微分方程模型假設和建立

1、微分方程模型假設和建立一階微分方程的一般形式為：4.1 利用微元法建立微分方程模型問題1 高速公路上汽車總數模型從A城市到B城市有條長30KM 的高速公路，某天公路上距A城市X KM 處的汽車密度（每千米多少輛車計）為p（x）=300+300sin(2x+0.2).請計算該高速公路上的汽車總數一 模型的假設假設從A城市到B城市的高速路是封閉的，路上沒有其他出口二 變量說明W 高速公路上的汽車總數三 模型的分析與建立利用微元法，在x,x+dx路段上，可將汽車密度視為常數，車輛數為dW=300+300sin(2x+0.2)dx所以高速公路上的汽車總數為：四 模型的求解用MATLAB計算syms x

2、int(300+300*sin(2*x+0.2),x,0,30)ans=9.2779e+003所以高速公路上的汽車總量約為9278輛微元法建立微分方程模型的一般步驟對于實際問題，若各種研究對象在整體范圍內為變化的，但經過分割后的局部分為內可以近似地認為是不變的，則可以在確定了變量以及取值范圍后，用以下步驟即建立微分方程模型第一步用近似方法確定微元寫出整體量U在自變量任一小區(qū)間x,x+dx上的微元dU=f(x)dx,即得微分方程第二步寫出定積分式以所求變量U的微元f(x)dx為被積表達式，寫出在區(qū)間a,b上的定積分，得上述方法稱為微元法。問題2 學生宿舍的規(guī)模模型2005年年底的一項統(tǒng)計數據顯示

3、：新欣寄宿學校的在校生人數以 的速度遞增，其中x=0對應2005年，若學校目前在校生2000人，學生宿舍700間，每間最多可容納6人。（1）請預測2015年學校有多少學生（2）到2015年學校最多能容納多少學生？若不能容納，至少還需修建多少間宿舍？一 模型的假設1.假設今后10年學校的在校生人數均按的速度遞增，不能出現其他變故2假設宿舍10年后還能正常使用二 變量說明P(t) 從2005年起的第t年新欣學校的在校人數三 模型的建立利用微元法，在區(qū)間x,x+dx上，可將學校在校人數的增長率視為常數，增加的人數為所以2015年新欣學校的在校生人數為四 模型的求解syms xint(280*exp(

4、0.2*x),x,0,10)ans=1400*exp(2)-1400 ans=1400*exp(2)-1400ans=8.9447e+003五 結果分析通過計算可知，10年后學校將有近8945名學生。而學校現有宿舍700間，按每間最多容納6人，最多可容納700*6=4200名學生差8945-4200=4745個床位則缺47456=791間宿舍。已知導數，建立和求解微分方程模型的方法問題三 森林可被砍伐年限模型2000年林業(yè)部門對某伐木場砍伐樹木的統(tǒng)計數據表明，該伐木廠砍伐樹木的速度為其中t=0對應2000年（1）請預測今后5年伐木廠將砍伐多少樹木（2）如果空中偵察發(fā)現該片森林的木材儲量為8百萬

5、方，那么該片森林可供砍伐多少年？一 模型假設1.假設森林的木材被砍伐后不再生長，即木材儲量不再增加。2.假設該森林只有這一家伐木場。二 變量說明W(t) 第t年伐木廠將砍伐的樹木（單位：百萬方）Q 森林的木材儲量（單位：百萬方）X 可供砍伐的年數三 模型的建立對于第一問：因為砍伐樹木的速度為砍伐樹木的數量關于時間的變化率，即對于第二問：當森林的木材儲量為Q百萬方時，設第x年砍伐完，則有四 模型求解對于問題一syms xint(2*exp(-0.2*t),t,0,5)ans=-10*exp(-1)+10 -10*exp(-1)+10對于問題2將Q=8代入模型，則有syms x;solve(-10

6、*exp(-15*x)+10=8,x)ans=5*log(5) 5*log(5)五 結果分析今后5年將砍伐百萬方木材而且最多可供砍伐8年多一點。問題4 飛行跑道的設計模型波音727噴氣式客機起飛時的速度為360km/h，如果要求一架波音727噴氣式客機在50s內勻速地將速度提到起飛速度，問設計的跑道至少應多長？一 模型的準備先進行單位換算，50s等于50/3600=1/72h二 模型假設1.假設飛行跑道為直線型跑道2.假設飛機在跑道上勻加速行駛50s，起飛時的速度為360km/h三 變量說明a km/h 飛機在跑道上行駛的勻加速度v(t) t時刻的速度S 跑道長度s(t) t時刻飛機行駛的距離

7、四 模型的建立和求解由速度與加速度的關系知道：a=dv/dt,即dv=a*dt 根據題意，飛機要在t=1/72(h)內勻加速的將速度提到360km/h，有即 360=1/72a，所以a=360*72=25920(km/h2)因v(0)=0,所以速度為v(t)=25920t再利用路程與速度之間的關系v(t)=ds(t)/dt得路程s(t)為將1/72代入上式，得跑道的最短長度為：所以設計飛行跑道的最短距離為注意1.在建立和求解數學模型時，一定要注意問題所給單位（量綱）是否一致，若不一致，必須先進行處理2.已知變化率，要達到預定的設計要求，可以通過建立和求解所求量的微分方程得以解決。一般地，與變化

8、率有關的問題均可建立微分方程模型問題5 生活垃圾的總量預測模型中國既是一個人口大國，又是一個垃圾生產大國。隨著人類生產和生活的不斷發(fā)展，由此而產生的垃圾給生態(tài)環(huán)境及人類生存帶來極大的威脅，成為重要的社會問題。請查閱相關文獻，搜集垃圾產量數據，在此基礎上建立城市生活垃圾產量中短期預測模型，并分析模型的準確性和實用性一 模型的準備通過查閱資料，獲得以下數據：城市生活垃圾的年增長率達8%10%。僅2000年的垃圾產量就達億噸，預計到2010年垃圾產量約2億噸。二 模型假設假設2000年我國的垃圾產量為億噸三 變量說明R(t) 第t年我國的生活垃圾（單位：億噸）K 垃圾的增長速度（單位：億噸/年）四

9、模型的建立利用微元法，第t年到第t+t年間垃圾的增長量為：R(t)=R(t+t)- R(t)=kR(t)* t方程兩邊同時除以t，并令t趨于0，由此建立微分方程：dR/dt=kR,初始條件為R(0)=1.4(億噸)五 模型的求解解法一1.求通解將代入模型，分離變量得兩端積分得2.求特解將初始條件R（0）（億噸）代入通解，得C=1.4.于是滿足該問題的特解為：R（t）由此可知，2010年的垃圾產量約為（億噸）解法二dsolve(DR=0.08*R,R(0)=1.4)ans=(7*exp(2*t)/25)/5從而R（t）。把t換成10，即的 (7*exp(2*10)/25)/5結果分析網址中預測2

10、010年我們的垃圾生產量為億噸，本模型計算結果略大于網上預測。因為年生增長速度可能受社會發(fā)展水平、人們的環(huán)保意識等的變化而變化，因此，此模型所得結果僅能作為短期的初步預測值。建立微分方程模型的一般步驟與方法一般地，若影響問題的因素較多，以致難以迅速地建立微分方程模型，或問題不是直接由變化率求總改變量時。則可以通過以下步驟完成微分方程模型的建立：第一步：如果自變量為x，因變量為y。先分析當自變量從x變到x+x時相應的函數y的改變量y第二步：方程兩邊同時除以x，并令x趨于0，即得微分方程。用機理分析法建立微分方程問題6：體內藥物分析模型某人突然開始強烈氣喘，醫(yī)生立即給他一次性注射茶堿藥物，可以想象

11、藥物是進入了一個容積為35000ML的分隔區(qū)間（這一容積就是人體內藥物可以達到的空間的總體積），藥物離開病人身體的速度與體內藥物的多少成正比，比例常數為。試建立藥物濃度c(t)所滿足的微分方程一 模型的假設1.假設病人身體內最初不含這種藥物2.假設人體體液的總體積為V=35000ML二 變量說明X(t) t時刻人體內的藥物量D 一次注入體內的藥物量三 模型的建立藥物離開人體的速度dx(t)/dt與體內藥量x成正比，即：dx/dt=-kxx(0)=D其中，初始條件為四 模型求解解法一1.求通解x(t)=De-kt藥物的濃度為C(t)=x(t)/V=De-kt/V2.求特解將初始條件代入通解，得D

12、=43.2.又因為V=35000，所以滿足該條件的特解為解法2dsolve(Dx=-0.082*x，x(0)=43.2)ans=216/(5*exp(41*t)/500)模型推廣如果此病人每隔4h注射一次藥，試建立藥物濃度所滿足的微分方程模型問題7 刑事偵察中死亡時間的鑒定模型某地發(fā)生一起謀殺案。刑偵人員測得尸體溫度為30C，此時是下午四點整，假設該人被謀殺前的體溫為37C，被殺兩個小時后尸體溫度為35C，周圍空氣的溫度為20C，試推斷謀殺是何時發(fā)生的？一 模型的假設1.假設尸體的溫度按牛頓冷卻定律開始下降，即尸體冷卻速度與尸體溫度和空氣溫度之差成正比。（牛頓冷卻定律：物理在空氣中冷卻的速度與

13、物體溫度和空氣溫度之差成正比）2.假設尸體的最初溫度為37C，兩小時后尸體溫度為35C。且周圍空氣的溫度保持20C不變。3.假設尸體被發(fā)現時的溫度是30C，時間是下午4點整二 變量說明H(t) 尸體的溫度二 模型的建立由于尸體的冷卻速度dH/dt與尸體溫度H和空氣溫度之差成正比，設比例系數為k，則：Dh/dt=-k(H-20)初始條件為H(0)=37四 模型的求解解法一1.求通解分離變量得dH/(H-20)=-kdt兩端積分得H-20=Ce-kt2.求特解將初始條件H(0)=37代入通解，得C=17.于是滿足該問題的通解為：H=20+17e-kt為求出k值，根據兩小時后尸體溫度為35這一條件，

14、有：35=20+17e-k*2求得，于是尸體的溫度函數為將H=30，代入上式有得t=8.4(h)解法二dsolve(DH=-0.063*(H-20),H(0)=37)ans=17/exp(63*t)/1000)+20solve(30=20+17/exp(63*t)/1000),t)ans=-(1000*log(10/17)/63 -(1000*log(10/17)/63結果分析由分析可以判定謀殺發(fā)生在下午四點尸體被發(fā)現前的小時，即在上午7點36分發(fā)生的。模型的推廣 冷卻問題將溫度為 物體放在溫度為24 的空氣中冷卻，經10min后，物體溫度降為 。問t=20min時，物體的溫度是多少？ 牛頓冷

15、卻定理：物體在空氣中的冷卻速度與該物體的溫度及空氣溫度之差成正比。 解：設物體的溫度T隨時間t的變化規(guī)律為T=T(t)，則由冷卻定律及條件可得 其中 為比例函數，k為常數,負數表示溫度下降的兩邊求積分得 T= +24 且t=0時 =150t=10時 所以 -10k+ln126= ln 76 10k=ln126-ln76 當t=20時， = = 減肥的數學模型1.問題提出 隨著人們生活水平的提高,肥胖成為世人關注的問題,減肥健美之美日盛,但如何減肥,才能達到預期效果？1.體重標準:亞洲人超出標準體重10的，稱為超重。超出標準體重的20，稱為肥胖。 2.問題分析2.肥胖的特征:脂肪過多,如果人吸收含過多熱量的食物,則人體中這些過多的熱量就會轉化為脂肪而使體重增加.3.減肥的途徑:減少飲食,增加新陳代謝、工作及體育鍛煉及變量說明 (1)設某人每天從食物中攝取的熱量是aJ，其中 bJ用于新陳代謝(自動消耗),工作、生活每