2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)3.1　導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算第三章2022內(nèi)容索引0102必備知識 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破必備知識 預(yù)案自診【知識梳理】 3.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù):一般地,如果一個函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)x處都有導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)值記為f(x),則f(x)是關(guān)于x的函數(shù),稱f(x)為f(x)的,通常也簡稱為導(dǎo)數(shù).斜率導(dǎo)函數(shù)4.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f(x)=0f(x)=x(Q,0)f(x)=f(x)=sin xf(x)=f(x)=cos xf(x)=f(x)=ax(a0,且a1)f(x

2、)=f(x)=exf(x)=f(x)=logax(a0,且a1)f(x)=f(x)=ln xf(x)=x-1 cos x -sin x axln a ex 5.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)f(x)g(x)=;(2)f(x)g(x)=;f(x)g(x) f(x)g(x)+f(x)g(x) 6.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx=,即y對x的導(dǎo)數(shù)等于的導(dǎo)數(shù)與的導(dǎo)數(shù)的乘積.yuux y對u u對x 常用結(jié)論1.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).2.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢

3、,其正負(fù)號反映了變化的方向,其大小|f(x)|反映了變化的快慢,|f(x)|越大,曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.【考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)f(x0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率.()(2)求f(x0)時,可先求f(x0)再求f(x0).()(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點(diǎn).()(4)與曲線只有一個公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線.()(5)曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線與過點(diǎn)P(x0,y0)的切線相同.()2.一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動,如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t s后的位移為 ,那么速度為零的時刻是()A.0 sB.1 s末C.

4、2 s末D.1 s末和2 s末答案 D 3.(2020全國1,理6)函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖像在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為()A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1答案 B解析 對函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f(x)=4x3-6x2,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知在點(diǎn)(1,f(1)處的切線的斜率為k=f(1)=-2.又因?yàn)閒(1)=-1,所以切線方程為y-(-1)=-2(x-1),化簡得y=-2x+1.答案 2x+y-3=0 答案1 關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例1】分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=excos x;思考函數(shù)求導(dǎo)應(yīng)遵循怎樣的原則?解題心得 函數(shù)求導(dǎo)應(yīng)遵

5、循的原則:(1)求導(dǎo)之前,應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等變換等對函數(shù)進(jìn)行化簡,然后求導(dǎo),這樣可以減少運(yùn)算量,提高運(yùn)算速度,減少差錯.(2)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算時,要牢記導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,切忌記錯記混.(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),要正確分析函數(shù)的復(fù)合層次,通過設(shè)中間變量,確定復(fù)合過程,然后求導(dǎo).對點(diǎn)訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=x2sin x;考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用(多考向探究)考向1過函數(shù)圖象上一點(diǎn)求切線方程【例2】 已知函數(shù)f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲線f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程;(2)求經(jīng)過點(diǎn)A(2,-2)的曲線f(x)的切線方程.解 (1)f(x)=3x2-8x+5

6、,f(2)=1,又f(2)=-2,曲線在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為y+2=x-2,即x-y-4=0.解題心得求切線方程時,注意區(qū)分曲線在某點(diǎn)處的切線和曲線過某點(diǎn)的切線,曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0)處的切線方程是y-f(x0)=f(x0)(x-x0).求過某點(diǎn)的切線方程,需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),再依據(jù)已知點(diǎn)在切線上求解.對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)=xln x(x0),若直線l過點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,則直線l的方程為()A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=0(2)(2020全國1,文15)曲線y=ln x+x+1的一條切線的斜

7、率為2,則該切線的方程為.答案 (1)B(2)y=2x解析 (1)f(x)=ln x+1,x0,設(shè)直線l的方程為y=kx-1,直線l與f(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0,y0),考向2已知曲線切線方程(或斜率)求切點(diǎn)【例3】 (1)(2020湖北高考模擬,理13)設(shè)曲線y=ex+1上點(diǎn)P處的切線平行于直線x-y-1=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.答案 (1)(0,2)(2)ln 2 解題心得已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再讓導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率,從而求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo),將橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo).對點(diǎn)訓(xùn)練3設(shè)曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y= (x0)上點(diǎn)P處的切線

8、垂直,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.答案 (1,1) 考向3已知切線方程(或斜率)求參數(shù)的值【例4】 若曲線f(x)=xln x+2m上點(diǎn)P處的切線方程為x-y=0.(1)求實(shí)數(shù)m的值;(2)若過點(diǎn)Q(1,t)存在兩條直線與曲線y=f(x)相切,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解 (1)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(n,n).f(x)=xln x+2m的導(dǎo)數(shù)為f(x)=1+ln x,點(diǎn)P(n,n)處的切線斜率為1+ln n=1,可得n=1,即切點(diǎn)為(1,1),則1=2m,解得m= .(2)f(x)=xln x+1.設(shè)切點(diǎn)為(u,v),則切線的斜率為f(u)=1+ln u,即有切線的方程為y-uln u-1=(1+ln u)(x-u).

9、代入點(diǎn)Q(1,t),即有t-uln u-1=(1+ln u)(1-u).即為t-2=ln u-u,在(0,+)上有兩實(shí)數(shù)解,記g(u)=ln u-u,導(dǎo)數(shù)為g(u)= -1.當(dāng)u1時,g(u)單調(diào)遞減,當(dāng)0u1時,g(u)單調(diào)遞增,可得當(dāng)u=1時,取得最大值g(1)=-1,即有t-2-1,解得t1.故實(shí)數(shù)t的取值范圍為(-,1).解題心得已知切線方程(或斜率)求參數(shù)值的關(guān)鍵就是列出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率的方程.對點(diǎn)訓(xùn)練4(2020天津河北區(qū)線上測試,17)已知曲線f(x)=axln x-bx(a,bR)在點(diǎn)(e,f(e)處的切線方程為y=3x-e,則a,b的值分別為,.答案 1-1 要點(diǎn)歸納小

10、結(jié)1.對于函數(shù)求導(dǎo),一般要遵循先化簡再求導(dǎo)的基本原則.對于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),關(guān)鍵在于分清復(fù)合關(guān)系,適當(dāng)選取中間變量,然后“由外及內(nèi)”逐層求導(dǎo).2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)的圖象在切點(diǎn)處的切線斜率,應(yīng)用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面:(1)已知切點(diǎn)A(x0,f(x0)求斜率k,即求在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值k=f(x0);(2)已知斜率k,求切點(diǎn)B(x1,f(x1),即解方程f(x1)=k;(3)已知切線過某點(diǎn)M(x1,f(x1)(不是切點(diǎn))求斜率k,常需設(shè)出切點(diǎn)A(x0,f(x0),求導(dǎo)數(shù)得出斜率k=f(x0),列出切線方程代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求解或利用 求解.要點(diǎn)歸納小結(jié)1.利用公式求導(dǎo)時,不要將冪函數(shù)的求導(dǎo)公式(xn)=nxn-1(nQ*)與指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式(ax)=