三種統(tǒng)計(jì)的微觀狀態(tài)數(shù)同一個(gè)分布對(duì)于玻耳茲曼系統(tǒng)課件

1、3.3 系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述一. 全同粒子與近獨(dú)立粒子1）全同粒子2）近獨(dú)立粒子（弱相互作用） 全同粒子是可以分辨的（因?yàn)榻?jīng)典粒子的運(yùn)動(dòng)是軌道運(yùn)動(dòng)，原則上是可以被跟蹤的）。如果在含有多個(gè)全同粒子的系統(tǒng)中，將兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)加以交換，交換前后，系統(tǒng)的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不同的。二. 經(jīng)典物理中系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述1）可分辨 （可跟蹤的經(jīng)典軌道運(yùn)動(dòng)）2）描述方式： 單個(gè)粒子的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由 個(gè)坐標(biāo)和 個(gè)動(dòng)量來(lái)描述，當(dāng)組成系統(tǒng)的 個(gè)粒子在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都確定時(shí)，也就確定了整個(gè)系統(tǒng)的在該時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。因此確定系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需要這 個(gè)變量來(lái)確定。用 空間中N個(gè)點(diǎn)描述 一個(gè)粒子在某時(shí)刻的力學(xué)運(yùn)

2、動(dòng)狀態(tài)可以在空間中用一個(gè)點(diǎn)表示，由N個(gè)全同粒子組成的系統(tǒng)在某時(shí)刻的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以在空間中用N個(gè)點(diǎn)表示，那么如果交換兩個(gè)代表點(diǎn)在空間的位置，相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是不同的。3）玻色子與費(fèi)米子b)玻色子：自旋量子數(shù)為整數(shù)的基本粒子或 復(fù)合粒子。 如：光子、介子等。a)費(fèi)米子：自旋量子數(shù)為半整數(shù)的基本粒子或復(fù) 合粒子。如：電子、質(zhì)子、中子等。d）泡利不相容原理： 對(duì)于含有多個(gè)全同近獨(dú)立的費(fèi)米子的系統(tǒng)中，一個(gè)個(gè)體量子態(tài)最多能容納一個(gè)費(fèi)米子。 費(fèi)米子遵從泡利不相容原理，即在含有多個(gè)全同近獨(dú)立費(fèi)米子的系統(tǒng)中，占據(jù)一個(gè)個(gè)體量子態(tài)的費(fèi)米子不可能超過(guò)一個(gè)，而玻色子構(gòu)成的系統(tǒng)不受泡利不相容原理的約束。費(fèi)米子和玻色

3、子遵從不同的統(tǒng)計(jì)。4）玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng): 由可分辨的全同近獨(dú)立粒子組成，且處 在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。玻色系統(tǒng): 把由不可分辨的全同近獨(dú)立的玻色粒子組成，不受泡利不相容原理的約束，即處在同一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)稱作玻色系統(tǒng)。費(fèi)米系統(tǒng): 把由不可分辨的全同近獨(dú)立的費(fèi)米粒子組成，受泡利不相容原理的約束，即處在同一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)最多只能為1個(gè)粒子的系統(tǒng)稱作費(fèi)米系統(tǒng)。 設(shè)系統(tǒng)由兩個(gè)粒子組成，粒子的個(gè)體量子態(tài)有3個(gè)， 如果這兩個(gè)粒子分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)時(shí)，試分別討論系統(tǒng)各有那些可能的微觀狀態(tài)？量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài) 3

4、1AB2AB3AB4AB5BA6AB7BA8AB9BA對(duì)于玻耳茲曼系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài)量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)31AA2AA3AA4AA5AA6AA對(duì)于玻色系統(tǒng)，可以有6種不同的微觀狀態(tài)。量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)31AA2AA3AA對(duì)于費(fèi)米系統(tǒng)，可以有3個(gè)不同的微觀狀態(tài)。粒子類別量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)3玻耳茲曼系統(tǒng)A BA BA BABBAABBAABBA玻色系統(tǒng)A AA AA AAAAAAA費(fèi)米系統(tǒng)AAAAAA玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)的的微觀狀態(tài)數(shù) 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理學(xué) 在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)稱為經(jīng) 典統(tǒng)計(jì)物理學(xué)。 量子經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理學(xué) 在量子力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)稱為經(jīng) 典

5、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)。兩者在原理上相同，區(qū)別在于微 觀狀態(tài)的描述。宏觀狀態(tài)和微觀狀態(tài)的區(qū)別 宏觀狀態(tài)：平衡狀態(tài)下由一組參量表示，如 N、 E、V。 微觀狀態(tài)：由坐標(biāo)和動(dòng)量或一組量子數(shù)表示。 為了研究系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)，沒(méi)必要也不可能追究 微觀狀態(tài)的復(fù)雜變化，只要知道各個(gè)微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率，就可以用統(tǒng)計(jì)方法求微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值。因此，確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是統(tǒng)計(jì)物理的根本問(wèn)題。3.4 等概率原理 等概率原理： 對(duì)于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。既然這些微觀狀態(tài)都同樣滿足具有確定N、E、V 的宏觀條件，沒(méi)有理由認(rèn)為哪一個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率更大一些。這些微觀狀態(tài)應(yīng)當(dāng)是平權(quán)的。 等

6、概率原理是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的一個(gè)合理的基本假設(shè)。該原理不能從更基本的原理推出，也不能直接從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證。它的正確性在于從它推出的各種結(jié)論與客觀實(shí)際相符而得到肯定。3.5 分布與微觀狀態(tài)數(shù)一. 分布 設(shè)一個(gè)系統(tǒng)，有大量全同近獨(dú)立的粒子組成，具有確定的粒子數(shù) 、能量 和體積 .能級(jí)：簡(jiǎn)并度：粒子數(shù)：分布 必須滿足： 給定了一個(gè)分布，只能確定處在每一個(gè)能級(jí)上的粒子數(shù)，它與系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是兩個(gè)性質(zhì)不同的概念。 微觀狀態(tài)是粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或稱為量子態(tài)。它反映的是粒子運(yùn)動(dòng)特征。例如：在某一能級(jí)上，假設(shè)有3個(gè)粒子，這三個(gè)粒子是如何占據(jù)該能級(jí)的量子態(tài)，也就是它的微觀狀態(tài)。 三種統(tǒng)計(jì)的微觀狀態(tài)數(shù) 同一個(gè)分布對(duì)于玻耳茲曼系

7、統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)給出的微觀狀態(tài)數(shù)顯然是不同的，下面分別加以討論. 1. 玻耳茲曼系統(tǒng) 粒子可以分辨，若對(duì)粒子加以編號(hào)，則 個(gè)粒子占據(jù)能級(jí) 上的 個(gè)量子態(tài)時(shí)，是彼此獨(dú)立、互不關(guān)聯(lián)的。分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：得到： 2. 玻色系統(tǒng) 粒子不可分辨，每個(gè)個(gè)體量子態(tài)能容納的粒子個(gè)數(shù)不受限制。首先 個(gè)粒子占據(jù)能級(jí) 上的 個(gè)量子態(tài)有種 可能方式。將各種能級(jí)的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為： 3. 費(fèi)米系統(tǒng)： 粒子不可分辨，每一個(gè)個(gè)體量子態(tài)最多只能容納一個(gè)粒子。 個(gè)粒子占據(jù)能級(jí) 上的個(gè) 量子態(tài)，相當(dāng)于從 個(gè)量子態(tài)中挑出 個(gè)來(lái)為粒子所占據(jù)，有種可能的方

8、式 將各能級(jí)的結(jié)果相乘，就得到費(fèi)米系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為： 經(jīng)典極限條件 如果在玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)中，任一能級(jí)上的粒子數(shù)均遠(yuǎn)小于該能級(jí)的量子態(tài)數(shù)，即 （對(duì)所有能級(jí)） 稱為滿足經(jīng)典極限條件，也稱非簡(jiǎn)并性條件。經(jīng)典極 限條件表示，在所有的能級(jí)，粒子數(shù)都遠(yuǎn)小于量子態(tài)數(shù)。 此時(shí)有： 在玻色和費(fèi)米系統(tǒng)中， 個(gè)粒子占據(jù)能級(jí) 上的 個(gè)量子態(tài)時(shí)本來(lái)是存在關(guān)聯(lián)的，但在滿足 經(jīng)典極限條件的情形下，由于每個(gè)量子態(tài)上的粒 子數(shù)遠(yuǎn)小于1，粒子間的關(guān)聯(lián)可以忽略。這時(shí)， 全同性的影響只表現(xiàn)在因子 上。 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中的分布和微觀狀態(tài)數(shù) 對(duì)于經(jīng)典系統(tǒng)，由于對(duì)坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)量總存在一定的誤差，假設(shè) ，這時(shí)經(jīng)典系統(tǒng)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀

9、態(tài)不能用一個(gè)點(diǎn)表示，而必須用一個(gè)體積元表示，該體積元的大小 表示經(jīng)典系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)在 空間所占的體積，稱為經(jīng)典相格。這里 由測(cè)量精度決定，最小值為普朗克常量。 現(xiàn)將 空間劃分為許多體積元 ，以 表示運(yùn) 動(dòng)狀態(tài)處在 內(nèi)的粒子所具有的能量， 內(nèi)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)數(shù)為:這樣， 個(gè)粒子處在各 的分布可表示為能級(jí)：簡(jiǎn)并度：粒子數(shù)：體 積 元: 由于經(jīng)典粒子可以分辨，處在一個(gè)相格內(nèi)的粒子個(gè)數(shù)不受限制，所以經(jīng)典系統(tǒng)遵從玻耳茲曼系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，所以與分布 相應(yīng)的經(jīng)典系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：玻耳茲曼系統(tǒng)玻色系統(tǒng)費(fèi)米系統(tǒng)經(jīng)典系統(tǒng)微觀狀態(tài)3.6 玻耳茲曼分布 在上一講中，我們得到了與一個(gè)分布相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù),

10、而且舉例說(shuō)明了對(duì)于一個(gè)孤立系統(tǒng)的約束條件不變的條件下，即E、N、V=const, 對(duì)于不同的分布系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)是不同的?？赡艽嬖谶@樣一個(gè)分布 ,它使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)最多。 根據(jù)等幾率原理，對(duì)處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，每一個(gè)可能的微觀狀態(tài)數(shù)的幾率是相等的。因此，微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的幾率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。下面推導(dǎo)玻耳茲曼系統(tǒng)（定域系統(tǒng)）粒子的最概然分布玻耳茲曼分布。三種分布的推導(dǎo)斯特令（Stirling）公式： 當(dāng)足夠大時(shí),第二項(xiàng)與第一項(xiàng)相比可以忽略.這時(shí)玻耳茲曼分布兩邊取對(duì)數(shù)得：對(duì)若假設(shè)N1，al1 ， l1,可得到：兩邊關(guān)于 求變分，但這些 不完全是獨(dú)立的，必須滿足約束

11、條件：則必須滿足： 求在此約束條件下的最大值: 則有：即， 考慮使用拉格朗日乘數(shù)法， 取未定因子為a和分別乘以前面約束條件兩式，有 玻耳茲曼分布也可表示為處在能量為 的量子態(tài)上的平均粒子數(shù) 上式給出了玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為玻耳茲曼分布。 a和b分別由下面條件決定說(shuō)明：（1） 取極大值的條件不僅要求同時(shí)要求證明：對(duì)關(guān)于 再求變分，有所以滿足取極大值的條件。（2）一個(gè)處在宏觀平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)可能給出的微觀狀態(tài)數(shù)為各種分布對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)的總和，其中最概然分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)比其他分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)大得多，因此可以用最概然分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)來(lái)近似系統(tǒng)總的微觀狀態(tài)數(shù)。 現(xiàn)將玻耳茲曼分布

12、的微觀狀態(tài)數(shù) 與對(duì)玻耳茲曼分布有偏離 的一個(gè)分布的微觀狀態(tài)數(shù)加以比較。對(duì) 作泰勒展開， 假設(shè)對(duì)玻耳茲曼分布的相對(duì)偏離為則對(duì)于 的宏觀系統(tǒng)， 這個(gè)估計(jì)說(shuō)明，即使對(duì)最概然分布僅有極小偏離的 分布，它的微觀狀態(tài)數(shù)與最概然分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)相比也接近于零。（3）斯特令公式要求，實(shí)際情況往往不滿足。（4）以上理論可以推廣到含有多個(gè)組元的情形。經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中玻耳茲曼分布的表達(dá)式a和b分別由下面條件決定 3.7 玻色分布和費(fèi)米分布 同理可以求出玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)中粒子的最概然布。對(duì) 兩邊取對(duì)數(shù)得：若假設(shè)N1，al1 ， l1,可得到： 兩邊關(guān)于 求變分，則必須滿足：但這些 不完全是獨(dú)立的，必須滿足約束條件：

13、為求在此約束條件下的最大值，使用拉格朗日乘數(shù)法，取未定因子為a和分別乘以上面兩式，有則有：即，同理可導(dǎo)出費(fèi)米分布為 上式給出了玻色系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為玻色分布。 a和b分別由下面條件決定 玻色分布和費(fèi)米分布分布也可表示為處在能量為 的量子態(tài) 上的平均粒子數(shù)a和b分別由下面條件決定 玻耳茲曼分布： 玻色分布： 費(fèi)米分布： 3.8 三種分布的關(guān)系 如果參數(shù)a 滿足條件則玻色分布和費(fèi)米分布過(guò)渡到玻耳茲曼分布。即滿足經(jīng)典極限條件的玻色(費(fèi)米)系統(tǒng)遵從玻耳茲曼系統(tǒng)同樣的分布。由于 對(duì)所有能級(jí)等價(jià)，所以兩者均稱為經(jīng)典極限條件，或非簡(jiǎn)并性條件。經(jīng)典極限條件表示，在所有的能級(jí)，粒子數(shù)都遠(yuǎn)小于量子態(tài)數(shù)。

14、當(dāng)滿足經(jīng)典極限條件時(shí)，微觀狀態(tài)數(shù)和分布退化的規(guī)律 第四章 玻耳茲曼統(tǒng)計(jì) 普適氣體常數(shù) 、阿伏加德羅常數(shù) 和玻耳茲曼常數(shù) 之間的關(guān)系：注意：理想氣體物態(tài)方程玻耳茲曼常數(shù)k玻耳茲曼分布:其中一、 根據(jù)玻耳茲曼分布研究氣體分子質(zhì)心的平動(dòng)，導(dǎo)出氣體分子的速度分布律。在這問(wèn)題上，由量子統(tǒng)計(jì)理論和由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論得到的結(jié)果相同。以下采用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論討論。設(shè)氣體含有N個(gè)分子，體積為V,分子質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能在體積內(nèi)，在的動(dòng)量范圍內(nèi)，分子質(zhì)心分子數(shù)為4.3 麥克斯韋速度分布律平動(dòng)的狀態(tài)數(shù)為對(duì)經(jīng)典粒子，物理量是連續(xù)的，可以去掉下標(biāo)，于是 參數(shù)由總分子數(shù)決定，利用得得質(zhì)心動(dòng)量在范圍內(nèi)的分子數(shù)為如果用速度作變量，作代換或則

15、在單位體積內(nèi)，速度在范圍內(nèi)的分子數(shù)， 函數(shù)稱為麥?zhǔn)纤俣确植己瘮?shù)，滿足條件稱為麥?zhǔn)纤俣确植悸稍谒俣瓤臻g的球坐標(biāo)中，麥?zhǔn)纤俣确植悸蔀閮蛇呁瓿伤俣瓤臻g所有方向的積分，則在單位體積內(nèi)，速率在 范圍內(nèi)的分子數(shù)，稱為麥?zhǔn)纤俾史植悸煞Q為速率分布函數(shù)，滿足條件最可幾速率：使速率分布函數(shù) 取極大值的速率。對(duì) 關(guān)于 求導(dǎo)，令不符合要求，取最可幾速率得最可幾速率利用積分利用積分則平均速率方均根率則分子平均能量系統(tǒng)總內(nèi)能定容熱容量定壓熱容量定壓熱容量與定容熱容量之比 理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得很好，但沒(méi)有考慮原子內(nèi)電子的運(yùn)動(dòng)。原子內(nèi)的電子對(duì)熱容量沒(méi)有貢獻(xiàn)是經(jīng)典理論所不能解釋的，要用量子理論才能解釋。二、 理想氣體的內(nèi)能和熱容量證明： 將系統(tǒng)看作經(jīng)典系統(tǒng)，粒子總能量4.4 能量均分定理一、能量均分定理 對(duì)于處在溫度為 的平衡狀態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，粒子 能量中每一平方項(xiàng)的平均值為 。其中 均為正值 ； 與無(wú)關(guān) ( )系統(tǒng)麥?zhǔn)细怕史植荚?的 體積范