12年全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試卷134組

1、葡萄酒的評(píng)價(jià)摘要葡萄酒的質(zhì)量與釀酒葡萄有直接的關(guān)系，而葡萄酒質(zhì)量一般是通過評(píng)酒員進(jìn)行品評(píng)來確定的。本文我們首先對(duì)兩組評(píng)酒員的可信度進(jìn)行檢驗(yàn)，然后針對(duì)釀酒葡萄理化指標(biāo)和葡萄酒質(zhì)量的關(guān)系的問題進(jìn)行建模來進(jìn)行解答。我們首先檢驗(yàn)了兩組評(píng)酒員的可信度。根據(jù)大數(shù)定理，我們認(rèn)為兩組評(píng)酒員的對(duì) 28 瓶酒的評(píng)價(jià)的平均值即為該酒的品質(zhì)；然后利用 SPSS 軟件對(duì)兩組評(píng)酒員的結(jié)論進(jìn)行差異分析和多重比較。從而得出結(jié)論：兩組評(píng)酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果雖無顯著性差異，但A 組的總體差異值較小，因而結(jié)果更加可靠。針對(duì)釀酒葡萄的分級(jí)問題，我們認(rèn)為葡萄成分與葡萄酒質(zhì)量是線性關(guān)系；然后根據(jù)評(píng)酒員分?jǐn)?shù)將葡萄酒質(zhì)量分為A，B，C 三部分，接

2、著利用 excel 軟件對(duì)葡萄成分與葡萄酒質(zhì)量進(jìn)行相關(guān)性分析，求出相關(guān)系數(shù)；從而得出如下結(jié)論：白葡萄酒:Z=（3*X(氨基酸)+3*X(PH 值)+4*X(糖分)+2*X(汁水)+1*X(芳香物質(zhì))/1809；紅葡萄酒：Z=(7*X(蛋白質(zhì))+2*X(PH 值)+4*X(糖分)+3*X(果梗比)+8*X(醇類)+5*X(酚類)+1*X(芳香物質(zhì))+1*X(花色苷)/1855；對(duì)于葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)之間的聯(lián)系的問題，我們同樣將葡萄和葡萄酒的理化成分進(jìn)行擬合，從而得出葡萄和葡萄酒理化指標(biāo)之間的關(guān)系。綜合二，三問，我們假定葡萄和葡萄酒的理化成分和葡萄酒質(zhì)量之間符合某種函數(shù)關(guān)系；接著擬合得出它們與

3、葡萄酒質(zhì)量之間的函數(shù)關(guān)系：Z=0.4*Ai+0.6*Bi;（Ai:葡萄理化成分Bi：葡萄酒理化成分），由于誤差較大，我們可以得出結(jié)論：不能用葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)來評(píng)價(jià)葡萄酒的質(zhì)量，葡萄酒質(zhì)量還與釀造工藝和產(chǎn)地品種有關(guān)。關(guān)鍵詞：顯著性差異； 大數(shù)定理； 聚類分析； 數(shù)據(jù)擬合； 相關(guān)性分析。問題重述葡萄酒質(zhì)量一般是通過一批評(píng)酒員進(jìn)行品評(píng)后對(duì)其分類指標(biāo)打分確定的。我們一般認(rèn)為：釀酒葡萄的好壞與所釀葡萄酒的質(zhì)量有直接的關(guān)系，葡萄酒和釀酒葡萄檢測(cè)的理化指標(biāo)會(huì)在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的質(zhì)量。分析兩組評(píng)酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果有無顯著性差異，分析哪組更加可靠。根據(jù)釀酒葡萄的理化指標(biāo)和葡萄酒的質(zhì)量對(duì)這些釀酒葡萄進(jìn)

4、行分級(jí)。分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)之間的聯(lián)系。分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)和葡萄酒質(zhì)量的關(guān)系，論證能否用釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)來評(píng)價(jià)葡萄酒的質(zhì)量。問題分析經(jīng)過分析，我們將四個(gè)問題分成了三類：第一個(gè)問題屬于驗(yàn)證性問題，由于問題考慮的是兩組評(píng)酒員的整體的可信度問題，單個(gè)考慮各個(gè)評(píng)酒員的可信度顯然沒有較大的意義，因而要考慮對(duì)一個(gè)組整體平均值進(jìn)行差異分析和多重比較。第二個(gè)問題和第三個(gè)問題屬于同一類問題，即擬合問題。分別為多個(gè)自變量對(duì)單個(gè)因變量的擬合和多個(gè)自變量對(duì)多個(gè)因變量的擬合。進(jìn)行擬合后即可得出相應(yīng)的結(jié)論。第四個(gè)問題實(shí)際上是第二個(gè)問題和第三個(gè)問題的延伸，計(jì)算出釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)分別

5、在葡萄酒的質(zhì)量所占權(quán)重后進(jìn)行誤差分析。模型假設(shè)各個(gè)評(píng)酒員在評(píng)酒過程中沒有受到其他評(píng)酒員的影響，各個(gè)評(píng)酒員對(duì)酒的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)是客觀和公正的。釀酒葡萄和葡萄酒的所含有的理化成分較為穩(wěn)定，與檢測(cè)數(shù)據(jù)基本吻合。符號(hào)定義i:從 0-28 不斷增大的數(shù)值； Si：各瓶酒的分?jǐn)?shù)的平均值； D1：第一組對(duì)各瓶酒的分?jǐn)?shù)的平均值； D2：第二組對(duì)各瓶酒的分?jǐn)?shù)的平均值；M:Ai:Bi:A:B:C： P:L:K:T:W:兩組評(píng)酒員的平均值的差異；各瓶酒所用釀酒葡萄的理化指標(biāo)；各瓶葡萄酒的理化指標(biāo)；葡萄酒質(zhì)量很好；葡萄酒質(zhì)量一般；葡萄酒質(zhì)量不好；釀白葡萄酒葡萄各成分對(duì)葡萄酒的相關(guān)系數(shù)；白葡萄酒的第一組與整體之間的差異總和；

6、 白葡萄酒的第二組與整體之間的差異總和； 紅葡萄酒的第一組與整體之間的差異總和； 紅葡萄酒的第二組與整體之間的差異總和；X(物質(zhì)):Y(物質(zhì)):白葡萄酒中所含物質(zhì)；紅葡萄酒中所含物質(zhì)；Z:a:b:葡萄酒所得分?jǐn)?shù)；釀酒葡萄質(zhì)量與所釀酒質(zhì)量權(quán)值；葡萄酒理化指標(biāo)與所釀酒質(zhì)量的權(quán)值；模型的建立與求解一：分析附件 1 中兩組評(píng)酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果有無顯著性差異，分析哪組更加可靠。由于問題考慮的是兩組評(píng)酒員的整體的度問題，單個(gè)考慮各個(gè)評(píng)酒員的度顯然沒有較大的意義，因而要考慮對(duì)一個(gè)組整體平均值進(jìn)行差異分析和多重比較。根據(jù)大數(shù)定理，認(rèn)為兩組評(píng)酒員的對(duì) 28 瓶酒的評(píng)價(jià)的平均值即為該酒的品質(zhì)；進(jìn)而計(jì)算出各組對(duì)同一瓶酒

7、的評(píng)價(jià)的平均值(附錄)；接著分別計(jì)算出兩組整體對(duì) 28 瓶酒評(píng)價(jià)的平均值（附錄）。因?yàn)闃颖救萘啃∮?30，因而應(yīng)用了小樣本平均差異的顯著性檢驗(yàn)t 檢驗(yàn)。假定兩個(gè)總體平均數(shù)之間沒有顯著差異，首先評(píng)斷兩組樣本平均數(shù)之間的差異程度，接著分別計(jì)算四組平均數(shù)與總體平均值之間的差異程度。通過 spass對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算后結(jié)果如下：白葡萄酒的兩組平均數(shù)之間的差異（絕對(duì)值）：紅葡萄酒的兩組平均值之間的差異（絕對(duì)值）：根據(jù)上圖接著可以看出：兩組評(píng)酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果并無顯著性差異。分別計(jì)算出兩組的整體差異值（附錄）,計(jì)算結(jié)果如下：白葡萄酒第一組：L=19.105白葡萄酒第二組：K=37.811紅葡萄酒第一組：T=3

8、0.060紅葡萄酒第二組：W=42.323由此組更加結(jié)果更可以得出如下結(jié)論：兩組評(píng)酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果雖無顯著性差異，但A。二： 根據(jù)釀酒葡萄的理化指標(biāo)和葡萄酒的質(zhì)量對(duì)這些釀酒葡萄進(jìn)行分級(jí)。根據(jù)大數(shù)定理可知：兩組評(píng)酒員的平均值即為該瓶酒的品質(zhì)分?jǐn)?shù)，我們根據(jù)分?jǐn)?shù)將葡萄和葡萄酒分為A，B，C 三個(gè)等級(jí)。白葡萄酒（葡萄）各個(gè)等級(jí)的分?jǐn)?shù)段如下: C：8.3-8.72;B：8.73-9.32;A：9.32-9.55;紅葡萄酒（葡萄）各個(gè)等級(jí)的分?jǐn)?shù)段如下：C:7.90-8.45；B:8.46-9.00；A:9.01-9.55；我們認(rèn)為釀酒葡萄的質(zhì)量與所釀葡萄酒質(zhì)量之間是線性關(guān)系：即釀酒葡萄的質(zhì)量越好，所釀葡萄酒

9、的質(zhì)量越好。經(jīng)過計(jì)算協(xié)方差（附錄）后，我們判斷是能用主成分分析法，因而我們將氨基酸，蛋白質(zhì)合為一類，酸性物質(zhì)和 PH 值合為一類，最后七種物質(zhì)合為一類；接著利用 EXCEL 軟件分別對(duì)紅，白葡萄酒所含物質(zhì)成分和葡萄酒質(zhì)量分?jǐn)?shù)進(jìn)行相關(guān)性分析（如下表），白葡萄酒：物質(zhì)氨基酸蛋白質(zhì)VC花色苷酒石酸蘋果酸檸檬酸相關(guān)系數(shù)0.344363-0.00342-0.1414-0.070650.30360.2119-0.3242物質(zhì)酚氧化酶活力褐變度DPPH總酚單寧葡萄總黃酮白藜蘆醇相關(guān)系數(shù)-0.04160.0995-0.0706-0.3579-0.3552-0.39290.1180物質(zhì)黃酮醇總糖可溶性固形物PH

10、 值可滴定酸固酸比干物質(zhì)含量相關(guān)系數(shù)-0.24180.43720.2711-0.18820.2118-0.16170.2394物質(zhì)果穗質(zhì)量百粒質(zhì)量果梗比出汁率果皮質(zhì)量果皮顏色芳香物質(zhì)相關(guān)系數(shù)-0.4046-0.29220.3715-0.1801-0.2720-0.09760.1025紅葡萄酒：氨基酸物質(zhì)蛋白質(zhì)VC花色苷酒石酸蘋果酸檸檬酸相關(guān)系數(shù)0.18840.5337-0.08250.11340.4233-0.4046-0.2155酚氧化酶葡萄總黃酮物質(zhì)褐變度DPPH總酚單寧白藜蘆醇相關(guān)系數(shù)-0.2388-0.02167-0.23880.54580.52730.21630.6585可溶性固形物

11、可滴定酸干物質(zhì)含量PH 值物質(zhì)黃酮醇總糖固酸比相關(guān)系數(shù)0.22560.023140.4929-0.33820.3286-0.032070.07711果穗質(zhì)量百粒質(zhì)量果皮質(zhì)量物質(zhì)果梗比出汁率果皮顏色芳香物質(zhì)相關(guān)系數(shù)0.016530.20170.30580.06615-0.1198-0.32220.1032根據(jù)相關(guān)系數(shù)以及葡萄酒的質(zhì)量等級(jí)可以得出結(jié)論：白葡萄酒：白葡萄酒酒質(zhì)與釀酒葡萄所含氨基酸物質(zhì)，酸性成分（PH 值），糖分，以及芳香物質(zhì)有關(guān)。函數(shù)關(guān)系式為：Z= （ 3*X( 氨基酸 )+3*X(PH 值 )+4*X( 糖分 )+2*X( 汁水 )+1*X( 芳香物 質(zhì))/1809；紅葡萄酒：紅葡

12、萄酒酒質(zhì)與釀酒葡萄所含氨基酸物質(zhì)，酸性成分，芳香物質(zhì)，和花色苷有關(guān)。函數(shù)表達(dá)式為：Z=(7*X(蛋白質(zhì))+2*X(PH 值)+4*X(糖分)+3*X(果梗比)+8*X(醇類)+5*X(酚類)+1*X(芳香物質(zhì))+1*X(花色苷)/1855；因而將釀酒葡萄根據(jù)上式計(jì)算后，將所得分?jǐn)?shù)與葡萄的分級(jí)進(jìn)行對(duì)應(yīng)，從而劃分出葡萄的等級(jí)。三：分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)之間的聯(lián)系。紅葡萄酒中物質(zhì)與釀酒葡萄各種物質(zhì)之間的相關(guān)系數(shù)（如圖，數(shù)據(jù)表格見附表）：白葡萄酒中物質(zhì)與釀酒葡萄各種物質(zhì)之間的相關(guān)系數(shù)（如圖，數(shù)據(jù)表格見附表）：可以得到如下結(jié)論：葡萄酒中的理化指標(biāo)與釀酒葡萄中所含物質(zhì)存在較大的聯(lián)系，且葡萄酒的理化

13、指標(biāo) 60%取決于釀酒葡萄。四：分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)對(duì)葡萄酒質(zhì)量的影響，并論證能否用釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)來評(píng)價(jià)葡萄酒的質(zhì)量。根據(jù)第二問和第三問，我們可以看到，釀酒葡萄的理化指標(biāo)和葡萄酒的理化指標(biāo)存在較為緊密的聯(lián)系，而我們首先假定釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)與葡萄酒質(zhì)量之間是線性關(guān)系；即 Z=a*Ai+b*Bi;接著利用層次分析法求出 a 和b；所得 a=0.2,b=0.6;然后我們對(duì)該函數(shù)進(jìn)行了差異性分析，表格如下：白葡萄酒：紅葡萄酒：瓶號(hào)1234567總體差異值4.7432.9651.6170.6780.50801.031瓶號(hào)891011121314總體差異值01.0411.5

14、810.6672.3230.3924.066瓶號(hào)1516總體差異值.1990.8710.2094.4161.2711.1860.296瓶號(hào)222324252627總體差異值0.7123.9130.3920.7000.0980.356瓶號(hào)1234567總體差異值0.5850.1450.7410.3591.0150.9122.874瓶號(hào)891011121314總體差異值1.4990.9140.4941.1711.2480.4510.988瓶號(hào)1516總體差異值.1711.1710.3820.3671.7960.4740.348瓶號(hào)22232425262728總體差異值1.7560.8320.435

15、1.3170.3761.560.188由上表我們可以看到，該函數(shù)的差異很大，因而我們得出結(jié)論：不能用釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)來評(píng)價(jià)葡萄酒的質(zhì)量。經(jīng)過查閱資料，我們明白葡萄酒質(zhì)量還與釀造工藝和產(chǎn)地品種有關(guān)。五 模型的思考5.1 模型的優(yōu)點(diǎn)：模型較為簡(jiǎn)單，所用軟件較少，易于被用戶接受，能有效的判斷具有相關(guān)性自變量與因變量之間是否具有聯(lián)系。我們的假設(shè)與實(shí)際相符合型較高，易于推廣。5.2 模型的缺點(diǎn)：模型較為簡(jiǎn)單，因而有些誤差會(huì)偏大，精密的計(jì)算可以彌補(bǔ)我們模型的缺點(diǎn)，因而計(jì)算過程我們推薦在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行。我們的模型大多是以函數(shù)來表示的，導(dǎo)致結(jié)果不足夠形象具體。5.3 模型的推廣由于模型是用于分析兩個(gè)相

16、關(guān)變量與最終結(jié)果之間的關(guān)系，因而我們的模型可以用于判斷具有相關(guān)性自變量與因變量之間是否具有聯(lián)系。參考文獻(xiàn)施久玉，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)出版社，2005 年張圣勤，MATLAB7.0 實(shí)用教程，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006 年任善強(qiáng) 雷鳴，數(shù)學(xué)模型，重慶：重慶大學(xué)出版社，1998 年姜啟源，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社，2008 年劉鋒 葛照強(qiáng)，數(shù)學(xué)建模，南京：南京大學(xué)出版社，2005 年何敏，葡萄酒釀造- 飲料酒釀造工藝 北京：工業(yè)出版社，2006 年陳平雁，SPSS8.0 統(tǒng)計(jì)軟件應(yīng)用教程 北京：人民軍醫(yī)出版社,2006 年認(rèn)為重要的數(shù)據(jù)：白葡萄酒整體平均值：紅葡萄酒整體平均值：瓶號(hào)1234567平均值8.059.359.158.608.758.608.65瓶號(hào)891011121314平均值8.409.558.608.25