第1章 解三角形§12 正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例(一)(共7頁)

1、1.2應(yīng)用(yngyng)舉例(一)對(duì)點(diǎn)講練一、測量(cling)距離問題例1要測量(cling)對(duì)岸兩點(diǎn)A、B之間的距離，選取相距eq r(3) km的C、D兩點(diǎn)，并測得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A、B之間的距離分析作出草圖，綜合運(yùn)用正、余弦定理解如圖所示，在ACD中，ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD= km.在BCD中，BCD=45，BDC=75，CBD=60.BC = = ABC中，由余弦定理，得AB2=AB=km.A、B之間的距離為km，總結(jié)測量兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)A，B之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長問

2、題，然后在相關(guān)三角形中計(jì)算AC和BC.變式訓(xùn)練1如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50 m，ACB=45，CAB=105后，就可以計(jì)算A、B兩點(diǎn)的距離為()A50eq r(2) m B50eq r(3) mC25eq r(2) m D.eq f(25r(2),2) m答案A解析由題意知ABC30，由正弦定理eq f(AC,sinABC)eq f(AB,sinACB)，ABeq f(ACsinACB,sinABC)eq f(50f(r(2),2),f(1,2)50eq r(2) (m)二、測量高度(god)問題例2如圖所示，在山頂(

3、shn dn)鐵塔上B處測得地面(dmin)上一點(diǎn)A的俯角為，在塔底C處測得A處的俯角為.已知鐵塔BC部分的高為h，求出山高CD.解 在ABC中，BCA=90+，ABC=90，BAC=，CAD=.根據(jù)正弦定理得：即AC = 在RtACD中，CD=ACsinCAD=ACsin= ，答 山的高度為 總結(jié)在運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題時(shí)，通常都根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過解這些三角形，得出實(shí)際問題的解和高度有關(guān)的問題往往涉及直角三角形的求解變式訓(xùn)練2江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測得俯角分別為45和30，而且兩條船與炮臺(tái)底部連成30，求兩條船之間的

4、距離解如圖所示：CBD=30， ADB = 30, ACB = 45AB=30，BC=30，BD = = .在BCD中，CD2 = BC2 + BD2 2BCBDcos30 = 900,CD=30,即兩船相距(xingj)30 m. 三、測量角度(jiod)問題例3在海岸(hi n)A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45的方向，距離A (eq r(3)1) n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75的方向，距離A 2 n mile的C處的緝私船奉命以10eq r(3) n mile/h的速度追截走私船此時(shí)，走私船正以10 n mile/h的速度從B處向北偏東30的方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私

5、船？解 如圖所示，設(shè)緝私船用t h在D處追上走私船，則有CD =t，BD=10t，在ABC中，AB = ，AC=2，BAC=120，由余弦定理，得BC2=AB2+AC22ABACcosBAC= ()2 +222()2cos 120= 6,BC=,且sinABC = sinBAC = ，ABC=45， BC與正北方向垂直.CBD=90 +30= 120,在BCD中，由正弦定理得sinBCD =BCD=30.即緝私船沿北偏東60方向能最快追上走私船.總結(jié)本例考查正弦、余弦定理的建模應(yīng)用注意到最快追上走私船時(shí)兩船所用時(shí)間相等，若在D處相遇，則可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.變式訓(xùn)練3甲

6、船在A處觀察到乙船在它的北偏東60方向的B處，兩船相距a n mile，乙船向正北方向行駛?cè)艏状乃俣仁且掖俣鹊谋?，問甲船?yīng)沿什么方向前進(jìn)才能盡快追上乙船？相遇時(shí)乙船行駛多少n mile?解如圖所示，設(shè)兩船在C處相遇，并設(shè)CAB=0乙船行駛距離為 x n mile 則AC,由正弦定理得而60,=30，即ACB=30，AB=BC=a，從而(cng r)BC = （n mile）.答 甲船應(yīng)沿北偏東30方向(fngxing)前進(jìn)才能盡快追上乙船，兩船相遇時(shí)乙船行駛了a n mile. 答甲船應(yīng)沿北偏東30方向前進(jìn)(qinjn)才能盡快追上乙船，兩船相遇時(shí)乙船行駛了a n mile.課堂小結(jié)：1距

7、離問題測量平面距離時(shí)，往往把要測量的距離化為某一個(gè)三角形的一條邊，再運(yùn)用正弦定理或余弦定理加以求解2高度問題測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題由于底部不可到達(dá)，這類問題不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計(jì)算出建筑物頂部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題3角度問題測量角度就是在三角形內(nèi)利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根據(jù)需要求出所求的角課時(shí)作業(yè)一、選擇題1已知兩燈塔A和B與海洋觀測站C的距離都等于a km，燈塔A在觀測站C的北偏東20，燈塔B在觀測站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa km B.eq r(3)a km C

8、.eq r(2)a km D2a km答案B解析ACB120，ACBCa，ABeq r(3)a.2如圖所示，D、C、B三點(diǎn)在地面同一直線上，DCa，從C、D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角分別是、()則A點(diǎn)離地面的高AB等于() A B.eq f(asin sin ,cos()C.eq f(asin cos ,sin() D.eq f(acos cos ,cos()答案(d n)A解析(ji x)設(shè)ABh，則ADeq f(h,sin )，CAD，eq f(CD,sin()eq f(AD,sin ).eq f(a,sin()eq f(h,sin sin )，heq f(asin sin ,sin().3臺(tái)風(fēng)(

9、tifng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的持續(xù)時(shí)間為()A0.5小時(shí) B1小時(shí) C1.5小時(shí) D2小時(shí)答案B解析設(shè)t小時(shí)后，B市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)，則由余弦定理得：(20t)2402220t40cos 45302.化簡得：4t28eq r(2)t70，t1t22eq r(2)，t1t2eq f(7,4).從而|t1t2|eq r(t1t2)24t1t2)1.4甲船在島B的正南A處，AB10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60的方向駛?cè)ギ?dāng)甲、乙兩

10、船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是()A.eq f(150,7)分鐘 B.eq f(15,7)小時(shí) C21.5分鐘 D2.15分鐘答案A解析設(shè)行駛x h后甲到點(diǎn)C，乙到點(diǎn)D，兩船相距y km，則DBC18060120.y2(104x)2(6x)22(104x)6xcos 12028x220 x10028eq blc(rc)(avs4alco1(xf(5,14)2eq f(25,7)100當(dāng)xeq f(5,14)小時(shí)eq f(150,7)分鐘，y2有最小值y最小二、填空題5.如圖所示，測量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D，現(xiàn)測得BCD=，BDC=，CD=s，并在點(diǎn)C

11、測得塔頂A的仰角為，則塔高AB為_.答案 .解析 在BCD中，CBD=-.由正弦定理，得BC= 在RtABC中，AB = BCtanACB = ，如圖，一貨輪(huln)航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15，與燈塔(dngt)S相距20海里(hil)，隨后貨輪按北偏西30的方向航行30分鐘后，又測得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為_海里/小時(shí)答案 解析由題意，SMN=45，SNM=105，NSM=30.有正弦定理得，MN = ,則v貨= 海里/小時(shí).7太湖中有一小島，沿太湖有一條正南方向的公路，一輛汽車測得小島在公路的南偏西15的方向上，汽車行駛1 km后，又測得小島在南偏西75的方向

12、上，則小島離開公路的距離是_ km.答案eq f(r(3),6)解析如圖，CAB=15，CBA=18075=105，ACB=18010515=60，AB=1 km.BC= ， (km)設(shè)C到直線AB的距離為d，則d = BCsin 75=(km)三、解答題8.如圖所示，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向(fngxing)航行，乙船按固定方向勻速直線航行當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105方向(fngxing)的B1處，此時(shí)兩船相距20海里(hil)當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里問乙船每小時(shí)航行多少海里？解如圖所示，連結(jié)A1B2，由已知A2B2=10，A1A2=30=10，A1A2=A2B2，