7數(shù)字信號處理課件

1、 第7章 有限沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器設(shè)計IIR DF由于吸收了AF的設(shè)計成果，所以可以簡便、有效的完成一些DF的設(shè)計。但I(xiàn)IR DF幅度特性的改善一般是以相位的非線性為代價的。相對IIR系統(tǒng)，F(xiàn)IR系統(tǒng)沒有因果穩(wěn)定問題，因?yàn)槿魏我粋€非因果的有限長序列通過一定的延時，都可以做成因果系統(tǒng)。因?yàn)閔(n)是有限時寬， FIR系統(tǒng)可以利用FFT技術(shù)。1、系統(tǒng)函數(shù)復(fù)習(xí)與FIR系統(tǒng)的有關(guān)內(nèi)容有N1個零點(diǎn)，在原點(diǎn)處有N1階極點(diǎn)。總之，F(xiàn)IR系統(tǒng)具有IIR系統(tǒng)沒有的許多特點(diǎn)，現(xiàn)在，F(xiàn)IR DF得到了越來越廣泛的應(yīng)用。頻響3、頻域取樣與插值取樣插值IDFTDFT2、有限序列的DFT就具有線性相位，只有滿足一

2、定條件的FIR 系統(tǒng)才具7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn)線性相位FIR數(shù)字濾波器也稱線性相位FIR 系統(tǒng)。線性相位FIR 系統(tǒng)廣泛應(yīng)用在數(shù)據(jù)通信、圖像信號處理等領(lǐng)域，在實(shí)際工程中具有重要意義。但并不是FIR 系統(tǒng)有線性相位。h(n) = h(N1 n)7.1.1、FIR 系統(tǒng)的線性相位條件與線性相位特性5. 3節(jié)已經(jīng)給出了滿足 線性相位FIR系統(tǒng)條件：系統(tǒng)由對(N1)/2偶或奇對稱，可以得到兩種類型的線性相單位脈沖響應(yīng)h(n)是實(shí)序列，并且對(N1)/2有對稱條件，即h(n) = h(N1 n)位?；?、h(n)對(N1)/2偶對稱h(n) = h(N1 n) 幅度函數(shù)，是實(shí)函數(shù)，

3、可有正負(fù)。 其中 相位函數(shù)，是嚴(yán)格的直線。 =H()e j() () = (N1) /2 波器具有嚴(yán)格的線性相位，群時延為(N1)/2個采樣周期，如圖7.1.1所示。 當(dāng)h(n)為實(shí)序列，且滿足h(n) = h(N1 n) ， FIR濾()(N 1)202、h(n)對(N1) /2 奇對稱h(n) = h(N1 n)幅度函數(shù)，是實(shí)函數(shù)，可有正負(fù)。 其中 相位函數(shù)是一條不過原點(diǎn)的直線，在零頻處有/2的截距。 =H()e j() () = (N1) /2 +/2 0器是具有線性相位的正交網(wǎng)絡(luò)。不僅有(N1) /2個采樣周期的延遲，而且還產(chǎn)生90的相移 ，如圖7.1.2所當(dāng)h(n)為實(shí)序列，且有h(

4、n) = h(N1 n) ， FIR濾波示。()2(N 1/2) /27.1.2、幅度函數(shù)特性FIR DF，即前面所說的四類線性相位FIR系統(tǒng)。下面討論這四類線性相位FIR系統(tǒng)的幅度特性。若h(n)是對 (N1)/2偶對稱或奇對稱的序列，又由N 為奇數(shù)或偶數(shù)，可以得到四種幅度類型的線性相位0 1 2 3 4 5 6 1、 第一類線性相位濾波器h(n) = h(N1 n)，N為奇數(shù)，如圖7.1.3所示例h(n)nN=7的情況。 和式內(nèi)，第 n 項(xiàng)與第 N1 n項(xiàng)相同，系數(shù)可以合并，另算。中間項(xiàng) h(n) = h(N1 n)這樣或取后一半： m： 1(N1)/2令：n(N1)/2= mn： (N+

5、1)/2 N1a(0) 再令m = n 其中因?yàn)?cos(n)對=0、偶對稱，所以H()對=0、 H()=H(2) 也是偶對稱，于是有2cos 2cos 0圖7.1.4cos (n)cos 30 1 2 3 4 52第二類線性相位濾波器h(n) = h(N1 n)，N為偶數(shù)，如圖7.1.5所示例N=6的情況。h(n)n這樣 分析：同1，可以兩兩合并，無單獨(dú)項(xiàng)。 或取后一半： m： 1N/2令： n (N1)/2= m 1/2n： N/2 N1因此H()在= 奇對稱，不宜做高通。 即 因?yàn)?在=時為零，且奇對稱，其中再令m = n，則H()= H(2) 2cos (5/2)cos (3/2)co

6、s (/2)cos (n-1/2) 圖7.1.6 由圖7.1.6可知這種濾波器在=處為零，所以不適合做高通濾波器。0h(n)n3 第三類線性相位濾波器h(n) = h(N1 n)，N為奇數(shù)，如圖7.1.7所示。例N=7的情況。4 5 60 1 2 3中間項(xiàng)這樣 h(n) = h(N1 n) 和式內(nèi)，第n項(xiàng)與第N1 n項(xiàng)相同，系數(shù)可以合并，或取后一半： 其中m： 1(N1)/2令：n(N1)/2= mn： (N+1)/2 N1再令m=n，則 因?yàn)閟in(n)在=0、處為零，且奇對稱；所以H()在=0、處也奇對稱。所以有H()= H(2)20sin sin2sin3sin(n)如圖7.1.8所示3

7、 4 50 1 2 h(n) = h(N1 n)，N為偶數(shù)，如圖7.1.9所示例4第四類線性相位濾波器N=6的情況。h(n)n 分析：同3，可以兩兩合并，無單獨(dú)項(xiàng)。 這樣或取后一半： m： 1N/2令： n (N1)/2= m 1/2n： N/2 N1其中sin (n-1/2) 在=0時為零，對=處偶對稱；因此H()也在=0時為零，對=處偶對稱，于是有H()= H(2)20sin(/2)sin(5/2)sin(3/2)sin (n-1/2) 如圖7.1-10所示。圖7.1.10 sin (n-1/2) 從以上對FIR系統(tǒng)幅度特性的分析可知，一旦確定了h(n) 的對稱條件以及時寬N的奇、偶條件，

8、 那么線性相位FIR系統(tǒng)的類型也就隨之確定。了解了FIR線性相位濾波器的部分頻率特性，使我們在實(shí)際設(shè)計使用數(shù)字濾波器時，可根據(jù)需要選擇合適的濾波器類型，并在設(shè)計時遵循它們的約束條件。因?yàn)榫€性相位濾波器的系統(tǒng)函數(shù)有：7.1.3、線性相位FIR系統(tǒng)的零點(diǎn)特性除了原點(diǎn)處的極點(diǎn)外，線性相位FIR系統(tǒng)只有零點(diǎn)，因此有必要討論其零點(diǎn)特性。H(z)= z(N1) H(z1)H(z)= z(N1) H(z1)或H(z)= z(N1) H(z1)所以，如果zi是H(z)的零點(diǎn) ，則也是H(z)的零點(diǎn)。綜上所述，共有三種情況的零點(diǎn)。(1) 單零點(diǎn) 又由于h(n)是實(shí)序列，所以如果H(z)有復(fù)零點(diǎn)，必為共軛成對出現(xiàn)

9、，即若 zi 是H(z)的零點(diǎn)，其共軛 也是H(z)的零點(diǎn)。zi=1對應(yīng)一階節(jié)結(jié)構(gòu)1 z 1?；騴i= 1，(2) 雙零點(diǎn) 對應(yīng)二階節(jié)結(jié)構(gòu) 1) 在實(shí)軸上 1+a z 1 +z 2 2)在單位圓上。 3、四個一組的復(fù)數(shù)零點(diǎn)，對應(yīng)的系統(tǒng)為四階節(jié)結(jié)構(gòu)a +b z 1 +cz 2 +b z 3 +az 4 H (z)=A( 1+2.05 z 1 +z 2 )解解得A=1，所以H (z)=1+2.05 z 1 +z 2系統(tǒng)的零極點(diǎn)如圖7.1.11所示 H(e j)= A(12.05 +1)=0.05例7.1-1 已知某二階線性相位FIR系統(tǒng)的一個零點(diǎn)z2 = 0.8，且H(ej)=0.05，求該系統(tǒng)的

10、系統(tǒng)函數(shù)，并畫出系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖。z3=0.5+j0.5，且H(ej0)=1，求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，1/z3=1j，例7.1.2已知某四階線性相位FIR系統(tǒng)的一個零點(diǎn)解 z3=0.5+j0.5， 并畫出系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖。H (z)=A(1 3 z 1 +4.5 z 2 3 z 3+ z 4)H(e j0)= A(13+4.53 +1)=1解得A=2，所以H (z)=2(1 3 z 1 +4.5 z 2 3 z 3+ z 4)由這三種零點(diǎn)情況可以做成基本一階節(jié)、二階節(jié)、四第二類：H()=0，所以H(z)在z= 1有單零點(diǎn)；第四種：類型H(0)=0，因此H(z)在z=1有單零點(diǎn)；第三種：H()=H(0)

11、=0，那么H(z)在z=1有單零點(diǎn)。波器。從對幅度特性的討論，我們知道四類FIR線性相位濾小結(jié)： 階節(jié)網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)。7.2 FIR 數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設(shè)計7.2.1、FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設(shè)計基本方法響應(yīng)是積分的結(jié)果一般是非因果無限時寬的IIR系統(tǒng)。希望得到的是理想濾波器頻響為Hd(e j) ，對應(yīng)的脈沖n=,1,0,1, 要做的是用一個有限時寬的h(n)去逼近hd(n)，從而使所設(shè)計的系統(tǒng)頻響H(e j)逼近Hd(ej)。01其頻響特性為Hd(ej)cc圖7.2-1是一個截止頻率為c ，時延為 的理想低通d()對應(yīng)的脈沖響應(yīng) 0因果序列。hd(n)c/+c/c/n如圖7.2-2所示 hd(n

12、)是以為中心，偶對稱無限長非h(n)。為了保證h(n)的因果性，我們?nèi)d(n)的0N1一這是一個物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。如何用一個有限長因果序列逼近它？最簡單的方法是直接截取它的一段做段，這可以由乘矩形序列RN(n)實(shí)現(xiàn)；為了保證系統(tǒng)的稱中心，則取=(N 1)/2。 線性相位，h(n)要滿足偶對稱條件， 應(yīng)該是h(n)的對所以有：h (n)= hd(n) RN(n) =(N-1)/2(7.2-1)上式所表示的h (n)與hd(n)關(guān)系，是hd(n )乘以矩形截短函數(shù)，可以認(rèn)為是通過一個矩形 “窗”看到的hd(n ) 。如果hd(n)乘以不同形式的截短函數(shù)， h (n)就是通過不同形式“窗”看到的

13、hd(n) 。這種用hd(n )乘以不同截短函數(shù)設(shè)計FIR濾波器的方法即為窗函數(shù)設(shè)計法。其中在窗函數(shù)設(shè)計中 h(n)與hd(n)的關(guān)系可記為h(n) =hd(n) w(n)w(n)是窗函數(shù)在FIR數(shù)字濾波器窗函數(shù)設(shè)計中，就是要選擇合適的窗函數(shù)w(n)，達(dá)到所需要的設(shè)計要求。(7.2-3)具有的對稱性，經(jīng)過加窗函數(shù)后的h(n)仍應(yīng)保持，所以窗函數(shù)要滿足對窗函數(shù)w(n)也有要求。 因?yàn)樵O(shè)計的是線性相位FIR濾波器，所以hd(n)原本所w(n) = w(N1n) 因?yàn)閔(n) =hd(n) w(n) H (e j)= Hd(e j) W (e j)由頻域卷積定理不難得到經(jīng)過加窗函數(shù)后的系統(tǒng)頻響為(7

14、.2-4)從 (7.2-4)式可推知，H (e j)逼近Hd(e j)的程度取決于窗函數(shù)的頻率特性。特別的，若W(e j() )= (e j() )，則H (e j)=Hd(e j) ，即當(dāng)窗函數(shù)頻譜為沖激時，無頻譜泄漏，此時H (e j)等于Hd(e j) 。 但是這意味著窗函數(shù)w(n)是無限時寬序列，等于沒有加窗。所以只要加了窗函數(shù)，總是會有頻譜泄漏存在，只是H (ej)逼近Hd(e j)程度的好壞不同。實(shí)際可以做 的是設(shè)計頻譜能量盡量集中在低頻（主瓣）的窗函數(shù)。前人在這方面已經(jīng)做了不少工作，有不同技術(shù)指標(biāo)的窗函數(shù)可供選用，只要根據(jù)具體的技術(shù)指標(biāo)要求，就可選擇不同的窗函數(shù)設(shè)計。下面先討論簡

15、單的矩形窗函數(shù)。7.2.2、矩形窗這里仍以低通為例詳細(xì)討論加矩形窗后的H (e j)與理想頻響Hd(e j)的差別，基本結(jié)論稍作修改對其它窗也適用。矩形窗函數(shù)為仍以低通為例討論。顯然w (n)= w(N1n) 加矩形窗函數(shù)后系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為加了矩形窗后的H (ej)與理想的Hd(e j)相差多少？ 旁瓣峰值衰減13dB ，第一旁瓣比峰值低13dB 。當(dāng)N主瓣高度寬度面積不變；主瓣寬度為=4/N。旁瓣高度寬度面積不變。當(dāng)N其中1、矩形窗函數(shù)的頻率特性W(e j) =(N-1)/2 WR() ()WR() N1=2N2N2=N1/24/N14/N22/N12/N2 20lgWR() 2/N12

16、/N2-132、加矩形窗函數(shù)后FIR系統(tǒng)的頻響H(e j) W(e j)= WR(e j)ej， 理想濾波器的頻響為Hd(e j)= e j 2/N，H(0)近似等于WR()的全部面積。 =0WR()=WR()cc=0若c 2/N0卷積值正好是H(0)的一半，即=c，如圖7.2-4c所示=cWR()cc0整個主瓣在積分區(qū)間內(nèi)，一個大的旁瓣在積分區(qū)間外，此時卷積值最大，響應(yīng)出現(xiàn)峰值。cWR()=c 2 /N， =c 2 /N， c 整個主瓣在積分區(qū)間外，一個大的旁瓣在積分區(qū)間內(nèi)，此時卷積值最小，響應(yīng)出現(xiàn)谷值。 =c +2/NWR()cc010的主、旁瓣在通、阻帶的面積變化而起伏。 1，則上式可改

17、寫為幅度譜如圖所示0.5WR()0.25WR(2/N)0.25WR(+2/N)2/N4/N04/NW()4/N此時幅度函數(shù)為三項(xiàng)頻譜之和，如圖7.2-6所示。由三部分頻譜的疊加，使旁瓣得到很大的抵消，使能量有效的集中在主瓣之內(nèi)。不過主瓣的寬度增加了一倍。升余弦窗的技術(shù)指標(biāo)為過渡帶=8/N（主瓣寬度）旁瓣峰值衰減31dB阻帶最小衰減44dB3、Hamming（海明）窗改進(jìn)升余弦窗若N1，則上式可改寫為與升余弦窗相比在過渡帶相同情況下，獲得了更好的改進(jìn)升余弦窗的技術(shù)指標(biāo)為過渡帶=8/N（主瓣寬度）旁瓣峰值衰減44dB阻帶最小衰減54dB旁瓣抑制及阻帶衰減。五部分疊加4、Blackman（布萊克曼）

18、窗二階升余弦窗 若N 1 阻帶最小衰減74dB過渡帶=12/N（主瓣寬度）旁瓣峰值衰減57dB窗函數(shù)旁瓣峰值衰減 過渡帶寬阻帶最小衰減矩形窗-13=4/N 21三角窗 25升余弦窗-31=8/N 44改進(jìn)升余弦窗 -41=8/N 53二階升余弦窗 -57 74表7-1 常用的幾種窗函數(shù)=8/N =12/N 其中I0(x)是零階貝塞爾函數(shù)5、Kaiser（凱塞或凱澤）窗0四個不同參數(shù)的凱澤（Kaiser）窗曲線如圖7.2-8所示。零階貝塞爾函數(shù)曲線如圖所示， I0(x)開始隨著x增長得很緩慢，隨著x的進(jìn)一步增長I0(x)將迅速增長上去。xI0(x)I0()由圖可見1）在中點(diǎn)n =(N-1)/2時，從中點(diǎn)兩邊逐漸減小。2）n=0及n=N1時，w(0)= w(N1)=1/ I0()3）越大，w(n)變化越快。越大頻譜的旁瓣越小，但主瓣寬度相應(yīng)加寬。凱澤窗曲線近似二階升余弦窗；=0，凱澤窗就是矩形很難導(dǎo)出。凱澤給出了經(jīng)驗(yàn)公式。由于貝塞爾函數(shù)的復(fù)雜性，這種窗函數(shù)的計算公式所以改變值，就可以改變主瓣