2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(全國卷Ⅲ)-試卷真題、答案及詳細解析

1、絕密 啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(全國卷,文)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.(2019全國,文1)已知集合A=-1,0,1,2,B=x|x21,則AB=() A.-1,0,1B.0,1C.-1,1D.0,1,2解析A=-1,0,1,2,B=x|-1x1,則AB=-1,0,1.故選A.答案A2.(2019全國,文2)若z(1+i)=2i,則z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i解析z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=2+2i2=1+i.故選D.答案D3.(2019全國,

2、文3)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機排成一列,則兩位女同學(xué)相鄰的概率是()A.16B.14C.13D.12解析兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)排成一列,共有24種排法.兩位女同學(xué)相鄰的排法有12種,故兩位女同學(xué)相鄰的概率是12.故選D.答案D4.(2019全國,文4)西游記三國演義水滸傳和紅樓夢是中國古典文學(xué)瑰寶,并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況,隨機調(diào)查了100位學(xué)生,其中閱讀過西游記或紅樓夢的學(xué)生共有90位,閱讀過紅樓夢的學(xué)生共有80位.閱讀過西游記且閱讀過紅樓夢的學(xué)生共有60位,則該校閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為()A.0.5B.0.6C.0.7

3、D.0.8解析由題意得,閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70,則該校閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為70100=0.7.故選C.答案C5.(2019全國,文5)函數(shù)f(x)=2sin x-sin 2x在0,2的零點個數(shù)為()A.2B.3C.4D.5解析由f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,得sin x=0或cos x=1.x0,2,x=0或x=或x=2.故f(x)在區(qū)間0,2上的零點個數(shù)是3.故選B.答案B6.(2019全國,文6)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項和為15,且a5=3a

4、3+4a1,則a3=()A.16B.8C.4D.2解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0),則a1(1-q4)1-q=15,a1q4=3a1q2+4a1,解得a1=1,q=2,所以a3=a1q2=122=4.故選C.答案C7.(2019全國,文7)已知曲線y=aex+xln x在點(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1解析y=aex+ln x+1,k=y|x=1=ae+1=2,ae=1,a=e-1.將點(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1.答案D8.(2019全國,文8)如圖,點N為正方形AB

5、CD的中心,ECD為正三角形,平面ECD平面ABCD,M是線段ED的中點,則()A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BMEN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BMEN,且直線BM,EN是異面直線解析如圖,連接BD,BE.在BDE中,N為BD的中點,M為DE的中點,BM,EN是相交直線,排除選項C、D.作EOCD于點O,連接ON.作MFOD于點F,連接BF.平面CDE平面ABCD,平面CDE平面ABCD=CD,EOCD,EO平面CDE,EO平面ABCD.同理,MF平面ABCD.MFB與EON均為直角三角形.設(shè)正方形ABCD的邊長為2,易知EO=3

6、,ON=1,MF=32,BF=22+94=52,則EN=3+1=2,BM=34+254=7,BMEN.故選B.答案B9.(2019全國,文9)執(zhí)行下邊的程序框圖,如果輸入的為0.01,則輸出s的值等于()A.2-124B.2-125C.2-126D.2-127解析x=1,s=0,s=0+1,x=120.01,s=0+1+12,x=140.01,s=0+1+12+126,x=127f(2-32)f(2-23)B.flog314f(2-23)f(2-32)C.f(2-32)f(2-23)flog314D.f(2-23)f(2-32)flog314解析f(x)是R上的偶函數(shù),flog314=f(-l

7、og34)=f(log34).又y=2x在R上單調(diào)遞增,log341=202-232-32.又f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞減,f(log34)f(2-23)f(2-23)flog314.故選C.答案C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(2019全國,文13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cos=.解析cos=ab|a|b|=2(-8)+2622+22(-8)2+62=-42210=-210.答案-21014.(2019全國,文14)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和.若a3=5,a7=13,則S10=.解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則a3=a1+2d=5,a7

8、=a1+6d=13,解得a1=1,d=2.故S10=10a1+1092d=101+10922=100.答案10015.(2019全國,文15)設(shè)F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限.若MF1F2為等腰三角形,則M的坐標為.解析a2=36,b2=20,c2=a2-b2=16,c=4.由題意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.|MF1|+|MF2|=2a=12,|MF2|=4.設(shè)點M的坐標為(x0,y0)(x00,y00),則SMF1F2=12|F1F2|y0=4y0.又SMF1F2=12482-22=415,4y0=415,解得y0=15.又點M在橢

9、圓C上,x0236+(15)220=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).點M的坐標為(3,15).答案(3,15)16.(2019全國,文16)學(xué)生到工廠勞動實踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.解析由題意得,四棱錐O-EFGH的底面積為46-41223=12(cm2),點O到平面BB1C1C的距離為3 cm,則此四棱錐的體積為V1=

10、13123=12(cm3).又長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V2=466=144(cm3),則該模型的體積為V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其質(zhì)量為0.9132=118.8(g).答案118.8三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:共60分。17.(12分)(2019全國,文17)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進行如下試驗:將200只小鼠隨機分成A,B兩組,每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠

11、給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:甲離子殘留百分比直方圖乙離子殘留百分比直方圖記C為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”,根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值;(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).解(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為20.15+30.20+40.30+50.20+

12、60.10+70.05=4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00.18.(12分)(2019全國,文18)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asinA+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC為銳角三角形,且c=1,求ABC面積的取值范圍.解(1)由題設(shè)及正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A.因為sin A0,所以sinA+C2=sin B.由A+B+C=180,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2=2sinB2cosB2.因為cosB20,故sinB2=12,

13、因此B=60.(2)由題設(shè)及(1)知ABC的面積SABC=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由于ABC為銳角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故12a2,從而38SABC32.因此,ABC面積的取值范圍是38,32.19.(12分)(2019全國,文19)圖1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連結(jié)DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求

14、圖2中的四邊形ACGD的面積.(1)證明由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG確定一個平面,從而A,C,G,D四點共面.由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因為AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)解取CG的中點M,連結(jié)EM,DM.因為ABDE,AB平面BCGE,所以DE平面BCGE,故DECG.由已知,四邊形BCGE是菱形,且EBC=60得EMCG,故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.所以四邊形ACGD的面積為4.20.(12分)(2019全國,文20)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+2.(1)討論f(x

15、)的單調(diào)性;(2)當(dāng)0a0,則當(dāng)x(-,0)a3,+時,f(x)0;當(dāng)x0,a3時,f(x)0.故f(x)在(-,0),a3,+單調(diào)遞增,在0,a3單調(diào)遞減;若a=0,f(x)在(-,+)單調(diào)遞增;若a0;當(dāng)xa3,0時,f(x)0.故f(x)在-,a3,(0,+)單調(diào)遞增,在a3,0單調(diào)遞減.(2)當(dāng)0a3時,由(1)知,f(x)在0,a3單調(diào)遞減,在a3,1單調(diào)遞增,所以f(x)在0,1的最小值為fa3=-a327+2,最大值為f(0)=2或f(1)=4-a.于是m=-a327+2,M=4-a,0a2,2,2a3.所以M-m=2-a+a327,0a2,a327,2a3.當(dāng)0a2時,可知2-

16、a+a327單調(diào)遞減,所以M-m的取值范圍是827,2.當(dāng)2a3時,a327單調(diào)遞增,所以M-m的取值范圍是827,1.綜上,M-m的取值范圍是827,2.21.(12分)(2019全國,文21)已知曲線C:y=x22,D為直線y=-12上的動點,過D作C的兩條切線,切點分別為A,B.(1)證明:直線AB過定點;(2)若以E0,52為圓心的圓與直線AB相切,且切點為線段AB的中點,求該圓的方程.(1)證明設(shè)Dt,-12,A(x1,y1),則x12=2y1.由于y=x,所以切線DA的斜率為x1,故y1+12x1-t=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.設(shè)B(x2,y2),同理可得2tx2-2y

17、2+1=0.故直線AB的方程為2tx-2y+1=0.所以直線AB過定點0,12.(2)解由(1)得直線AB的方程為y=tx+12.由y=tx+12,y=x22可得x2-2tx-1=0.于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.設(shè)M為線段AB的中點,則Mt,t2+12.由于EMAB,而EM=(t,t2-2),AB與向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=1.當(dāng)t=0時,|EM|=2,所求圓的方程為x2+y-522=4;當(dāng)t=1時,|EM|=2,所求圓的方程為x2+y-522=2.(二)選考題:共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多

18、做,則按所做的第一題計分。22.(10分)(2019全國,文22)選修44:坐標系與參數(shù)方程如圖,在極坐標系Ox中,A(2,0),B2,4,C2,34,D(2,),弧AB,BC,CD所在圓的圓心分別是(1,0),1,2,(1,),曲線M1是弧AB,曲線M2是弧BC,曲線M3是弧CD.(1)分別寫出M1,M2,M3的極坐標方程;(2)曲線M由M1,M2,M3構(gòu)成,若點P在M上,且|OP|=3,求P的極坐標.解(1)由題設(shè)可得,弧AB,BC,CD所在圓的極坐標方程分別為=2cos ,=2sin ,=-2cos .所以M1的極坐標方程為=2cos 04,M2的極坐標方程為=2sin 434,M3的極坐標方程為=-2cos 34.(2)設(shè)P(,),由題設(shè)及(1)知若04,則2cos