高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（學(xué)生版）：4.1三角函數(shù)17

1、第四章 三角函數(shù)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖角的概念任意角的三角函數(shù)的定義同角三角函數(shù)的關(guān)系三角函數(shù)弧度制弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式三角函數(shù)線(xiàn)同角三角函數(shù)的關(guān)系誘導(dǎo)公式和角、差角公式二倍角公式公式的變形、逆用、“1”的替換化簡(jiǎn)、求值、證明（恒等變形）三角函數(shù)的 圖 象定義域奇偶性單調(diào)性周期性最值 對(duì)稱(chēng)軸（正切函數(shù)除外）經(jīng)過(guò)函數(shù)圖象的最高（或低）點(diǎn)且垂直x軸的直線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)中心是正余弦函數(shù)圖象的零點(diǎn)，正切函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為( eq f(k,2)，0)（kZ）.正弦函數(shù)ysin x=余弦函數(shù)ycos x正切函數(shù)ytan xyAsin(x)b圖象可由正弦曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)平移、伸縮得到，但要注意先平移后伸縮與先伸縮后平移不同；圖象也

2、可以用五點(diǎn)作圖法；用整體代換求單調(diào)區(qū)間（注意的符號(hào)）；最小正周期T eq f(2,| |)；對(duì)稱(chēng)軸x eq f(2k1)2,2)，對(duì)稱(chēng)中心為( eq f(k,)，b)（kZ）.值域圖象對(duì)稱(chēng)性解三角形余弦定理面積正弦定理仰角、俯角、方位角實(shí)際應(yīng)用S eq f(1,2)ah eq f(1,2)absinC eq r(p(pa)(pb)(pc)（其中p eq f(abc,2)）解的個(gè)數(shù)的討論三角形形狀的判定第一節(jié) 三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式考綱解讀了解任意角弧度制的概念，能正確進(jìn)行弧度與角度的互化理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義能利用單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)推導(dǎo)出的正弦、余弦、

3、正切的誘導(dǎo)公式 ，會(huì)用三角函數(shù)線(xiàn)解決相關(guān)問(wèn)題熟練運(yùn)用同角三角函數(shù)函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和簡(jiǎn)單恒等式的證明命題趨勢(shì)探究1一般以選擇題或填空題的形式進(jìn)行考查2角的概念考查多結(jié)合函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)3利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值是重要考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)精講一、基本概念（1）任意角角（弧度）（2）角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，就叫做第幾象限角，終邊在坐標(biāo)軸上的角不是象限角，稱(chēng)之坐標(biāo)角（或象限界角、軸線(xiàn)角等）（3）弧度制度：半徑為的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為，則（弧度或rad）（4）與角（弧度）終邊相同的角的集合為，其意義在于的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)整數(shù)圈，終邊位置

4、不變注：弧度或rad可省略（5）兩制互化：一周角=（弧度），即1（弧度）故在進(jìn)行兩制互化時(shí)，只需記憶，兩個(gè)換算單位即可：如：；（6）弧長(zhǎng)公式：，扇形面積公式：注：關(guān)于扇形面積公式的記憶,可以采用類(lèi)似三角形面積公式的方法，把扇形的弧長(zhǎng)類(lèi)比成三角形的底，半徑類(lèi)比成三角形的高，則有，如圖4-1所示 圖 4-1二、任意角的三角函數(shù)1定義已知角終邊上的任一點(diǎn)（非原點(diǎn)O），則P到原點(diǎn)O的距離此定義是解直三角形內(nèi)銳角三角函數(shù)的推廣類(lèi)比，對(duì)，鄰，斜，如圖4-2所示（斜）（對(duì)）圖 4-2（鄰）2單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)以為第二象限角為例角的終邊交單位圓于P，PM垂直軸于M， 的終邊或其反向延長(zhǎng)線(xiàn)交單位圓切線(xiàn)AT于T

5、，如圖4-3所示，由于取為第二象限角，=MP0, =OM0, =AT0圖4-33三角函數(shù)象限符號(hào)與單調(diào)性在單位圓中，則：（1），即終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為的正弦值如圖4-4（a）所示，的特征為：（2），即終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為的余弦值如圖4-4（b）所示，的特征為：（3）如圖4-4（c）所示，的特征為：三、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系：商數(shù)關(guān)系：減減增增+ + -010-1（a）減減增增 + + 10-10（b）增增增增 + -00（c）圖 4-42 誘導(dǎo)公式（1）（2）奇偶性（3）奇變偶不變，符號(hào)看象限，說(shuō)明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一

6、寫(xiě)作；（2）無(wú)論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可 例如（1）,因?yàn)椋?，即，?），因?yàn)?，所以，即，?jiǎn)而言之即“奇變偶不變，符號(hào)看象限”題型歸納及思路提示題型53 終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別思路提示終邊相同的角的集合的表示與識(shí)別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角例41終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合為（ ）A B C D 評(píng)注 終邊在軸的

7、角的集合，公差為，取初始角；終邊在軸的角的集合，公差為，取初始角例42 請(qǐng)表示終邊落在圖4-5中陰影部分的角的集合分析 本題是關(guān)于區(qū)域角的表示問(wèn)題，需要借助終邊相同角的集合表示知識(shí)求解，只需要把握區(qū)域角初始角的范圍和終邊相同角的集合的公差的大小即可順利求解(a) (b) (c) (d) 圖 4-5評(píng)注 任一角與其終邊相同的角，都可以表示成與整數(shù)個(gè)周角的和，正確理解終邊相同的角的集合中元素組成等差數(shù)列，公差為，即集合的周期概念，是解決本題的關(guān)鍵變式1設(shè)集合Meq blcrc (avs4alco1(xblc|rc(avs4alco1(xf(k,2)18045，kZ)，Neq blcrc(avs4a

8、lco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(k,4)18045，kZ)，那么()AMN B NMCMN DMN例43 下列命題中正確的是（ ）第一象限角是銳角第二象限角是鈍角，是第一、二象限角，是第四象限角，也叫負(fù)銳角題型54 等分角的象限問(wèn)題思路提示 先從的范圍出發(fā)，利用不等式性質(zhì)，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）的象限分布圖示例44 是第二象限角，是第 象限角評(píng)注 對(duì)于是第幾象限角的問(wèn)題，做選填題以記住圖示最為便捷，解法三是一種只要答案的特值方法；解法一能準(zhǔn)確找出的分布對(duì)于是第幾象限角可使用象限分布圖示的規(guī)律，如圖4-8所示，那么對(duì)于“是第幾象限角”的象限分布圖示規(guī)律是什么？

9、只需要把第一個(gè)象限平均分成部分，并從軸正向起，逆時(shí)針依次標(biāo)注1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，則數(shù)字（終邊所在象限）所在象限即為終邊所在象限例如：的象限分布圖示如圖4-8所示，若為第一象限角，則為第一、二、三象限角變式1 若是第二象限角，則是第 象限角；若是第二象限角，則的取值范圍是 題型55 弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算思路提示熟記弧長(zhǎng)公式：l|r，扇形面積公式：S扇形eq f(1,2)lreq f(1,2)|r2（弧度制）掌握簡(jiǎn)單三角形，特別是直角三角形的解法例45 有一周長(zhǎng)為4的扇形，求該扇形面積的最大值和相應(yīng)圓心角的大小變式1 扇形OAB的圓心角OAB=1（弧度），則=（）A

10、 B C D 2變式2 扇形OAB，其圓心角OAB=，其面積與其內(nèi)切圓面積之比為 題型56 三角函數(shù)定義題思路提示任意角的正弦、余弦、正切的定義；誘導(dǎo)公式；理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系例46 角終邊上一點(diǎn)，則=（ ）A B C 5 D5+變式1 已知角終邊上一點(diǎn)，則=（ ）A2 B-2 C2 D 變式2 已知角終邊上一點(diǎn)，則= 變式3 已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線(xiàn)上，則=（ ）A B C D 題型57 三角函數(shù)線(xiàn)及其應(yīng)用思路提示正確作出單位圓中正弦、余弦、正切的三角函數(shù)線(xiàn)利用三角函數(shù)線(xiàn)證明三角公式例47 證明（1）（2）（3）評(píng)注 用單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)證明誘導(dǎo)

11、公式是新課標(biāo)的要求，必須掌握，重點(diǎn)在在（1）證明中易得，相除得，在（2）證明 中易得，相除得角與的終邊關(guān)于終邊（即軸）對(duì)稱(chēng)，角與的終邊關(guān)于終邊所在的直線(xiàn)軸對(duì)稱(chēng)一般地，角,的終邊關(guān)于終邊所在直線(xiàn)軸對(duì)稱(chēng)二利用三角函數(shù)線(xiàn)比較大小例48 ，比較的大小變式1 求證：（1）當(dāng)角的終邊靠近軸時(shí)，及；（2）當(dāng)角的終邊靠近軸時(shí)，及；變式2 （1）為任意角，求證：；（2），比較的大小變式3 比較大?。?）（2）（3）變式4 ，則（）A B C D 三、利用三角函數(shù)線(xiàn)求解特殊三角方程例49 利用單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)求解下列三角方程：（1）；（2）；（3）評(píng)注（1） ，；（2）當(dāng)時(shí)，方程在有兩解四、利用三角函數(shù)線(xiàn)求解

12、特殊三角不等式例410利用單位圓，求使下列不等式成立 的角的集合（1）；（2）；（3）分析 這是一些較簡(jiǎn)單的三角函數(shù)不等式，在單位圓中，利用三角函數(shù)線(xiàn)作出滿(mǎn)足不等式的角所在的區(qū)域，由此寫(xiě)出不等式的解集評(píng)注 解簡(jiǎn)單的三角不等式，可借助于單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)，先在內(nèi)找出符合條件的角，再利用終邊相同的角的表達(dá)式寫(xiě)出符合條件的所有角的集合，借助關(guān)于單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)，還可以比較三角函數(shù)值的大小例411利用單位圓解下列三角不等式：（1）；（2）；（3）；（4）若，則則（）A B C D 評(píng)注 三角函數(shù)線(xiàn)的應(yīng)用(1)證明 三角公式；(2)比較大??；(3)解三角方程；(4)求解三角不等式變式1 已知函數(shù),

13、則的取值范圍（）A B C D 題型58 象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值思路提示正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負(fù)；余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負(fù)；正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負(fù)例412（1）若，則的取值范圍是 ；（2）= ；變式1 是為第一、二象限的（ ）A充分而不必要條件 B 必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件變式2 ，,是第 象限角，是第 象限角變式3 若，則的取值范圍是 變式4 已知，則是第（ ）象限角A一或三 B 二或三 C三或四 D一或四變式5 若為第二象限角，則的符號(hào)為 變式6 若點(diǎn)在第三象限，則角的終邊在第 象限角

14、變式7 函數(shù)的值域?yàn)?題型59 同角求值-條件中出現(xiàn)的角和結(jié)論中出現(xiàn)的角是相同的思路提示若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號(hào)，再利用三角形三角函數(shù)定義求未知三角函數(shù)值若無(wú)象限條件，一般“弦化切”例413 （1）已知，= , = （2）已知=2，1 ,= , = 2 = ,3 ,（3）已知，1 = ；2 評(píng)注 本題給出同角求值的幾種基本題型（1）及（2）中的1體現(xiàn)了有象限條件的任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的本質(zhì)聯(lián)系（只多了一個(gè)象限符號(hào)）；（2）中的2體現(xiàn)了無(wú)象限條件弦化切的解題策略（3）中無(wú)象限條件，表示函數(shù)在處取得極小值，導(dǎo)數(shù)，故有更簡(jiǎn)便做法： 如已知，則= 答案為-1，與本題（3）同

15、理可解變式1 若=2，則=（ ）A B3 C D-3變式2 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則= ；例414 已知時(shí)，則=（ ）A B C D- 變式1 已知，則=（ ）A B C D 變式2 已知，則=（ ）A B C D 題型60 誘導(dǎo)求值與變形思路提示（1）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與整數(shù)倍角的和差問(wèn)題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)（2）通過(guò)等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)（3）等可利用誘導(dǎo)公式把的三角函數(shù)化例415 求下列各式的值（1）； （2）； （3）評(píng)注 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)或求值，可以參照口決“負(fù)角化正角，大角化小角，化為銳角，再計(jì)算比較”變式1 若

16、，且，則= ；變式2 若，則=（ ）A B C D 變式3 若,則tan 100的值為（ ）A B C D變式4 coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)eq f(1,3)，則sineq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)()A.eq f(1,3) B.eq f(2r(2),3) C.eq f(1,3) D.eq f(2r(2),3) 最有效訓(xùn)練題17（限時(shí)45分鐘）1 的值為（ ）A B C D 2已知點(diǎn)落在角的終邊上，且，則的值為（ ）A B C D 3若角的終邊落在直線(xiàn)上，則（ ）A 2 B C 1 D 04coseq blc(rc)(avs4alco

17、1(f(,12)eq f(1,3)，則sineq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)()A.eq f(1,3) B.eq f(2r(2),3) C.eq f(1,3) D.eq f(2r(2),3)5已知，對(duì)于任意角均成立若，則=（ ）A B C D 6已知，則=（ ）A B C D 7已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的正半軸，若是角終邊上一點(diǎn)，且，則= 8已知是第四象限角，且sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(3,5)，則taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)_9如圖4-23所示，已知正方形的邊長(zhǎng)為1，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，然后以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交的延長(zhǎng)