高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：12.4 二項(xiàng)式定理52

1、 二項(xiàng)式定理考綱解讀能用計數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)式展開式有關(guān)的簡單問題.命題趨勢探究高考對本節(jié)內(nèi)容的考查常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，并且高于中等偏易試題.主要考查內(nèi)容是： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 利用通項(xiàng)求解展開式中的某指定項(xiàng)； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 利用二項(xiàng)式特別是的展開式求解系數(shù)或求某些類似于二項(xiàng)展開式的式子的值； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 二項(xiàng)式系數(shù)的有關(guān)問題.知識點(diǎn)精講一、二項(xiàng)式定理 .展開式具有以下特點(diǎn)：（1）項(xiàng)數(shù)：共項(xiàng).（2）二項(xiàng)式系數(shù)：依次為組合數(shù).（3）每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，都為次

2、，展開式依的降冪、的升冪排列展開.特別地，.二、二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)（第項(xiàng)） 二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)為.其中的二項(xiàng)式系數(shù).令變量（常用）取1，可得的系數(shù).注 通項(xiàng)公式主要用于求二項(xiàng)式展開式的指數(shù)、滿足條件的項(xiàng)數(shù)或系數(shù)、展開式的某一項(xiàng)或系數(shù).在應(yīng)用通項(xiàng)公式時要注意以下幾點(diǎn)： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 分清是第項(xiàng)，而不是第項(xiàng)； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 在通項(xiàng)公式中，含這6個參數(shù)，只有是獨(dú)立的，在未知的情況下利用通項(xiàng)公式解題，一般都需要先將通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為方程組求和.二項(xiàng)式展開式中的系數(shù) （1）二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù) 二項(xiàng)式系數(shù)僅指而言，不包括字母所表示的式子中的系

3、數(shù).例如：的展開式中，含有的項(xiàng)應(yīng)該是，其中叫做該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而的系數(shù)應(yīng)該是（即含項(xiàng)的系數(shù)）.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 在二項(xiàng)式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即，. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 二項(xiàng)展開式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間項(xiàng)是第項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間項(xiàng)有兩項(xiàng)，即為第項(xiàng)和第項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)和相等并且最大.（3）二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和 = 1 * GB3 二項(xiàng)式系數(shù)和 .奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和， . = 2 * GB3 系數(shù)和

4、求所有項(xiàng)系數(shù)和，令；求變號系數(shù)和，令；求常數(shù)項(xiàng)，令。題型歸納及思路提示題型172 二項(xiàng)式定理展開式的應(yīng)用思路提示 對二項(xiàng)展開式的認(rèn)識不僅要關(guān)注展開式中對各項(xiàng)的特點(diǎn)，更重要的是要理解等式兩邊的關(guān)系，右邊是左邊個因式積的結(jié)果，而左邊是右邊各項(xiàng)和的結(jié)果，這就為此類問題的解決提供了思考的方向和解決的思路。例12.30 用計數(shù)原理證明： .解析: ，其展開式的通項(xiàng)為，是由個中的個中每一個取，個中每一個取相乘取得的，這樣的取法（只需從個中取，自然剩余個中?。┕灿蟹N，即 .故 變式1 在的展開式中，的系數(shù)為（ ）A. B. C. D. 解析 展開x項(xiàng)系數(shù)為1x2x3x4+2x3x4x5+1x3x4x6+1x

5、2x3x5+1x2x4x5=274.故選D.變式2 在的展開式中，的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）.解析 將多項(xiàng)式看作，通項(xiàng)公式為，因?yàn)?時都不含有x的項(xiàng)，故要求x的系數(shù)，r只能等于1，x的系數(shù)為.評注 本題也可把二項(xiàng)式定理進(jìn)行推廣，原式看成5個相同的因式相乘，要得到只含x的項(xiàng)，只要從其中一個因式取出4x，另外四個因式全取2，即只含x的項(xiàng)為：，即含x的項(xiàng)的系數(shù)為320.變式3 的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為_（用數(shù)字作答）.解析 解法一 將看做整體，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)5-r=0時，即r=5, ,當(dāng)5-r=2時，即r=3, ,當(dāng)5-r=4時，即r=1, ,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.解法二 .則展開式中的常數(shù)

6、項(xiàng)為.評注 在解法二中不妨設(shè)，常數(shù)項(xiàng)為，此解法更簡捷.題型173 二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的應(yīng)用思路提示二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)從微觀角度反映了二項(xiàng)展開式的全貌，是展開式的縮影，它可以用于求二項(xiàng)展開式的任意指定項(xiàng)及其系數(shù)等。例12.31 （1）的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（ ）A. B. C. D. (2)展開式中的系數(shù)為（ ） A. B. C. D. 解析：（1）利用計數(shù)原理求解，當(dāng)左邊因式取2，所得常數(shù)項(xiàng)為，當(dāng)左邊因式取， 所得常數(shù)項(xiàng)為，故展開式中常數(shù)項(xiàng)為 ，故選. .故展開式中含的項(xiàng) .故選.變式1 展開式中的系數(shù)為_。解析 將展開式中項(xiàng)為，所以項(xiàng)的系數(shù)為變式2 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_。解析 兩個二項(xiàng)式的通項(xiàng)分別為，

7、當(dāng)時，即4i = 3j，有3種情況：i = j = 0；i = 3，j = 4；i = 6，j = 8；因此常數(shù)項(xiàng)為.變式3 已知的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，且，=_.解析 的通項(xiàng)公式為，要使多項(xiàng)式展開后沒有常數(shù)項(xiàng)，則的展開式中，則，n被4整除不能余0,2,3，所以n被4整除只能余1，又，故n = 5.例12.32 （1）求證： .（2）求證：.解析 （1）因?yàn)椋?，所以展開式至少有4項(xiàng)，即 .證畢.（2）首先，顯然有 ；同時 （至少有3項(xiàng)），故有.變式1 ，.求證：.解析 設(shè)a = x + y，b = x y，則，于是：=變式2 求證： .解析 ，所以變式3 對于，求證：. 解析 展開式的通項(xiàng) 展

8、開式的通項(xiàng) 因?yàn)椋?，?dāng)r = 0時，；當(dāng)時，由二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)可知例12.33 (1)展開式中的系數(shù)為，=_.(2) （2017新課標(biāo)理數(shù)）(+)(2-)5的展開式中33的系數(shù)為A-80B-40C40D80解析 （1），令x=1得系數(shù)為，的冪，由展開式中的 QUOTE 的系數(shù)為，得， 。22x-y5展開式中 Tr+1=C5r2x5-r-yr 因此只需展開式中的含x3y2與x2y3的系數(shù)之和。C5223(-1)2+C5322(-1)3=40 選c變式1 的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為_(用數(shù)字作答)。解析 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令18 = 15，解得r = 2，所以含的項(xiàng)的系數(shù)為17變式 2 設(shè)二項(xiàng)

9、式()的展開式中的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為B，若B=4A，則的值為_。解析 二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)，令， 令，由B = 4A解得，又a 0，所以a = 2【例12.33變式3】變式 3 展開式中與的系數(shù)和為_(用數(shù)字作答)。解析 ,由題意知r = 7或3，當(dāng)r = 7，；當(dāng)r = 3，這兩項(xiàng)系數(shù)和為 240例12.34 展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有_項(xiàng)。解析：= QUOTE ()依題意，為4的整數(shù)倍，.故展開式中系數(shù)為有理項(xiàng)的項(xiàng)共有6項(xiàng)。變式1 的第三項(xiàng)和第二項(xiàng)系數(shù)之比為11：2，求展開式中有理項(xiàng)有多少個？解析 的系數(shù)為，的系數(shù)為，。是有理項(xiàng)，故展開式中有3個有理項(xiàng)變式2 (為有理數(shù))，則=（ ） A.

10、45 B. 55 C. 70 D. 80解析 ，故選C變式3 展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，正整數(shù)的最小值為_.解析 為常數(shù)項(xiàng)，故，故題型174 二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題思路提示有關(guān)系數(shù)和的問題不僅要注意二項(xiàng)式系數(shù)和的結(jié)果，重要的是研究二項(xiàng)式系數(shù)所用的方法即賦值法，這里就需要讀者根據(jù)題目結(jié)合已知條件進(jìn)行賦值。例12.35 已知=.求（1）；（2）；（3）；（4）.解析 令，則 = 1 * GB3 令，則. = 2 * GB3 (1)因?yàn)椋?(2)( = 1 * GB3 - = 2 * GB3 )2得.(3) ( = 1 * GB3 + = 2 * GB3 ) QUOTE 得(4) 解法一：因?yàn)檎归_式中

11、大于零，而小于零，所以=（）（）=2187.解法二：即為展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和，故只需要對中令即可得的值等于=2187.評注： 求關(guān)于展開式中的系數(shù)和問題，往往根據(jù)展開式的特點(diǎn)給其中字母一些特殊的數(shù)值，如1，-1等，此即賦值法。變式1 已知二項(xiàng)展開式，則=_.分析 ，在中，令x = 1，；令x = 1， 解析 變式2 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）A. -40 B. -20 C. 20 D. 40解析 令x = 1得，因此展開式中的常數(shù)項(xiàng)即為展開式中的系數(shù)與x的系數(shù)和。展開式的通項(xiàng)為，令5 2r = 1，得r = 2，因此展開式中x的系數(shù)為80令5 2r = 1，得r =

12、 3，因此展開式中的系數(shù)為40，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為40，故選D例12.36 若=（），則的值為（ ）A. 2 B. 0 C. -1 D. -2解析：在二項(xiàng)式展開式中，令，得，令得，所以，故選C.變式1 已知=.若，那么自然數(shù)的值為（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解析 令x = 1時，得，又，所以，即，解得n = 4，故選B變式2 若，則=_.解析 由題意可知，所求結(jié)果為x = 1時，的值，即令，則即為所求，又，所以 = 14題型175 二項(xiàng)展開式中系數(shù)或項(xiàng)的最大、最小問題思路提示 二項(xiàng)式系數(shù)最大（?。﹩栴}按前述“知識點(diǎn)精講”原理求解.系數(shù)或項(xiàng)的最大、最小問題需按該項(xiàng)大于（或小于

13、）等于相鄰兩項(xiàng)，列不等式組求解。例12.37 展開式中：（1）只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則=_;（2）第7項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)取最大值，= _.分析：只有一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大是偶數(shù)；有兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大是奇數(shù)。解析：（1）=只有二項(xiàng)式系數(shù)最大， QUOTE 為偶數(shù)，最大值為，得. (2)當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，最大二項(xiàng)式系數(shù)為和或或.所以。變式1 求展開式的系數(shù)最大項(xiàng)和最小項(xiàng)。解析 ,各項(xiàng)系數(shù)為，在正數(shù)里找最大系數(shù)，為界，最大系數(shù)為，系數(shù)最大項(xiàng)為和，在負(fù)數(shù)里找最小系數(shù)，系數(shù)最小項(xiàng)變式2 求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)數(shù)和系數(shù)最大項(xiàng)數(shù)。解析 ，二項(xiàng)式系數(shù)最大為第6,7項(xiàng)，設(shè)系數(shù)最大項(xiàng)滿足（分母都大于0）

14、，即r = 7或8系數(shù)最大，即第8,9項(xiàng)兩項(xiàng)系數(shù)最大。最有效訓(xùn)練題52（限時30分鐘）1.的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為（ ）A. 10 B.-10 C.40 D. -402. (其中且)展開式中，與的系數(shù)相等，則=（ ）A. 6 B. 7 C.8 D. 93的展開式中，的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)等于（ ）A. B. C. 1 D. 24. （2017新課標(biāo)理數(shù)）展開式中的系數(shù)為A15B20C30D355.若展開式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)和為512，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）A. -84 B. 84 C. -36 D. 366. 設(shè)=，則的值為（ ）A. 2 B. -1 C. -2 D. 1 7. 若的展開式

15、中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開式中的的系數(shù)為_8. （2017山東理）已知的展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)是，則 .9. 已知，若數(shù)列（）是一個單調(diào)遞增數(shù)列，則的最大值為_.10. （2017浙江）已知多項(xiàng)式，則=_，=_11. 12. 。（1） 若，求的值； （2） 若，求中含的項(xiàng)的系數(shù)；（3） 證明： 最有效訓(xùn)練題52D 解析 由，令10 3r = 1，得r = 3，代入得x的系數(shù)為40B 解析 ，由已知解得n = 7D 解析 依題意，令5 2r = 3，得r = 1，所以的系數(shù)5a = 10，得a = 21+x6展開式中 Tr+1=C6rxr因此只需展開式中的含x4與x2的系數(shù)之和。C64+C62=30選項(xiàng)為cB 解析 依題意，得n = 9，令18 3r = 0，得r = 6，常數(shù)項(xiàng)為84C 解析 令x + 2 = 1，得x = 1，代入等式得，所以56 解析 由已知得，所以n = 8，令8 2r = 2，得r = 5，所以