控制工程基礎(chǔ)教案第五章

1、控制工程基礎(chǔ)教案第五章控制工程基礎(chǔ)教案第五章控制工程基礎(chǔ)教案第五章控制工程基礎(chǔ) 教 案 年至 年 第 學(xué)期 第 周 星期 課題名稱（含教材章節(jié)）： 第五章 頻域分析法 教學(xué)目的和要求：1、熟悉頻率特性的基本概念； 2、掌握典型環(huán)節(jié)的頻域特性； 3、掌握控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制； 4、了解穩(wěn)定判據(jù)及穩(wěn)定裕度的概念。 教學(xué)重點：頻域特性的概念，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制，頻域法分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 教學(xué)難點：頻域法分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 教 學(xué) 內(nèi) 容 （ 要 點 ）1. 頻率特性；2. 典型環(huán)節(jié)的頻域特性；3. 控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制方法；4. 穩(wěn)定判據(jù)及穩(wěn)定裕度。X X X X 學(xué) 院 教 案

2、 紙第五章 頻域分析法51 頻率特性的基本概念及頻率特性表示方法一、 定義 在正弦輸入信號作用下，環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的輸出穩(wěn)態(tài)分量（或稱頻域響應(yīng)）與正弦函數(shù)的復(fù)數(shù)比，稱為環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的頻域特性。引例：圖5-1 RC網(wǎng)絡(luò)電路設(shè)輸入信號uit=sint，其拉式變換為Uis=s2+2所以系統(tǒng)的輸出為Uos=GsUis=1Ts+1s2+2再進(jìn)行部分分式分解和拉氏反變換得輸出uot=T1+T22e-tT+11+T22sin(t-arctanT)式中的第一項，將隨時間增大而趨于零，為輸出的瞬態(tài)分量；而第二項正弦信號為輸出的穩(wěn)態(tài)分量，則limtuot=11+T22sin(t-arctanT)=A()sint+ 比較上

3、式，A=1/1+T22，=-arctanT，分別反映了RC電路在正弦信號作用下，輸出穩(wěn)態(tài)分量的幅值和相位的變化，稱為幅值比和相位差，且為與輸入信號同頻率的正弦函數(shù)。由于A()和均為的函數(shù)，這里取由零變化到無窮大，觀察二者的變化規(guī)律，其結(jié)果圖5-2所示。圖5-2 RC電路的頻率特性曲線以上分析表明：1. 當(dāng)電路的輸入為正弦信號時，輸出正弦函數(shù)也是一個正弦信號，頻率和輸出信號的頻率相同，但幅值和相角發(fā)生了變化。2. A()和()只與系統(tǒng)參數(shù)及輸入正弦函數(shù)的頻率有關(guān)稱為系統(tǒng)的幅頻特性；稱為系統(tǒng)的相頻特性。 3. 頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系4A()和()都是的函數(shù)，都可以用圖像表示出來。二、 頻率特性表

4、達(dá)方法1、幅相頻率特性代數(shù)形式指數(shù)形式幅相特性表示法圖5-3幅相特性表示法圖5-4極坐標(biāo)圖表示法極坐標(biāo)圖形式在復(fù)平面，把頻率特性的模和角同時表示出來的圖就是極坐標(biāo)圖?？匆粋€慣性環(huán)節(jié)的頻率特性 可以證明它的圖像是一個半圓（5）對數(shù)頻率特性橫坐標(biāo)為軸，以對數(shù)刻度表示之，十倍頻程縱坐標(biāo)為貝爾lg（分貝20 lg）圖5-5對數(shù)坐標(biāo)圖的橫坐標(biāo)數(shù)幅頻特性繪在以10為底的半對數(shù)坐標(biāo)中，幅值的對數(shù)值用分貝（dB）表示畫慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性。采用對數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點主要在于：（1）由于頻率坐標(biāo)按照對數(shù)分度，故可合理利用紙張，以有限的紙張空間表示很寬的頻率范圍。（2）由于幅值采用分貝作單位，可以將串聯(lián)環(huán)節(jié)幅值的相乘

5、、除，化為幅值的相加、減，使得計算和作圖過程簡化。（3）提供了繪制近似對數(shù)幅頻曲線的簡便方法。幅頻特性往往用直線做出對數(shù)幅頻特性曲線的近似線，系統(tǒng)的幅頻特性用組成該系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的幅頻特性折線疊加使得作圖非常方便。（4）因為在實際系統(tǒng)中，低頻特性最為重要，所以通過對頻率采用對數(shù)尺度，以擴(kuò)展低頻范圍是很有利的。（5）當(dāng)頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)以伯德圖的形式表示時，可以容易地通過實驗確定傳遞函數(shù)。52 典型環(huán)節(jié)極坐標(biāo)與伯德圖一、比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性、相頻特性 ， 實頻特性、虛頻特性 ,圖5-6 比例環(huán)節(jié) 二、積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性、相頻特性 ， 實頻特性、虛頻特性 ,圖5-7

6、 積分環(huán)節(jié)三、微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性、相頻特性 ， 實頻特性、虛頻特性 ,圖5-8 微分環(huán)節(jié)四、慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性、相頻特性 ， 實頻特性、虛頻特性 ,圖5-9 一階慣性環(huán)節(jié)五、一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性、相頻特性 ， 實頻特性、虛頻特性 ,圖5-10一階微分環(huán)節(jié)六、二階振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性、相頻特性 ， 實頻特性、虛頻特性 ,圖5-11二階振蕩環(huán)節(jié)七、二階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性、相頻特性 ， 圖5-12 二階微分環(huán)節(jié)八、延遲環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性、相頻特性 ，圖5-13延遲環(huán)節(jié)5.3

7、開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的繪制一、開環(huán)幅相頻率特性的繪制繪制原則：1. 起點圖5-14開環(huán)起點2. 終點 ，n=m,A=Ki=1mTij=1nTj,=0一般情況： nm,A()=0,()=(m-n)90=-(n-m)90 圖5-15開環(huán)終點3.極坐標(biāo)（乃圖）與直角坐標(biāo)橫縱軸交點 方法一： 方法二： 與負(fù)實軸的交點：由確定 與正實軸的交點：由確定 與負(fù)虛軸的交點：由確定與正虛軸的交點：由確定4.曲線凹凸點與傳遞函數(shù)的分子中的時間常數(shù)有關(guān)。 如果在傳遞函數(shù)的分子中沒有時間常數(shù)，則當(dāng)由0增大到過程中，特性的相位角連續(xù)減小，特性平滑地變化。如果在分子中有時間常數(shù)，則視這些時間常數(shù)的數(shù)值大小不同，特性的相位角可

8、能不是以同一方向連續(xù)地變化，這時，特性可能出現(xiàn)凹部。 例1已知G(s)=Ks(Ts+1)，試?yán)L制其奈氏圖解： G(j)=Kj(1+jT) |G(j)|=K1+T22 G(j)=-90-arctgT =0 |G(j)|= G(j)=-90 = |G(j)|=0 G(j)=-180 G(j)= -KT1+T22-j K(1+T22) U()=ReG(j)=- KT1+T22 V()=ImG(j)= -k(1+T22) lim0U()=-kT lim0V()=0 Re-(kT,j0)Im0圖5-15奈氏圖二、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的Bode圖的繪制Gx(s)=G1(s)G2(s)Gn(s)Gx(j)=G1

9、(j)G2(j)Gn(j)A()ej()=A1()ej1()A2()ej2()An()ejn()式中A()=A1()A2()An()基本繪制步驟：1) 確定交接頻率標(biāo)在角頻率軸上。2) 在1處，量出幅值20lgK，其中K為系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)。 3) 通過A點作一條-20NdB/dec的直線，其中N為系統(tǒng)的串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，直到第一個交接頻率。如果，則低頻漸進(jìn)線的延長線經(jīng)過A點。 4) 以后每遇到一個交接頻率，就改變一次漸進(jìn)線斜率。 每當(dāng)遇到一階慣性環(huán)節(jié)的交接頻率時，漸進(jìn)線斜率增加-20dB/十倍頻；每當(dāng)遇到二階震蕩環(huán)節(jié)的交接頻率時，漸進(jìn)線斜率增加+20dB/十倍頻；每當(dāng)遇到微分環(huán)節(jié)的交接頻率時

10、，漸進(jìn)線斜率增加-40dB/十倍頻。5) 繪出用漸進(jìn)線表示的對數(shù)幅頻特性以后，如果需要，可以進(jìn)行修正。通常只需在交接頻率出以及交接頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。 對于一階項，在交接頻率處的修正值為3dB；在交接頻率的二倍頻和1/2倍頻處的修正值為1dB。對于二階項，在交接頻率處的修正值可由公式求出。 例題：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制系統(tǒng)的伯德圖。解：系統(tǒng)由比例環(huán)節(jié)和兩個慣性環(huán)節(jié)組成，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為對數(shù)幅頻特性為對數(shù)相頻特性為兩個轉(zhuǎn)折頻率從小到大依次為畫出該系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸近曲線和相頻曲線，如圖5.30所示。圖5-16伯德圖5.4 頻域穩(wěn)定判據(jù)由前述內(nèi)容可知，閉環(huán)控制

11、系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，閉環(huán)特征方程式的根全部具有負(fù)實部，或者說，系統(tǒng)閉環(huán)極點全部在s平面的左半面。第三章中介紹的勞斯穩(wěn)定判據(jù)和胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)，是利用閉環(huán)特征方程的系數(shù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其缺點是用它很難判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定度，也很難知道系統(tǒng)各參數(shù)對穩(wěn)定性的影響。頻域穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，本質(zhì)上是一種圖解分析方法，它是利用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來獲得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的，所以它在工程應(yīng)用上非常方便和直觀。利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，不但可以判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定（絕對穩(wěn)定性），也可以確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對穩(wěn)定性），還可以用于分析系統(tǒng)的動態(tài)性能以及指出改善系統(tǒng)性能指標(biāo)的途徑。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)基

12、礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)中的幅角定理。幅角定理設(shè)有一復(fù)變函數(shù)在平面上除有限個孤立奇異點外是單值連續(xù)正則函數(shù)，則對于平面上的每一個點，在平面上必有一相應(yīng)的映射點與之對應(yīng)。若在平面上任意選定一條封閉曲線，只要此曲線不經(jīng)過的孤立奇異點，則曲線通過映射到平面上也是一條連續(xù)封閉曲線，如圖。圖5-17 平面與平面的映射關(guān)系幅角定理 設(shè)平面上不通過任一奇異點的某一封閉曲線，包圍了在平面上的個零點和個極點，則當(dāng)復(fù)變量以順時針方向沿封閉曲線環(huán)繞一周時，映射到平面上的曲線也將以順時針方向圍繞原點轉(zhuǎn)圈。 若，映射曲線將順時針圍繞原點轉(zhuǎn)圈；若，映射曲線將逆時針圍繞原點轉(zhuǎn)圈；若，映射曲線將不包圍坐標(biāo)原點。奈奎斯特(Nyquist)

13、穩(wěn)定判據(jù)對于如下圖所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為圖5-18 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 由上兩式可見，和分別為閉環(huán)和開環(huán)傳遞函數(shù)的特征多項式?，F(xiàn)構(gòu)造輔助函數(shù) 的零點即為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點，的極點即為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，且的零點和極點個數(shù)相同。由前述內(nèi)容可知，控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，閉環(huán)特征根即的零點都應(yīng)位于平面的左半面。為了檢驗有無零點位于平面的右半平面，可選擇一條包圍整個右半平面的順時針方向封閉曲線，稱為奈奎斯特曲線(奈氏曲線)，如圖5-19所示。若平面的原點處沒有的極點時，奈氏曲線由兩部分組成，其中為到的整個虛軸，為半徑為的右半圓，如圖5-19(a)所示。若平面的

14、原點處有的極點時，由于幅角定理規(guī)定在平面的曲線不能通過函數(shù)的任何極點，需在原點處構(gòu)造一個以平面原點為圓心、以無窮小為半徑的右半圓，如圖5-19(b)所示。由于右半圓的半徑為無窮小，修正后的奈氏曲線不影響包圍整個右半平面的要求。 (a) (b)圖5-19 奈奎斯特路徑設(shè)在右半平面有個零點和個極點，根據(jù)幅角定理，當(dāng)沿平面上的奈氏曲線順時針環(huán)繞一周時，在平面上的映射曲線將以順時針方向圍繞原點轉(zhuǎn)圈。進(jìn)一步，由前式可得，可見將平面的虛軸向右平移一個單位，可得復(fù)平面平面。所以，平面的坐標(biāo)原點就是平面的點，映射曲線包圍原點的圈數(shù)就等于平面上映射曲線包圍的圈數(shù)。奈氏曲線的虛軸部分經(jīng)過開環(huán)傳遞函數(shù)的映射，得到系

15、統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線。而奈氏曲線的半圓部分半徑為無窮大，因此經(jīng)過映射后的曲線取決于開環(huán)傳遞函數(shù)分子和分母的階次。由于實際物理系統(tǒng)分母階次是不小于分子階次的，因此，平面上半圓部分映射到平面上為實軸上的一點或原點，這對于映射曲線對點的包圍情況無影響。如果在平面原點處有的極點，設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)沿著無窮小半徑右半圓移動時，即，映射到平面上的Nyquist軌跡為 因此，當(dāng)沿平面上的曲線從變化到時，角從-p/2變到p/2，映射到平面上的Nyquist軌跡將沿?zé)o窮大半徑按順時鐘方向從經(jīng)過0變化到。綜上所示，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可描述如下：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有個極點，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是當(dāng)變化到

16、時，系統(tǒng)開環(huán)奈氏曲線逆時針包圍點的圈數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的極點數(shù)。如果開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)開環(huán)奈氏曲線不包圍點。如果，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且不穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點數(shù)為為了簡單起見，通常只繪制出曲線的正半部分，即只畫出從0變化到時的開環(huán)幅相頻率特性曲線，此時，奈氏判據(jù)的表達(dá)式可改為 顯然，只有當(dāng)時，閉環(huán)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。某閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：該系統(tǒng)的奈氏曲線如圖5-20所示。當(dāng)參數(shù)，和為任何正值時， ，在右半平面的極點數(shù)為0。奈氏曲線繞點的圈數(shù)，則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個數(shù)為 。故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。作為對比，易得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞

17、函數(shù)為，由勞斯判據(jù)可知閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖5-20 奈氏曲線圖已知某閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為( , )試分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：該系統(tǒng)的奈氏曲線如圖5-21所示，圖中虛線為增補(bǔ)段。該系統(tǒng)在坐標(biāo)原點處有一個極點，為I型系統(tǒng)。當(dāng)沿曲線從變化到時，在平面上的映射曲線將沿?zé)o窮大半徑按順時鐘方向轉(zhuǎn)過。由圖可見，奈氏曲線繞點的圈數(shù)，且系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面無極點，則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的個數(shù)為 。故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖5-21奈氏曲線圖試判別圖5-22所示奈氏曲線哪些是穩(wěn)定的？哪些是不穩(wěn)定的？ (a) (b) (c) (d)圖5-22 奈氏曲線圖解： (a)、(d)兩個系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線不包圍點，且

18、已知兩個系統(tǒng)的右半平面的極點數(shù)為0，故由奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可知，系統(tǒng)穩(wěn)定。 圖 (b)所示系統(tǒng)中，故由奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可知，系統(tǒng)不穩(wěn)定。圖c)所示系統(tǒng)中，故由奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可知，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 對數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是利用開環(huán)頻率特性的奈氏圖來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的。由于奈氏圖上的單位圓和負(fù)實軸分別與對數(shù)坐標(biāo)圖上的0dB線和線對應(yīng)，所以可把系統(tǒng)開環(huán)奈氏圖代之以對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線，即用系統(tǒng)開環(huán)的Bode圖來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其關(guān)鍵是如何確定包圍點的圈數(shù)。在系統(tǒng)奈氏圖中，如果開環(huán)幅相特性曲線在點以左穿過負(fù)實軸，則稱為穿越。若沿頻率增大的方向，奈氏曲線按相位增加方向自上而下穿過

19、點以左的實軸，稱為正穿越；反之，沿頻率增大的方向，奈氏曲線按相位減小方向自下而上穿過點以左的實軸，稱為負(fù)穿越，如圖5.39所示。若沿頻率增大的方向，開環(huán)奈氏曲線自點以左的負(fù)實軸開始向下(上)離開，或從負(fù)實軸上 (下)趨近到點以左的負(fù)實軸某點，則成為半次正(負(fù))穿越。對應(yīng)于Bode圖上，在的頻段范圍內(nèi)，沿頻率增大的方向，對數(shù)相頻特性曲線按相角增加方向自下而上穿過線，稱為正穿越；反之，沿頻率增大的方向，對數(shù)相頻特性曲線按相角減小方向自上而下穿過線，稱為負(fù)穿越。在的頻段范圍內(nèi)，若對數(shù)相頻特性曲線沿增大方向自線開始向上(下)離開，或從下(上)趨近到線，則成為半次正(負(fù))穿越。 圖5-23 奈氏圖與Bode圖的對應(yīng)關(guān)系若記正穿越和負(fù)穿越次數(shù)分別為和，根據(jù)上述對應(yīng)關(guān)系，對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)可表述如下：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有個極點，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是當(dāng)變化到時，在的頻段范圍內(nèi)，相頻特性曲線在線上正負(fù)穿越次數(shù)之差等于。若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即，相頻特性曲線不穿越線或正負(fù)穿越次數(shù)之差等于0 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。相對穩(wěn)定性控制系統(tǒng)穩(wěn)定與否是絕對穩(wěn)定性的概念。在設(shè)計一個控制系統(tǒng)時，不僅要求系統(tǒng)是絕對穩(wěn)定的，還要求系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)定裕度，即具備適當(dāng)?shù)南鄬Ψ€(wěn)定性，相對穩(wěn)定性