2022高考總復習 數(shù)學(人教A理一輪)12.1　隨機事件的概率

1、高考總復習優(yōu)化設(shè)計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI12.1隨機事件的概率第十二章2022內(nèi)容索引010203必備知識 預案自診關(guān)鍵能力 學案突破案例探究5“正難則反”思想在概率中的應用必備知識 預案自診【知識梳理】 1.事件的分類 確定事件必然事件在條件S下,一定會發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的必然事件不可能事件在條件S下,一定不會發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的不可能事件隨機事件在條件S下的事件,叫做相對于條件S的隨機事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生2.頻率與概率(1)頻率的概念:在相同的條件S下重復n次試驗,觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為

2、事件A出現(xiàn)的,稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)= 為事件A出現(xiàn)的.(2)隨機事件概率的定義:在的條件下,大量重復進行同一試驗時,隨機事件A發(fā)生的會在某個附近擺動,即隨機事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性.這時這個叫做隨機事件A的概率,記作P(A),有0P(A)1.(3)概率與頻率的關(guān)系:對于給定的隨機事件A,由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用來估計概率P(A).頻數(shù)頻率相同頻率常數(shù)常數(shù)頻率fn(A) 3.事件的關(guān)系與運算 定義符號表示包含關(guān)系若事件A_,則事件B_,這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) _相等關(guān)系若BA,且_,則稱事件A與事件B相等

3、_并事件(和事件)若某事件發(fā)生,_,則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) _ 交事件(積事件)若某事件發(fā)生,_,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) _發(fā)生一定發(fā)生BA(或AB) AB A=B 當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生 AB(或A+B) 當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生 AB(或AB) 定義符號表示互斥事件若AB為_事件,則稱事件A與事件B互斥 _對立事件若AB為_事件,AB為_,則稱事件A與事件B互為對立事件 _(為必然事件)不可能AB=不可能必然事件AB=,且AB= 4.互斥事件與對立事件的關(guān)系對立事件是互斥事件的特殊情況,而互斥事件未必是對立事件.5.概率的幾個基

4、本性質(zhì)(1)概率的取值范圍:.(2)必然事件的概率:P(A)=.(3)不可能事件的概率:P(A)=.(4)概率的加法公式:若事件A與事件B互斥,則P(AB)=.(5)對立事件的概率:若事件A與事件B互為對立事件,則AB為必然事件.P(AB)=,P(A)=.0P(A)1 1 0P(A)+P(B) 1 1-P(B) 【考點自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.()(2)對立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是對立事件.()(3)在大量重復試驗中,概率是頻率的穩(wěn)定值.()(4)兩個事件的和事件是指兩個事件至少有一個發(fā)生.()(5)若A,B為

5、互斥事件,則P(A)+P(B)=1.()(6)對立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是對立事件.()2.從一批羽毛球中任取一個,其質(zhì)量小于4.8克的概率為0.3,質(zhì)量不小于4.85克的概率為0.32,則質(zhì)量在4.8,4.85)(單位:克)范圍內(nèi)的概率為()A.0.62B.0.38C.0.7D.0.68答案 B解析 由互斥事件的概率計算公式可得質(zhì)量在4.8,4.85)(單位:克)范圍內(nèi)的概率為P=1-0.3-0.32=0.38.故選B.答案 B 4.從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球,那么互斥而不對立的兩個事件是()A.“至少有一個黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個黑球”與“至少有一個

6、紅球”C.“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”D.“至少有一個黑球”與“都是紅球”答案 C解析 A,B中的兩個事件都不是互斥事件;C中的兩個事件是互斥而不對立的兩個事件;D中的兩個事件是對立事件.5.口袋內(nèi)有一些大小相同的紅球、黃球和白球,從中任意摸出一球,摸出的球是紅球或黃球的概率為0.4,摸出的球是紅球或白球的概率為0.9,那么摸出的球是黃球或白球的概率為()A.0.7B.0.5C.0.3D.0.6答案 A解析 設(shè)摸出紅球的概率為P(A),摸出黃球的概率是P(B),摸出白球的概率為P(C),所以P(A)+P(B)=0.4,P(A)+P(C)=0.9,且P(A)+P(B)+P(C)=1,所

7、以P(C)=1-P(A)-P(B)=0.6,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.1,所以P(B)+P(C)=0.7.故選A.關(guān)鍵能力 學案突破考點1隨機事件的關(guān)系例(1)在一次隨機試驗中,彼此互斥的事件A,B,C,D發(fā)生的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3,則下列說法正確的是()A.AB與C是互斥事件,也是對立事件B.BC與D是互斥事件,也是對立事件C.AC與BD是互斥事件,但不是對立事件D.A與BCD是互斥事件,也是對立事件(2)某校高三(1)班50名學生參加1 500 m體能測試,其中23人成績?yōu)锳,其余人成績都是B或C.從這50名學生中任抽1人,若抽得B的概率是0.4,則抽得C的

8、概率是()A.0.14B.0.20 C.0.40D.0.60答案 (1)D(2)A解析 (1)由于A,B,C,D彼此互斥,且ABCD是一個必然事件,故其事件的關(guān)系可由如圖所示的Venn圖表示,由圖可知,任何一個事件與其余3個事件的和事件必然是對立事件,任何兩個事件的和事件與其余兩個事件的和事件也是對立事件.故選D.(2)由于成績?yōu)锳的有23人,故抽到C的概率為P=1- -0.4=0.14.故選A.思考如何判斷隨機事件之間的關(guān)系?解題心得 判斷隨機事件之間的關(guān)系有兩種方法:(1)定義法,就是考查它們能否同時發(fā)生,如果不能同時發(fā)生,則是互斥事件,否則,就不是互斥事件.(2)類比集合進行判斷,把所有

9、試驗結(jié)果寫出來,看所求事件包含哪些試驗結(jié)果,從而斷定所給事件的關(guān)系.由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集,則事件互斥.事件A的對立事件 所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集.注意:事件的包含、相等、互斥、對立等,其發(fā)生的前提條件應是一樣的;對立是針對兩個事件來說的,而互斥可以是多個事件的關(guān)系.對點訓練1(1)從1,2,3,4,5這5個數(shù)中任取兩個數(shù),其中:恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù);至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù);至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù);至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù).上述事件中,是對立事件的是()A.B.C.D.(2)對飛機連續(xù)射擊兩次,

10、每次發(fā)射一枚炮彈,設(shè)A=“兩次都擊中飛機”,B=“兩次都沒擊中飛機”,C=“恰有一次擊中飛機”,D=“至少有一次擊中飛機”,其中彼此互斥的事件是,互為對立事件的是.答案 (1)C(2)A與B,A與C,B與C,B與DB與D解析 (1)從1,2,3,4,5這5個數(shù)中任取兩個數(shù)有3種情況:一奇一偶,2個奇數(shù),2個偶數(shù).其中“至少有一個是奇數(shù)”包含一奇一偶或2個奇數(shù)這兩種情況,它與兩個都是偶數(shù)是對立事件.又中的事件可以同時發(fā)生,不是對立事件,故選C.(2)設(shè)為對飛機連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況,因為AB=,AC=,BC=,BD=,故A與B,A與C,B與C,B與D為互斥事件.而BD=,BD=,故B與D互

11、為對立事件.考點2隨機事件的頻率與概率【例2】某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:上年度出險次數(shù)012345保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表: 出險次數(shù)012345頻數(shù)605030302010(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”,求P(A)的估計值;(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”.求P(B)的估計值;(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.解 (1)事件A發(fā)生當且僅當

12、一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為 =0.55,故P(A)的估計值為0.55.(2)事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為 =0.3,故P(B)的估計值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a.因此,續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.192 5a(元).保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05解題心得 1.概

13、率是頻率的穩(wěn)定值,它從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小,它是頻率的科學抽象.當試驗次數(shù)越來越多時,頻率越趨近于概率.2.求解隨機事件的概率的常用方法有兩種:(1)可用頻率來估計概率.(2)利用隨機事件A包含的基本事件數(shù)除以基本事件總數(shù).計算的方法有:列表法,列舉法,樹狀圖法.對點訓練2從A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:所用時間(分鐘)10202030304040505060選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率;(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各

14、時間段內(nèi)的頻率;(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站,試通過計算說明,他們應如何選擇各自的路徑.解 (1)共調(diào)查了100人,其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44(人),用頻率估計概率,可得所求概率為0.44.(2)選擇L1的有60人,選擇L2的有40人,故由調(diào)查結(jié)果得頻率分布如下表:所用時間(分鐘)10202030304040505060L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1(3)記事件A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時,在40分鐘內(nèi)趕到火車站;記事件B1,B2分別表示

15、乙選擇L1和L2時,在50分鐘內(nèi)趕到火車站.用頻率估計概率及由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)P(A2),故甲應選擇L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)P(B1),故乙應選擇L2.考點3互斥事件、對立事件的概率【例3】經(jīng)統(tǒng)計,在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應的概率如下:求:(1)至多2人排隊等候的概率是多少?(2)至少3人排隊等候的概率是多少?排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04解 記“0人排隊等候”為事件A,

16、“1人排隊等候”為事件B,“2人排隊等候”為事件C,“3人排隊等候”為事件D,“4人排隊等候”為事件E,“5人及5人以上排隊等候”為事件F,則事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為事件G,則G=ABC,所以P(G)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法1)記“至少3人排隊等候”為事件H,則H=DEF,所以P(H)=P(DEF)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法2)記“至少3人排隊等候”為事件H,則其對立事件為事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.解題心得 求互斥事

17、件概率的兩種方法(1)公式法:將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和,運用互斥事件的求和公式計算;(2)間接法:先求此事件的對立事件的概率,再用公式P(A)=1-P( )求出所求概率,特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法比較簡便.對點訓練3某商場有獎銷售中,購滿100元商品得1張獎券,多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位,設(shè)特等獎1個,一等獎10個,二等獎50個.設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1張獎券的中獎概率;(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.案例探究5“正難則反”思想在概率中的應用 概率

18、求解中什么樣的問題需用“正難則反”思維?一般來說,“正難則反”的思想是一種常見的數(shù)學思想,如反證法、補集的思想都是“正難則反”思想的體現(xiàn).在解決問題時,如果從問題的正面入手比較復雜或不易解決,那么嘗試采用“正難則反”思想往往會起到事半功倍的效果,大大降低題目的難度.在求對立事件的概率時,經(jīng)常應用“正難則反”的思想,即若事件A與事件B互為對立事件,在求P(A)時,利用公式P(A)=1-P(B),先求容易的一個,再求另一個.【例】已知射手甲射擊一次,命中9環(huán)(含9環(huán))以上的概率為0.56,命中8環(huán)的概率為0.22,命中7環(huán)的概率為0.12.(1)求甲射擊一次,命中不足8環(huán)的概率;(2)求甲射擊一次,至少命中7環(huán)的概率.解記“甲射擊一次,命中7環(huán)以下”為事件A,則P(A)=1-0.56-0.22-0.12=0.1,“甲射擊一次,命中7環(huán)”為事件B,則P(B)=0.12,由于在一次射擊中,A與B不可能同時發(fā)生,故A與B是互斥事件,(1)“甲射擊一次,命中不足8環(huán)”的事件為A+B,由互斥事件的概率加法公式,P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.12=0.22.答:甲射擊一次,命中不足8環(huán)的概率是0.22.(2)方法1:記“甲射擊一次,命中8環(huán)”為事件C,“甲射擊一次,命中9環(huán)(含9環(huán))以上”為事件D,則“甲射擊一次,至少命中7環(huán)”