彈簧諧振討論(共6頁)

1、 從一道(ydo)習(xí)題看課堂(ktng)討論的必要性摘要(zhiyo)：從有質(zhì)量彈簧的振動周期的課堂討論，分析現(xiàn)在學(xué)生的能力分化以及所遇到的問題，指出課堂討論在大學(xué)物理教學(xué)中的必要性。王慶武 ：現(xiàn)在大學(xué)生來自各地，由于各中學(xué)教育水平以及要求不一樣，雖然都通過全國統(tǒng)一的考試并取得不錯的成績并進(jìn)入重點高校，但學(xué)生的知識水平及認(rèn)知能力卻并不相同，甚至有較大差異。在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，這中差異是非常普遍的。比如對于三角函數(shù)的運算，有的同學(xué)明顯經(jīng)過嚴(yán)格的訓(xùn)練，有的同學(xué)告訴老師他們沒作要求。再比如，通過大一對微積分的學(xué)習(xí)，有的同學(xué)能進(jìn)行二維積分，而有的同學(xué)卻對一維積分都認(rèn)識不太清楚。因此，在對變速度求路程，計算復(fù)

2、雜形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量時，有的同學(xué)就表現(xiàn)出有點吃力。雖然俗話說“師傅領(lǐng)進(jìn)門，修行在各人”。尤其是現(xiàn)在的大學(xué)，一個班少則二三十，多則上百人。作為老師，即便有助教也不可能照顧周詳，但如果老師能認(rèn)識到這種差異，并適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論并做適當(dāng)指引，那么，只要肯用功夫，相信同學(xué)能相互促進(jìn)，消除中學(xué)知識差異，尤其是學(xué)會從多角度看問題，用多種方式研究問題。本文將從醫(yī)學(xué)物理的一道課后習(xí)題的課堂討論出發(fā)，分析學(xué)生能力分化以及課堂討論的必要性。這一道題來自醫(yī)學(xué)物理學(xué)，胡新珉主編，第四章，習(xí)題4-51。在配套參考書上給出參考2?！叭魏我粋€實際的彈簧都是有質(zhì)量的，如果考慮彈簧的質(zhì)量，彈簧振子的振動周期將如何變化？”“由

3、于=km，所以如果考慮彈簧的質(zhì)量，彈簧振子的振動周期將變長” 雖然在課堂上，一再強調(diào)，老師說的可能有錯的，書上的也不一定是對的。但從交來的作業(yè)看，大多數(shù)同學(xué)仍按照參考答案給出了結(jié)果。于是我組織同學(xué)們進(jìn)行導(dǎo)論，討論之前讓他們再仔細(xì)研究研究參考答案是否有問題。最后在同學(xué)們表現(xiàn)很積極，大致表現(xiàn)為以下幾方面：參考答案沒錯，從公式(gngsh)出發(fā)(chf)，質(zhì)量增大，頻率(pnl)變小，周期增長；如果假設(shè)質(zhì)量集中在某一處，比如兩個端點，或者中間某處，結(jié)果不同；如果假設(shè)質(zhì)量均勻，那么可能要用微積分處理，不知怎么做；不清楚彈簧的勁度系數(shù)時候會改變，如果不變，那么彈簧看作一暗箱，周期不變；網(wǎng)上搜到一篇文章，

4、說是積分的結(jié)果不對，但看不懂；先說四、五方面。能夠從暗箱認(rèn)識問題，說明這一類學(xué)生在認(rèn)識方法上有了進(jìn)步。不管內(nèi)部結(jié)構(gòu)，只看表現(xiàn)出來的參數(shù)，只看他對外界的作用是否改變。這種只看輸入輸出的分析方法在控制論中稱為黑箱方法，注重從系統(tǒng)整體與外部之間的練習(xí)，分析問題，解決問題。當(dāng)然在這里，我們對內(nèi)部結(jié)構(gòu)是有一定了解的，可以稱為“灰箱”。前面三個方面，是對內(nèi)部完全了解，稱為“白箱”。能夠上網(wǎng)搜索問題的解決方案，也是現(xiàn)在學(xué)生的一個強項，不過并不是所有學(xué)生都很重視。當(dāng)年的goole搜索引擎被不少人稱為goole大學(xué)，也即在這上面你能得到所有你想知道的。因此有人說，網(wǎng)上無所不有。對于第三方面的積分處理，有同學(xué)也從

5、網(wǎng)上得到了答案3,4。對于網(wǎng)絡(luò)如果不加辨識的拿來就用，認(rèn)為所有的都對，將使得學(xué)生失去真正學(xué)習(xí)的能力。同學(xué)在網(wǎng)上收縮到的另類解法5，復(fù)雜而且看不出關(guān)鍵所在，這里將不仔細(xì)展開，下面對一到四方面對這一問題同學(xué)的認(rèn)識作一介紹。一、 參考答案分析是否有錯呢，如果有，問題又在哪里？在公式中，我們只有兩個參數(shù)，勁度系數(shù)和質(zhì)量。而問題中只提到質(zhì)量，因此很自然的把這一質(zhì)量和公式中的質(zhì)量聯(lián)系起來。問題是，這兩個質(zhì)量是否一回事？有同學(xué)說引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量雖然在量上一樣，但它們確實是兩個不同的概念。這里，我們注意到，公式中的質(zhì)量是振子的質(zhì)量，而問題的質(zhì)量是彈簧的質(zhì)量。首先文字上不一樣。又有的同學(xué)說，原來的彈簧質(zhì)量為零

6、，振子質(zhì)量加上彈簧質(zhì)量后不變，公式仍然成立。所以答案是對的。果真如此么？要看公式是否適用，那么從推導(dǎo)簡諧振動過程的每一步來檢驗，什么時候可以加入彈簧質(zhì)量。有同學(xué)很快找到問題所在。仔細(xì)回顧簡諧振動的推導(dǎo)過程，指出推導(dǎo)出發(fā)點是以諧振子的受力開始，以諧振子為研究對象，彈簧只是作為外力的提供者。當(dāng)換用其他形式外力，比如電磁力，只要它能提供與位移成正比大小的力，振子都做簡諧振動。所以公式中，彈簧的質(zhì)量是進(jìn)入不了的，因此答案簡單的說質(zhì)量變大周期變長，是錯了，混淆了兩個質(zhì)量，混淆了研究對象。評：如果參考答案能出錯，也不能怪同學(xué)出錯。確實，這里的質(zhì)量容易誤導(dǎo)人。但從這里至少可以看到，引用公式時，一定要搞清楚它

7、的研究對象，適用范圍。學(xué)生并不缺乏相應(yīng)的知識，只是在分析思路上需要一個引導(dǎo)。二、假如(jir)質(zhì)量集中(jzhng)在彈簧某處，得到不同結(jié)果。BAO（圖1 彈簧(tnhung)簡諧運動示意圖 ）這種情況在理想狀況下是可能的。當(dāng)彈簧質(zhì)量遠(yuǎn)小于振子質(zhì)量，也可以近似忽略彈簧質(zhì)量。于是引導(dǎo)同學(xué)們從如下幾個方面做了分析： 如果質(zhì)量集中在彈簧的固定點O點，那么這一部分質(zhì)量受力平衡，將不參加諧振運動，彈簧振動周期不發(fā)生改變；如果質(zhì)量集中在振子位置，則彈簧彈性力同時對兩部分質(zhì)量做功，其效果可以看作是在振子上附加了彈簧質(zhì)量，這樣振動周期將變長；如果彈簧質(zhì)量集中在彈簧某處B點，（0OBL，L為彈簧固有長度）。這相

8、當(dāng)于兩個彈簧串聯(lián)，對于最外端點處的振子的運動，將是兩個運動的合成：一個是相對外端彈簧的振動，一個是隨彈簧質(zhì)點相對B點的來回振動?？梢灶A(yù)測周期可能隨B的不同而改變，即周期會是OB的函數(shù)。這時，如果用受力分析，按推導(dǎo)簡諧振動的方式導(dǎo)出運動方程會比較復(fù)雜，也難以下手。然后有同學(xué)提議是否可以考慮機械能守恒。評：特例法是研究復(fù)雜問題的一個測試口。它能檢驗我們的一些推測是否合理?？梢钥吹絽⒖即鸢钢皇且粋€特例。得到不同結(jié)果，只能說明題目還需詳細(xì)說明彈簧質(zhì)量分布情況。通過特例分析認(rèn)識到問題的復(fù)雜性，并幫我們找到了可以利用的其它方法。利用機械能守恒方法可以推廣到質(zhì)量分布到多個點，甚至在彈簧上連續(xù)分布的情況。通過

9、上面兩方面分析發(fā)現(xiàn)，面對問題時有時不是缺乏知識，而是沒有找到通往目的的途徑。所以，從這一點看，課堂上傳授方法比簡單的傳授知識更重要。知識可以迅速的獲得，而研究方法卻需要長時間的訓(xùn)練才能領(lǐng)會。正是“授之以魚不如授之以漁”。三、假設(shè)質(zhì)量均勻分布，利用守恒原理計算周期。有了上面的分析，指導(dǎo)學(xué)生先從多彈簧串聯(lián)入手，看如何建立等式。有同學(xué)寫出了12m2A2=12kA2。還是覺得無法入手。其實這反應(yīng)了一部分同學(xué)分析問題還只是從公式出發(fā)。雖然我們現(xiàn)有的公式就這個，但如何用還是要先分析從問題的角度看用什么公式，怎么用。于是知道學(xué)生多讀讀問題，從問題一步一步分析思路。同學(xué)又出現(xiàn)了分化。一部分人關(guān)注了勁度系數(shù)，問

10、質(zhì)量的改變是否對其有影響？一部分人覺得應(yīng)該假定質(zhì)量改變前后機械能一樣。這時候，我讓同學(xué)們自己互相辯論。通過指導(dǎo)同學(xué)對第二章應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系回顧，通過引導(dǎo)對振子總能量與固有頻率周期的認(rèn)識，同學(xué)們都發(fā)現(xiàn)了自己立場上的一些問題：a: 彈簧的伸長縮短類似于線應(yīng)變，勁度系數(shù)由材料的楊氏模量決定，與質(zhì)量無明顯關(guān)系，但與彈簧的長度有關(guān)，且總勢能即便在彈簧質(zhì)量為零時也不是每段彈簧勢能相加。b: 振子的頻率周期也由材料決定(judng)了，與總能量無關(guān)，但為方便，可以假定兩個兩彈簧(tnhung)(有質(zhì)量(zhling)和無質(zhì)量)機械能相等。彈簧的勢能自然不能用12kA2得到，因為這只是每一部分的簡單求和?？紤]

11、空中的一個壓縮的彈簧，它具有彈性勢能還有重力勢能。于是求和不成，有同學(xué)考慮從做功入手。為了獲得勢能，外力必須做功。引導(dǎo)學(xué)生分析以準(zhǔn)靜態(tài)過程拉動彈簧做功的比較。得到在無摩擦情況下，勁度系數(shù)相同，做功相同的結(jié)論。確定了相等的初始勢能后，再解決動能求和問題。有了前面對勁度系數(shù)的分析，有同學(xué)問角頻率是否相等呢？這是一個好問題。說明同學(xué)在分析上有了進(jìn)步。通過分析發(fā)現(xiàn)至少它們在振動的關(guān)鍵點位是一致的，因此可以假設(shè)它們相等。同時得到在壓縮伸長的極值點(振幅處)時得到分振子的振幅與彈簧整體振幅的關(guān)系。這時有的同學(xué)已經(jīng)能寫出積分公式了，最后得到：Ek=0A12 MA2x2dx+12 m2A2,其中M為彈簧的質(zhì)量

12、，m為振子的質(zhì)量。M/A為質(zhì)量線密度，在計算剛體的轉(zhuǎn)動慣量時已經(jīng)用到。再與12kA2比較，可以得到T=2m+M3k，顯示周期變長。評：這一結(jié)果是在假設(shè)有質(zhì)量彈簧每段周期相等的情況下得到的結(jié)論。但不管如何，如果初始勢能相同，有質(zhì)量彈簧必然分掉一部分機械能。對于仍做簡諧振動的振子來說，振幅不變，勢能降低，由12m2A2守恒，頻率一定減小，周期變長。從這一部分的分析可以看到，一道題，幫助復(fù)習(xí)了變力做功、能量守恒以及材料的應(yīng)變與應(yīng)力關(guān)系，用到了計算轉(zhuǎn)動慣量類似的方法，也引出了準(zhǔn)靜態(tài)過程。同時通過辯論讓同學(xué)認(rèn)識到，立場不是絕對的，問題會越辯越明。四、彈簧勁度系數(shù)不變，對振子作用力與彈簧無質(zhì)量時無異，周期

13、不變。首先，由上面分析，彈簧勁度系數(shù)由材料性質(zhì)決定。同時我們得知，振子是在做一復(fù)合運動。當(dāng)然，在彈簧無質(zhì)量時，我們也可以看作是多個復(fù)合運動的疊加。簡單的，只考慮兩個彈簧串聯(lián)，串聯(lián)點用有質(zhì)量物體連接。那么有質(zhì)量無質(zhì)量之間有無區(qū)別呢？首先，用一暗箱把圖一AB段封閉起來。有同學(xué)注意到由于彈簧在伸長縮短，質(zhì)心的位置相對B點在隨時發(fā)生變化，所以運動將不同于彈簧無質(zhì)量時。其次，如果振子仍然以原來周期運動，那么其受力任然滿足F=-kx才行。由于k不變，似乎F就與無質(zhì)量時相同，只隨x變化。有同學(xué)聯(lián)想到了中學(xué)習(xí)題中關(guān)于用繩連接的兩個物體運動的例子，指出彈簧拉力不一定是F=-kx。 F=-kx是在一端固定時的滿足

14、(mnz)的關(guān)系，而且x是相對(xingdu)平衡位置的位移，也是相對(xingdu)固定點的位移增量，它反應(yīng)了彈簧的真實形變量。在變加速體系中，振子相對平衡位置的變化量與彈簧的形變量不再一致，它是每段彈簧形變量的疊加。是否可以繞過彈簧質(zhì)量而把幾段彈簧形變疊加就行了呢？ F=-kx，x是彈簧沿伸長方向所有形變量的疊加。作用力是否疊加呢？于是引導(dǎo)學(xué)生回顧應(yīng)力公式推導(dǎo)。發(fā)現(xiàn)作用力并非由形變合力疊加。在靜力平衡狀態(tài)，彈簧有無質(zhì)量，都無關(guān)系，每段彈簧相互作用力相等。但當(dāng)彈簧運動起來，作用在彈簧質(zhì)量上的兩段彈簧作用力將不一樣。合力F=F1-F2=ma。當(dāng)彈簧無質(zhì)量時，m=0，F(xiàn)1=F2。這一點差別，導(dǎo)致

15、在有質(zhì)量彈簧上形變作用力將不再相同。為了帶動彈簧以相同加速度運動，越靠近固定點的部分，作用力更大，彈簧處于非均勻形變，F(xiàn)=-kx對整段彈簧將不再適用，也就不能直接用于推導(dǎo)振子的運動方程。評： 不少同學(xué)直覺的認(rèn)為，彈力是每段彈簧力的疊加，通過討論，同學(xué)們認(rèn)識到了問題所在。用暗箱法回應(yīng)暗箱法，讓同學(xué)更能接受。在教學(xué)中通過與同學(xué)交流發(fā)現(xiàn)，學(xué)生并不很在乎什么是對的答案，他們不能指出對的答案有什么錯誤，而更愿意認(rèn)識到自己的分析哪里有問題。這正是學(xué)習(xí)物理方法的正確方式。只有知道什么是錯，才能更好的認(rèn)識理解什么是對。學(xué)生在遇到問題時，表現(xiàn)出了各自的才能。片面的以分?jǐn)?shù)論成績，并不能反應(yīng)學(xué)生的真實能力。知識基礎(chǔ)

16、以及分析問題的能力、對待問題的方式都因人而異，且對以后的研究會產(chǎn)生很大的影響。雖然在靈活運用知識方面有些欠缺，但敢于想象，運用所知方法論，又或積極上網(wǎng)搜索都反應(yīng)出學(xué)生思維靈活的一面。如果只是簡單的給出答案給出分析，自然學(xué)生能獲得知識和一些技巧，但通過討論，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)自己的潛能，同時在同學(xué)之間形成討論的氛圍，為將來的研究做準(zhǔn)備，這才是作為一個研究型大學(xué)應(yīng)該具備的。學(xué)生能力的差異，也不是簡單的給出答案和解法就能縮小或抹平的，通過討論，讓同學(xué)直接認(rèn)識到能力的差異，而不是最后分?jǐn)?shù)的差異，同時發(fā)現(xiàn)自己知識欠缺面以及別人思維方式的優(yōu)點，可以更好的促進(jìn)學(xué)生在后續(xù)課程中的學(xué)習(xí)。一道習(xí)題，通

17、過討論推翻了對參考書的權(quán)威認(rèn)識。其次，復(fù)習(xí)了已經(jīng)學(xué)過了內(nèi)容，并得到更進(jìn)一步的加深。此外，各種分析方法得到了運用。通過討論，更增加了學(xué)生學(xué)生之間、老師與學(xué)生之間的互相了解。因此建議大學(xué)課堂應(yīng)多些討論。參考文獻(xiàn)：1 胡新珉. 醫(yī)學(xué)物理學(xué)M. 北京: 人民衛(wèi)生出版社，2010. 54.2 胡新珉. 醫(yī)學(xué)(yxu)物理學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題集M. 北京(bi jn)，人民衛(wèi)生出版社，2010. 42.3 朱斌，徐學(xué). 彈簧質(zhì)量對彈簧振子(zhn z)振動周期的影響. 物理教師J. 2010,(31)1: 59.4 臧濤成. 非輕質(zhì)彈簧串聯(lián)系統(tǒng)能量分析. 大學(xué)物理J. 2005,(24)11: 2022.5

18、金彪. 也談彈簧質(zhì)量對彈簧振子振動周期的影響. 中學(xué)物理J. 2011,(29)3: 6263. From the solution of an exercise to see the necessity of class discussion Abstract: A class discussion was given. It is about how will change the natural period of simple harmonic motion as the spring having a mass. An analysis of the ability differences and troubles meeting in the classroom was given and the necessity of cari