,f0,b,x0,r10,r-.,x0,r30,r-,x0,r60,r*) leg

54、end(函數(shù)f,1次泰勒公式,3次泰勒公式,6次泰勒公式,4)對函數(shù)和各階泰勒展開式的圖形進行比較。 計算 的近似值。err0=0.01;err=1;k=1;fx0=subs(f,x,0.5);while errerr0 k=k+1; m=taylor(f,Order,k); mx0=subs(m,x,0.5); err=abs(fx0-mx0);endfprintf(k=%dnfx0=%16.15fnmx0=%16.16fnerr= .%16.15fn, k,fx0,mx0,err)輸出結(jié)果為k=4fx0=1.648721270700128mx0=1.6458333333333335err=

55、0.002887937366795因為sin31=sin(30+1)，設(shè)f(x)=sinx，x0= ，x= ，于是例2.34 計算sin31的近似值。clear allsyms x dxformat long%設(shè)置數(shù)據(jù)顯示格式為longf=sin(x);%定義函數(shù)f=sinxdf=diff(f,x,1);%計算f的一階導(dǎo)數(shù)f(x)fs=f+df*dx%近似計算公式x0=pi/6;%定義x0zzx=pi/180;%定義x fs=subs(fs,x,dx,x0,zzx)%利用近似公式計算近似值x=x0+zzx;fj=eval(f)%計算精確值jdw=abs(fj-fs)%計算絕對誤差xdw=jdw

56、/abs(fj)*100 計算近似值。fs = 0.515114994701952fj = 0.515038074910054jdw = 7.691979189761167e-05xdw = 0.014934777765905輸出結(jié)果為 由微分的定義知，當|x|很小時，利潤增長量利潤增長速度為 例2.35 某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的利潤函數(shù)為L=-x2+492x-90（單位：萬元），其中x為產(chǎn)量（單位：噸）。第一季度產(chǎn)量為200噸，第二季度產(chǎn)量增加了10噸。試求利潤約增加多少萬元？增長速度是多少？ syms xL=-x2+492*x-90; dLdx=diff(L,x);%計算利潤的一階導(dǎo)數(shù)L(x)x=

57、200;L0=eval(L)%計算第一季度利潤dx=10;dL=eval(dLdx*dx)%計算利潤增量v=abs(dL/L0)%計算利潤增長速度輸入命令L0 = 58310dL = 920v = 0.0158求一階導(dǎo)數(shù) f (x)的零點。 clear all;close all syms x f=log(sin(x); fab=subs(f,x,pi/6,5*pi/6)%計算端點函數(shù)值 df=diff(f); x0=eval(solve(df)%計算f=0的解,即切點橫坐標 y0=subs(f,x,x0) 例2.36 對函數(shù)f(x)=lnsinx在區(qū)間上 驗證羅爾中值定理。fab = -0.

58、6931 -0.6931x0 = 1.5708y0 = 0 求一階導(dǎo)數(shù) f (x)的零點。 x=pi/6:0.01:5*pi/6;f=eval(f);plot(x,f,r,x,y0*ones(size(x),b-.)hold onplot(x0,y0,r*,markersize,10)axis(pi/6,5*pi/6,-1,0.5)legend(曲線y=lnsinx,水平切線)text(x0-0.2,y0+0.06,bf切點(,num2str(x0),num2str(y0),),fontsize,12,color,b)xlabel(x軸);ylabel(y軸);grid on繪制函數(shù)及其切線的

59、圖形。繪制函數(shù)曲線 clear all;close all syms x f=4*x3-3*x2+1; ab=-1,2; ezplot(f,ab)%畫函數(shù)曲線 text(0.2,subs(f,x,0.2)-1,uparrow曲線y=4x3-3x2+1, fontsize,14) hold on例2.37 對函數(shù)f(x)=4x3-3x2+1在區(qū)間-1，2上驗證拉格朗日中值定理。fab=subs(f,ab);%端點函數(shù)值kab=(fab(2)-fab(1)/(ab(2)-ab(1);%割線斜率yg=kab*(x-ab(1)+fab(1);%割線方程plot(ab,fab)%畫割線text(0.5-

60、1,subs(yg,x,0.5),割線y=, .char(yg),rightarrow,fontsize,14)繪制割線df=diff(f);while 1 x=fzero(inline(df-diff(fab)/diff(ab),rand); if prod(x-ab)0 break endendif nargout=1 xi=x;else xm=x-diff(ab)/10,x+diff(ab)/10; ym=diff(fab)/diff(ab)*(xm-x)+subs(f,x); plot(xm,ym,r-) y=eval(f); text(x+0.05,y-0.05,itbfxi=,nu