高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：9.2兩條直線的位置關(guān)系39

1、第二節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系考綱解讀1能根據(jù)兩直線的斜率判定兩條直線平行或垂直.2能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.3掌握兩點間距離公式，點到直線的距離公式，會求兩平行線間的距離.命題趨勢探究從內(nèi)容上看，主要考查兩直線平行、垂直的判定，點到直線的距離，兩平行線間的距離及對稱問題，從考查形式上看，以選擇和填空為主.預(yù)測2019年高考中，兩直線平行和垂直關(guān)系的判定與應(yīng)用將是考查的熱點，常與充要條件相結(jié)合.另外對稱問題也常在高考試題中出現(xiàn)，備考時應(yīng)多加注意. 知識點精講一、兩直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表9-1所示.兩直線方程平行垂直(斜率存在)(斜率不存在)或

2、或中有一個為0，另一個不存在.二、三種距離1兩點間的距離平面上兩點的距離公式為.特別地，原點O(0,.0)與任一點P(x,y)的距離2點到直線的距離點到直線的距離特別地,若直線為l:x=m,則點到l的距離;若直線為l:y=n,則點到l的距離3.兩條平行線間的距離已知是兩條平行線,求間距離的方法:(1)轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離.(2)設(shè),則與之間的距離注:兩平行直線方程中,x,y前面對應(yīng)系數(shù)要相等.題型歸納及思路提示題型122 兩直線位置關(guān)系的判定思路提示判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷,也可以按照以下方法判斷:一般地,設(shè)(不全為0), (不全為0),則:當時

3、,直線相交;當時, 直線平行或重合,代回檢驗;當時, 直線垂直,與向量的平行與垂直類比記憶.例9.10 “a=2”是“直線ax+2y=0平行于直線x+y=1”的（ ）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析由a=2得直線方程2x+2y=0，即直線x+y=0與x+y=1平行，反之，由直線ax+2y=-平行于直線x+y=1，得a=2.故“a=2”是“直線2x+2y=0平行于直線x+y=1”的充分必要條件，故選C.變式1（2012浙江理3）設(shè)，則“a=1”是“直線與直線平行”的（ ）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解

4、析 當/時，解得或 當時， 當時， 故或 又“小推大”，故選變式2“”是“直線與直線相互垂直”的（ ）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件分析 兩直線垂直的充要條件是解析 由兩條直線垂直的等價條件得，即得或 因此，“”是“直線與直線 相互垂直”的充分不必要條件.故選B.例9.11已知直線和直線（1）當時，求a的值；（2）當時，求a的值.解析 （1）由，得，解得a=-1或2.當a=-1時，當a=2時，與重合，故舍去.故當時，a的值為-1.（2）由，得，即，得變式1 若直線x-2y+5=0與直線2x+my-6=0互相垂直，則實數(shù)m=_.解析 因為直線與直線相

5、互垂直，所以得變式2 已知直線，問m為何值時：（1）；（2）與重合；（3）與相交；（4）與垂直.解析 (1)由得或 當時，即重合； 當時，即故時，. (1)當時，； (2)當時，重合； (3)由得且所以當且時，相交；當時，也相交，即且時，相交. (4)由得所以當時，垂直.評注 運用有斜率的兩直線平行或垂直的條件處理兩直線的位置關(guān)系時，要緊緊抓住及之間的關(guān)系，需要注意的是“有斜率”這一前提條件，否則回事解題不嚴謹甚至導(dǎo)致錯誤.判斷兩直線平行，垂直，重合時，不要忘記考慮兩條直線中有一條或兩條直線的斜率不存在的情況，在兩條直線的斜率均存在且均不重合的條件下有：與在斜率不存在或為零的情況下討論兩直線的

6、位置關(guān)系宜用數(shù)形結(jié)合法求解.題型123 有關(guān)距離的計算思路提示兩點間的距離，點到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計算，特別注意點到直線距離公式的結(jié)構(gòu).例9.12（1）已知點P(4,1)，則點P到直線的距離為_;（2）已知點（a,2）到直線的距離為，則a=_;（3）過點A(4,a)和B(5,b)的直線與直線y=x+m平行，則兩點間的距離|AB|為_.解析 （1）距離（2）由題意得，故a=1或a=-3.（3）解法一：由題意可知，故解法二：如圖9-4所示，過點B作x軸的垂線與過點A作y軸垂線的反向延長線相交于點C，則由題意知，且，則變式1 點P在直線3x+y-5=0上，且點P到直線x-y-1=0的

7、距離為，則點P的坐標為（ ）A. （1，2）B. （2，1）C. （1，2）或（2，-1）D. （2，1）或（-1，2）解析 依題意可設(shè)點的坐標為 則 所以得或所以點坐標是或故選評注 本題也可求出與直線平行且距離為的直線方程，再與直線聯(lián)立，求得交點坐標.變式2 若直線l過點P(1,2)且與點A(-1,2),B(3,0)兩點距離相等，則直線l的方程為_解析 由平面幾何知識知，或 過的中點. = 1 * GB3 若，則由點斜式可得直線方程為即 = 2 * GB3 若過的中點則直線方程為 綜上所述，所求直線方程為或變式3 若點P(x,y)在直線上運動，則的最小值為_解析 解法一： 故當時， 解法二：

8、設(shè)原點為則例9.13 已知直線，則與之間的距離為（ ）A. 1 B. C. D. 2解析 與之間的距離故選B.變式1 直線與直線的距離是（ ）.A. B.C.D.解析 故選.評注 在運用平行線間距離公式時，應(yīng)使得兩直線和的對應(yīng)系數(shù)相等.變式2 到直線 的距離為的點的軌跡方程是（ ）A.直線2x+y-2=0B.直線2x+y=0C.直線2x+y=0或直線2x+y-2=0D.直線2x+y=0或直線2x+y+2=0解析 解法一：設(shè)動點滿足題設(shè)，則即則有 或 解法二：由題設(shè)可知，所求軌跡是與直線平行的直線且 故其方程可設(shè)為則解得或. 故或故選變式3 已知三直線和，且與的距離是（1）求a 的值；（2）能否

9、找到一點P，使P同時滿足下列三個條件：P是第一象限的點；點P到的距離是點P到的距離的；點P到的距離與點P到的距離之比是.若能，求點P坐標；若不能，請說明理由.解析 (1) 所以與之間的距離為： 因為所以 (2)設(shè)存在點滿足 = 2 * GB3 ，則點在與平行的直線，可設(shè) 且即或所以或 若點滿足條件 = 3 * GB3 ，則由點到直線的距離公式有： 即所以或(舍去，因為點在第一象限)， 由得(舍)； 由得 所以點 由即為同時滿足條件的點.例9.14 過點P（1，2）且與原點O距離最大的直線方程是（ ）A.x+2y-5=0B. x-2y+2=0C. x+3y-7=0D.3x+y-5=0解析 解法一

10、：如圖95所示，設(shè)點，且線段OP與直線l的夾角為則距離，當且僅當時取等號.此時，故所以直線，即故選A.解法二：設(shè)所求直線方程,即.則原點到直線l的距離當且僅當向量，即時取等號.此時，即評注： 本題解法一充分運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.解法二中運用了柯西(Cauchy)不等式：，其坐標形式為：，當且僅當a/b，即時取等號.變式1 已知兩條互相平行的動直線分別過，則之間的距離最大值為_;當之間的距離最大時，直線的方程分別為_,_.解析 設(shè)線段與直線的夾角為則距離當且僅當時取等號. 此時故直線的斜率為 所以直線即 又故即題型124 對稱問題思路提示（1）中心對稱問題轉(zhuǎn)化為中點問題.求點關(guān)于點中心對稱的

11、點.由中點坐標公式得求直線l關(guān)于點中心對稱的直線求解方法是：在已知直線l上取一點關(guān)于點中心對稱得，再利用，由點斜式方程求得直線的方程（或者由，且點到直線l及的距離相等來求解）.（2）軸對稱問題轉(zhuǎn)化為對稱點連線被對稱軸垂直平分.求點關(guān)于直線對稱的點方法一：（一中一垂），即線段的中點M在對稱軸上，若直線的斜率存在，則直線的斜率與對稱軸的斜率之積為1，兩個條件建立方程組解得點方法二：先求經(jīng)過點且垂直于對稱軸的直線（法線），然后由得線段的中點，從而得求直線l關(guān)于直線對稱的直線若直線，則，且對稱軸與直線l及之間的距離相等.此時分別為，由，求得，從而得若直線l與不平行，則.在直線l上取異于Q的一點，先由（

12、2）中的方法求得關(guān)于直線對稱的點，再由兩點確定直線（其中）.例9.15 （1）點A（1，2）關(guān)于點M(3,4)對稱的點的坐標為_（2）直線關(guān)于點M(1,2)對稱的直線方程為_（3）點A(1,2)關(guān)于直線對稱的點的坐標為_（4）直線關(guān)于直線對稱的直線方程為_解析 （1）設(shè)對稱點的坐標為，則，得，故所求對稱點的坐標為(5,6).（2）設(shè)直線l關(guān)于點M(1,2)對稱的直線為，則，故設(shè)則解得或-3（此時與l重合，舍去）.故（3）設(shè)對稱點的坐標為，先求經(jīng)過點A(1,2)且垂直于的直線.，即由，解得，即線段的中點為所以，解得，故所求對稱點的坐標為（4）由，解得即.取直線l上一點，下面求關(guān)于直線對稱的點.由

13、，得，即所以故得所求對稱直線即.評注 特殊結(jié)論：已知直線l關(guān)于直線對稱的直線是，若直線的斜率，則（其中分別是直線l與的斜率），如本例（4）中所求對稱直線的斜率為.簡證：首先易知：若直線l關(guān)于直線對稱的直線是，則經(jīng)過它們的交點（假定相交）且垂直于的直線也是l與的同，故只證的情形.然后把每條直線都平移至過原點O，所得直線分別為，且不妨在直線上取異于O的點，則關(guān)于對稱的點為故，所以，得證.變式1 （1）求點P(4,5)關(guān)于點M(3,-2)對稱的點Q的坐標；（2）求點P(4,5)關(guān)于直線對稱的點Q的坐標；（3）直線與關(guān)于點A(4,6)對稱，求b的值；（4）求直線關(guān)于直線對稱的直線方程.解析 (1)設(shè)點

14、的坐標為則得故點的坐標為 (2)設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為則 得故點的坐標為 (3)依題意，點到直線與直線的距離相等，則 得即 (4)解法一：聯(lián)立解得則與的交點為 在上取一點關(guān)于對稱點則有： 解得 由兩點式得即 解法二：因為對稱軸直線的斜率為1，故利用“一解一代法”.設(shè)直線上點的坐標為關(guān)于直線對稱的點坐標為則將代入直線方程得：即例9.16 在中，已知頂點A(2,2)，的平分線所在直線的方程為y=0,的平分所在直線的方程為x+y-1=0,求邊BC所在直線的方程.分析 用待定系數(shù)法直接求解邊BC所在直線的議程難度較大，故考慮角平分線的性質(zhì)，如圖96所示，利用角平分線的性質(zhì)（對稱性）可知，點A關(guān)于的平分

15、線的對稱點均在直線BC上，故可以求兩對稱點所在直線的方程.解析 如圖97所示，設(shè)點A關(guān)于直線的對稱點為D，則D(2,-2)設(shè)點A關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即所以直線DE的斜率為，則直線DE的方程為，即故邊BC所在直線方程為變式1 如圖9-8所示，已知A(4,0),B(0,4),從點P(2,0)射出的光線經(jīng)過直線AB反射后再射到OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點P，則光線所經(jīng)過的路程是（ ）A.B.6C.D.解析 分別求點關(guān)于直線及軸的對稱點，由光學(xué)知識知，光線所經(jīng)路程即故選變式2 在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A,B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC,CA反射后又回

16、到點P（如圖9-9所示）.若光線QR經(jīng)過的重心，則AP等于（ ）A.2B.1C.D.分析 以點為原點，建立平面直角坐標系求解，利用點關(guān)于直線對稱性求解.解析 分別以所在直線為軸，軸，為原點建立如圖923所示的平面直角坐標系. 因為故設(shè)點為線段上的點，點關(guān)的對稱點，點關(guān)于的對稱點由光的反射原理知，點一定在直線上，又的重心坐標為由題意知點在線段上，即三點共線. 因為 所以，解得即故選最有效訓(xùn)練題39（限時45分鐘）1.若直線ax+2y+6=0和直線垂直，則a的值為（ ）A.B.0C.或0D.-32.已知兩條直線y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行，則a=( )A.1或-3B.-1或3C

17、.1或3D.-1或-33.直線y=3x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，再向右平移1個單位，所得直線（ ）A.B.C.D.4.設(shè)a,b,c分別是中角A,B,C所對邊的邊長，則直線與的位置關(guān)系是（ ）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直5.設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程的兩個實根，且，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是（ ）A.B.C.D.6.若三直線能圍成三角形，則（ ）A. B.C.和D.和7.點P為x軸上一點，點P到直線3x-4y+6=0的距離為6，則點坐標為_8.過點P(-1,2)且與點A(2,3)和B(-4,5)距離相等的直線l的方程為_9.若直線

18、與的交點在第一象限，則實數(shù)k的取值范圍為_10.已知兩條直線和，求滿足下列條件的a,b的值.（1），且過點（-3，-1）；（2），且坐標原點到這兩條直線的距離相等.11.求經(jīng)過直線和的交點，且垂直于直線的直線l的方程.12.已知直線，點A(-1,-2),求：（1）點A關(guān)于直線l的對稱點的坐標；（2）直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線l的對稱直線的方程；（3）直線l關(guān)于點A(-1,-2)對稱的直線的方程.最有效訓(xùn)練題39 1. 解析 依題意得或故選 2. 解析 由條件知所以或故選3. 解析 設(shè)的斜率為所以所以再向右平移一個單位，得到即故選4. 解析 由已知得所以兩直線的斜率分別 由正弦定理得則所以兩直線垂直.故選 5. 解析 因為所以 又因為所以所以故選6. 解析 由得交點若在直線上，則此時三條直線交于一點；當時，直線與平行；當時，直線與平行.綜上所述，要使三條直線能圍成三角形，應(yīng)有當和故選7.或 解析 設(shè)點則有解得或 所以點坐標為或8.或 解析 解法一：當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：即： 由題意知即所以所以直線的方程為即.當直線的斜率不存在時，直線方程為，也符合題意.解法二：當在直線的同側(cè)，即時，有直線的方程為即.當在直線的異側(cè)，即過的中點時，的中點為故直線為 故所求直線的方程為或