第八章 彈性桿件橫截面上的正應(yīng)力分析-2

1、工程力學(xué)第八章彈性桿件橫截面上的正應(yīng)力(yngl)分析共五十一頁(yè)一、彎曲(wnq)正應(yīng)力 當(dāng)外加力偶或橫向(hn xin)力作用于桿件縱向的某一平面內(nèi)時(shí)，桿件將發(fā)生彎曲變形，其軸線(xiàn)將彎曲成曲線(xiàn)。8-2 對(duì)稱(chēng)彎曲正應(yīng)力共五十一頁(yè)AB對(duì)稱(chēng)軸縱向?qū)ΨQ(chēng)面梁變形后的軸線(xiàn)與外力在同一平面內(nèi)梁的軸線(xiàn)對(duì)稱(chēng)(duchn)彎曲共五十一頁(yè) 在AC和DB段，梁的橫截面既有彎矩，又有剪力，這種情況(qngkung)稱(chēng)為橫力彎曲。 在CD段內(nèi)，梁的橫截面上剪力為零，而彎矩為常量，這種情況稱(chēng)為(chn wi)純彎曲。 梁在純彎曲變形時(shí)，橫截面上只有與彎矩有關(guān)的正應(yīng)力。 共五十一頁(yè)二、梁在純彎曲(wnq)時(shí)的正應(yīng)力 1、變形

2、幾何(j h)關(guān)系 作如下假設(shè)： 梁的橫截面變形后仍保持為平面，且垂直于變形后 的軸線(xiàn)，即彎曲變形的平面假設(shè)。(2) 縱向纖維間無(wú)擠壓作用，各縱向纖維均處于單向受拉 或受壓狀態(tài)。共五十一頁(yè) 中性(zhngxng)層 中性層：構(gòu)件內(nèi)部既不伸長(zhǎng)(shn chn)也不收縮的纖維層。中性軸：橫截面與中性層的交線(xiàn)。共五十一頁(yè) 縱向線(xiàn)aa變形(bin xng)后的長(zhǎng)度為: aa 變形(bin xng)前的長(zhǎng)度等于中性層的長(zhǎng)度 縱向線(xiàn)aa的應(yīng)變?yōu)?即：純彎曲時(shí)橫截面上各點(diǎn)的縱向線(xiàn)應(yīng)變沿截面高度呈線(xiàn)性分布。 中性層長(zhǎng)度不變, 所以共五十一頁(yè)2、物理(wl)關(guān)系 因?yàn)?yn wi)縱向纖維只受拉或壓，當(dāng)應(yīng)力小于

3、比例極限時(shí)，由胡克定律有: 即：純彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與它到中性軸的距離y成正比。也即，正應(yīng)力沿截面高度呈線(xiàn)性分布。共五十一頁(yè)3、靜力學(xué)關(guān)系(gun x) 對(duì)橫截面上的內(nèi)力(nil)系，有: 根據(jù)靜力平衡條件，純彎曲梁只有對(duì)z軸的力偶矩M 即： 共五十一頁(yè)由: z 軸通過(guò)(tnggu)形心即：中性(zhngxng)軸通過(guò)形心。由:因?yàn)閥軸是對(duì)稱(chēng)軸，上式自然滿(mǎn)足。共五十一頁(yè)EIz 梁的抗彎剛度(n d)將上式代入由:慣性矩共五十一頁(yè)在橫截面上離中性(zhngxng)軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，正應(yīng)力最大。 令:式中Wz稱(chēng)為彎曲截面系數(shù)(xsh)，其單位為m3。共五十一頁(yè)例：懸臂梁受力及截面尺寸如圖，

4、求梁的1-1截面上A、B兩點(diǎn)的正應(yīng)力。解：（1）計(jì)算1-1截面上的彎矩（2）確定中性軸位置，并計(jì)算慣性矩共五十一頁(yè)（3）確定所求應(yīng)力點(diǎn)到中性軸的距離，計(jì)算各點(diǎn)的應(yīng)力。A點(diǎn)：B點(diǎn)： 將彎矩M和坐標(biāo)y按規(guī)定的正負(fù)號(hào)代入，所得到的正應(yīng)力若為正值，即為拉應(yīng)力，若為負(fù)值，即為壓應(yīng)力。 也可根據(jù)梁變形的情況(qngkung)來(lái)判斷，即以中性層為界，梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力，而凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力，此時(shí),M和y可以直接代入絕對(duì)值。共五十一頁(yè)例：一水平放置(fngzh)的No.10普通熱軋槽鋼制懸臂梁，受力如圖。外力都作用在鉛垂對(duì)稱(chēng)面內(nèi)。已知Fp=1.2KN,M=2.2KN.m,求：（1）1-1截面上A、

5、B兩點(diǎn)的正應(yīng)力；（2）梁內(nèi)最大正應(yīng)力。解：（1）畫(huà)彎矩圖確定1-1截面上的彎矩與梁內(nèi)最大彎矩。1-1截面：2-2截面：共五十一頁(yè)（2）確定中性軸位置及慣性矩查表，No.10普通熱軋槽型鋼（3）確定所求點(diǎn)到中性軸的距離，計(jì)算指定點(diǎn)的應(yīng)力A點(diǎn)：B點(diǎn)：共五十一頁(yè)（4）計(jì)算梁內(nèi)最大正應(yīng)力最大正應(yīng)力發(fā)生在2-2截面上距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)。共五十一頁(yè)例：如圖所示圓軸在A、B兩處的軸承可近似地視為簡(jiǎn)支，軸的外伸部分是空心(kng xn)的，求軸內(nèi)的最大正應(yīng)力。解：1.作軸的彎矩圖，判斷(pndun)可能的危險(xiǎn)截面共五十一頁(yè)2、計(jì)算實(shí)心(shxn)與空心截面的慣性矩B截面(jimin)：C截面：3、計(jì)算最大應(yīng)力B

6、截面：C截面：軸中的最大正應(yīng)力發(fā)生在截面處（即實(shí)心部分）。共五十一頁(yè)例：T形截面(jimin)鑄鐵外伸梁的載荷和尺寸如圖，試求梁內(nèi)的最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。解：（1）作彎矩圖截面(jimin)B有最大負(fù)彎矩，MB=-5kNm在x=0.87m處截面D剪力為零， 彎矩有極值，其值為MD=3.8kNm共五十一頁(yè)（3）計(jì)算(j sun)慣性矩 平行軸定理式（2）確定(qudng)中性軸位置設(shè)截面形心到頂邊的距離為yc，取頂邊軸z1為參考軸共五十一頁(yè)(3)求最大正應(yīng)力截面B：上邊緣有最大拉應(yīng)力，下邊緣有最大壓應(yīng)力截面D：正彎矩，可能發(fā)生比截面B還要大的拉應(yīng)力共五十一頁(yè)四種(s zhn)基本變形：拉伸（壓縮）

7、、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲xyzcPxyzcPxyzcM8-3 斜彎曲(wnq)與拉(壓)彎組合一、組合變形共五十一頁(yè)組合變形(bin xng)：由兩種或兩種以上基本變形組合的變形。xyzcP1P2xyzcP1P2F共五十一頁(yè)分析組合(zh)變形時(shí)，可以先將外力進(jìn)行簡(jiǎn)化或分解，轉(zhuǎn)化為幾組靜力等效的載荷，其中每一組載荷對(duì)應(yīng)著一種基本變形（拉壓、扭轉(zhuǎn)或彎曲）。xyzcP1xyzcP2xyzcP1P2二、疊加原理(yunl)共五十一頁(yè) 這樣，可以分別計(jì)算每一種基本變形各自引起(ynq)的內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變和位移，然后把所得的結(jié)果進(jìn)行疊加，便是構(gòu)件在組合變形下的內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變和位移。這就是疊加原理。條件：要求

8、內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變(yngbin)和位移等與外力呈線(xiàn)性關(guān)系xyzcP1xyzcP2xyzcP1P2共五十一頁(yè) 當(dāng)載荷作用(zuyng)面不在梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)時(shí)，梁的彎曲軸線(xiàn)將不在載荷作用面內(nèi)，即發(fā)生斜彎曲。此時(shí)，中性軸不再與載荷的作用面垂直。yzcP平面彎曲的兩大特征：1、彎曲后的軸線(xiàn)在載荷(zi h)作用面內(nèi)；2、中性軸與載荷的作用面垂直。要求：載荷作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)三、斜彎曲兩相互垂直平面內(nèi)彎曲的組合共五十一頁(yè)1.外力(wil)分解：2.內(nèi)力(nil)計(jì)算：3. 應(yīng)力計(jì)算：上拉、下壓前壓、后拉共五十一頁(yè)利用疊加原理得x 截面(jimin)上C 點(diǎn)處的正應(yīng)力為可知(k zh)截面C上任一點(diǎn)的正

9、應(yīng)力是：固定端截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力是：共五十一頁(yè)截面(jimin)上C 點(diǎn)處的正應(yīng)力為 上述分析計(jì)算中，式中各物理量均可取絕對(duì)值，而各項(xiàng)應(yīng)力的正、負(fù)號(hào)(f ho)可按拉為正，壓為負(fù)直觀(guān)地判斷。共五十一頁(yè)中性(zhngxng)軸與z 軸的夾角q 為上式表示中性軸為通過(guò)截面(jimin)形心的直線(xiàn)。 式中， 為力F與y軸的夾角。 斜彎曲平面彎曲根據(jù)中性軸定義，中性軸上各點(diǎn)處的正應(yīng)力均為零，令 代表中性軸上任意點(diǎn)的坐標(biāo)令 ，即得中性軸方程為共五十一頁(yè)中性軸將橫截面分為兩部分，一部分受拉應(yīng)力，一部分受壓應(yīng)力。作平行于中性軸的兩直線(xiàn)，分別與橫截面的周邊相切，這兩個(gè)切點(diǎn)(qidin)D1，D2就是該截面上

10、拉應(yīng)力和壓應(yīng)力為最大的點(diǎn)。危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于(duy)有外凸角點(diǎn)的截面，例如矩形截面、工字形截面等，最大應(yīng)力一定發(fā)生在角點(diǎn)處。共五十一頁(yè)例: 求圖示懸壁梁的最大正應(yīng)力(yngl)，并指出作用點(diǎn)的位置。P1=1 kNP2=1.6 kN1m1myzzy9cm18cmAB解：最大拉應(yīng)力在固端截面A點(diǎn)，最大壓應(yīng)力在固端截面B點(diǎn)，二者大小(dxio)相等。固端截面：共五十一頁(yè) 在外力作用下同時(shí)發(fā)生(fshng)拉伸 (壓縮 ) 與彎曲兩種基本變形，稱(chēng)為拉彎組合變形。xP1xP2軸向拉壓平面(pngmin)彎曲四、拉伸（壓縮）與彎曲組合變形共五十一頁(yè)橫向力和軸向力同時(shí)存在(cnzi)；力作用于截面形心，

11、但作用線(xiàn)與x軸成一定夾角；力作用線(xiàn)與軸線(xiàn)平行，但不通過(guò)截面形心； 在這些情況(qngkung)下，桿將產(chǎn)生彎曲與軸向拉壓的組合變形，簡(jiǎn)稱(chēng)拉(壓)彎組合變形。xPxP1P2PxPyxP拉（壓）彎組合的三種情況共五十一頁(yè)外力(wil)分解橫向(hn xin)力與軸向力共同作用共五十一頁(yè)2內(nèi)力(nil)計(jì)算在 m-m 截面(jimin)上+FxFyPxFNMzPyll+共五十一頁(yè)疊加FN對(duì)應(yīng)的應(yīng)力Mz對(duì)應(yīng)的應(yīng)力3應(yīng)力(yngl)計(jì)算共五十一頁(yè)疊加后，橫截面上正應(yīng)力分布(fnb)規(guī)律只可能為以下三種情況：共五十一頁(yè)危險(xiǎn)點(diǎn)的位置很容易確定，在截面的最上緣或最下緣。由于危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)(zhungti)為

12、簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)(單向拉伸或單向壓縮)中性軸發(fā)生(fshng)平移.共五十一頁(yè)軸力FN s=FN /A彎矩Mz s=Mz y/Iz彎矩My s=Myz/IyxyzABMyFNMzCD橫截面上任一點(diǎn)(y din)（y,z）處的正應(yīng)力中性(zhngxng)軸方程截面上同時(shí)作用有軸力以及兩對(duì)稱(chēng)面內(nèi)的彎矩共五十一頁(yè)中性(zhngxng)軸方程中性軸是一條不通過(guò)截面(jimin)形心的斜直線(xiàn)是兩垂直平面內(nèi)彎曲的情況，中性軸是通過(guò)截面形心的斜直線(xiàn)。共五十一頁(yè)xyzABMyFNMzCDD處：C處：共五十一頁(yè)例：如圖所示起重機(jī)的最大吊量為F=12KN，若橫梁(hn lin) AB為NO.16工字鋼，試求梁AB內(nèi)的

13、最大正應(yīng)力。解：（1）取橫梁AB為研究對(duì)象(duxing)，畫(huà)受力分析圖，列平衡方程共五十一頁(yè)（2）畫(huà)內(nèi)力圖(lt)可知(k zh)截面C為危險(xiǎn)截面。共五十一頁(yè)（3）應(yīng)力(yngl)計(jì)算由附錄(fl)查16號(hào)工字鋼的數(shù)據(jù)：最大應(yīng)力發(fā)生在截面C的下邊緣，為最大壓應(yīng)力共五十一頁(yè)例：開(kāi)口鏈環(huán)由直徑d=12mm 的圓鋼彎制而成，其形狀(xngzhun)如圖所示。鏈環(huán)的受力及其他尺寸均適于圖中，試求：（1）鏈環(huán)直段部分橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力；（2）中性軸與截面形心之間的距離。共五十一頁(yè)例：鑄鐵壓力機(jī)框架，立柱(l zh)橫截面尺寸如圖所示,試計(jì)算立柱內(nèi)的最大正應(yīng)力。 解：（1）計(jì)算(j sun)橫截面的形心、面積、慣性矩（2）立柱橫截面的內(nèi)力共五十一頁(yè) （3）立柱(l zh)橫截面的最大應(yīng)力共五十一頁(yè)解：截面(jimin)法求內(nèi)力： FN=F 軸向壓縮；My=Fz 在xz平面(pngmin)內(nèi)彎曲；Mz=Fy 在xy平面內(nèi)彎曲。；例：雙向偏心拉壓最大壓應(yīng)力：最大拉應(yīng)力：共五十一頁(yè)內(nèi)容摘要工程力學(xué)。梁的橫截面變形后仍保持為平面(pngmin)，且垂直于變形后。(2) 縱向纖維間無(wú)擠壓作用，各縱向纖維均處于單向受拉。中性層：構(gòu)件內(nèi)部既不伸長(zhǎng)也不收縮的纖維層。中性軸：橫截面與中性層的交線(xiàn)。將彎矩M和坐標(biāo)y按規(guī)定的正負(fù)