09建筑與幾何學(xué)三新第九講

1、 建筑與幾何學(xué)（三）橡皮幾何與拓?fù)渥儞Q張 弘清華大學(xué)建筑學(xué)院建筑數(shù)學(xué)第九講拓?fù)鋷缀胃攀鐾負(fù)鋷缀问桥c平面幾何、立體幾何等其他類型幾何學(xué)研究截然不同的幾何門類。通常的平面幾何或立體幾何研究的對(duì)象是點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系以及它們的度量性質(zhì)。而拓?fù)鋷缀窝芯康倪^(guò)程卻并不用知道棱長(zhǎng)及定量關(guān)系、不用計(jì)算面積、體積，也沒(méi)有復(fù)雜的計(jì)算公式，事實(shí)上，拓?fù)鋷缀螌?duì)于研究對(duì)象的長(zhǎng)短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系都無(wú)關(guān)。它思考問(wèn)題的基本出發(fā)點(diǎn)是:僅需考慮點(diǎn)和線的個(gè)數(shù)，以及相互順序關(guān)系。在拓?fù)鋵W(xué)中沒(méi)有不能彎曲的元素,每一個(gè)圖形的大小、形狀都可改變，因此，拓?fù)鋷缀我步邢鹌缀危菊n主要內(nèi)容包括橡皮幾何與拓?fù)渥儞Q、莫

2、比烏斯帶、以及與拓?fù)淅砟钕嚓P(guān)的建筑設(shè)計(jì)案例等。橡皮幾何與拓?fù)渥儞Q橡皮幾何、拓?fù)渫瑯?gòu)、拓?fù)渥儞Q拓?fù)鋷缀握页雠c其他三張不同的一張拓?fù)鋷缀巍跋鹌缀巍?以色列的一位城市規(guī)劃學(xué)者在清華建筑學(xué)院做講座，說(shuō)到老北京的街道都是南北正交，而中東的城市街道彎曲。兩者的街道形態(tài)在拓?fù)渖稀巴瑯?gòu)”的，每一個(gè)交叉口都是兩條街道相交。 一個(gè)幾何圖形任意“拉扯”（就像畫(huà)在橡皮上），只要不發(fā)生割裂和粘接，可做任意變形，稱為“拓?fù)渥冃巍?。兩個(gè)圖形通過(guò)“拓?fù)渥冃巍笨梢宰兊孟嗤?，則稱這兩個(gè)圖形是“拓?fù)渫瑯?gòu)” 。 拓?fù)鋷缀窝芯繋缀螆D形在一對(duì)一連續(xù)變換中不變的性質(zhì)。不考慮幾何圖形的尺寸、面積、體積等度量性質(zhì)和具體形狀。 北大方正的王選

3、就是研究漢字的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，找到了表達(dá)和識(shí)別漢字的一種優(yōu)化方法，發(fā)明了激光照排系統(tǒng)。 上述圓、三角形、方形和任意封閉曲線同構(gòu) 在拓?fù)渥儞Q中封閉圍線的“內(nèi)”和“外”的區(qū)分不變，邊線上點(diǎn)的順序不變。 上述四個(gè)圖形不同構(gòu)：封閉曲線，開(kāi)口曲線，有一個(gè)三叉點(diǎn)的開(kāi)口曲線，有一個(gè)四叉點(diǎn)和兩個(gè)封閉域的封閉曲線 在拓?fù)渥儞Q中。端點(diǎn)、三叉點(diǎn)、四叉點(diǎn)、封閉域數(shù)量不變。拓?fù)鋷缀瓮負(fù)渫瑯?gòu) 歐美小住宅和中國(guó)四合院的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同，前者與球同構(gòu)，后者與輪胎同構(gòu)。球和立方體同構(gòu)，與輪胎不同構(gòu)。拓?fù)鋷缀瓮負(fù)渫瑯?gòu) 放射形街道方格形街道拓?fù)鋷缀螐耐負(fù)渫瑯?gòu)到拓?fù)渫呱鲜鰞蓮垐D片是否可以通過(guò)拓?fù)渥儞Q互相轉(zhuǎn)化？在拓?fù)鋵W(xué)中，兩個(gè)流形，如果可以通

4、過(guò)彎曲、延展、變形等操作把其中一個(gè)變?yōu)榱硪粋€(gè)，則認(rèn)為兩者是拓?fù)渫叩模ê?jiǎn)稱同胚）。如：圓和正方形是同胚的，而球面和環(huán)面就不是同胚的。拓?fù)鋷缀瓮負(fù)渫叩呐卸?拓?fù)鋷缀瓮負(fù)渫叩呐卸?上堂課曾提到，對(duì)于柏拉圖多面體有:V：頂點(diǎn)數(shù)；F：面數(shù)；E：棱邊數(shù)拓?fù)鋷缀瓮負(fù)渫吲卸ǖ臍W拉公式 歐拉注意到如果一個(gè)閉曲面能連續(xù)地形變到一個(gè)閉的多面體，那么 這里 h 是環(huán)柄個(gè)數(shù)（也叫虧格數(shù)）2(1-h) 稱為歐拉數(shù)拓?fù)鋷缀瓮負(fù)渫吲卸ǖ臍W拉公式右圖上下對(duì)應(yīng)圖形為拓?fù)渫咴煨?，自左到右各組造型的環(huán)柄數(shù)分別為 1, 2, 3拓?fù)鋷缀蔚罔F時(shí)空地圖變換中的拓?fù)渫咄負(fù)鋷缀蔚罔F時(shí)空地圖變換中的拓?fù)渫?頭顱拓?fù)浔容^，看動(dòng)物的

5、進(jìn)化。拓?fù)鋷缀瓮負(fù)渫瑯?gòu)的應(yīng)用 封閉圍線構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，如何判別“里”與“外”呢？在圖形的“外”部確定一點(diǎn)，這容易判定，只要它離圖形足夠遠(yuǎn)。從這一點(diǎn)出發(fā)到需判定的點(diǎn)的路徑，如果和圍線（邊界）相交奇數(shù)次，則需判定的點(diǎn)在“里”，如果和圍線（邊界）相交偶數(shù)次，則需判定的點(diǎn)在“外”。當(dāng)然首選的出發(fā)點(diǎn)在“里”，從此點(diǎn)到需判定的點(diǎn)的路徑，如果和圍線（邊界）相交奇數(shù)次，則需判定的點(diǎn)在“外”，如果和圍線（邊界）相交偶數(shù)次，則需判定的點(diǎn)在“里”。拓?fù)鋷缀螒?yīng)用封閉圖形的“里”與“外”拓?fù)鋷缀沃淮嬖?種正多面體的證明解上述不等式得：i） n=3時(shí)，m=3、4、5ii） n=4時(shí)，m=3iii) n=5時(shí)，m=3若以

6、 表示這個(gè)正多面體，則（3，3）正四面體 、（3、4）正八面體 、（3、5）正二十面體（4、3）正六面體 、（5、3）正十二面體拓?fù)鋷缀沃淮嬖?種正多面體的證明平行投影錐形投影拓?fù)渥儞Q首先可以把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題 正4-面體正8-面體正6-面體正12-面體正20-面體拓?fù)鋷缀沃淮嬖?種正多面體的證明拓?fù)鋷缀沃淮嬖?種正多面體的證明拓?fù)渥C明：頂點(diǎn)數(shù) V、棱數(shù) E 和面數(shù) F 的性質(zhì)都可以由每個(gè)面上的邊（棱）的數(shù)目 p 和每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的棱的數(shù)目 q 給出。由于每條棱有兩個(gè)頂點(diǎn)又在兩個(gè)面上，因此： 另一個(gè)關(guān)系是歐拉公式: 綜合上面等式，得到：于是由于 ， 因此：注意到 p 和 q 必須大

7、于等于 3，我們可以容易地找到所有五組 (p, q)：高校教材中國(guó)建筑史第五版 P229 “拓?fù)渫瑯?gòu)圖”拓?fù)鋷缀瓮負(fù)渫瑯?gòu)與建筑學(xué) 高校教材中國(guó)建筑史第五版 P228 “四、同構(gòu)關(guān)系與自然秩序”拓?fù)鋷缀瓮負(fù)渫瑯?gòu)與建筑學(xué) 門廳傭人房廚房餐廳客廳書(shū)房臥室臥室臥室WCWCWC功能分析圖拓?fù)鋷缀瓮負(fù)渫瑯?gòu)與建筑學(xué) 萊特設(shè)計(jì)的三個(gè)住宅的平面是拓?fù)渫瑯?gòu)的。參見(jiàn)建筑設(shè)計(jì)與人文科學(xué)拓?fù)鋷缀瓮負(fù)渫瑯?gòu)與建筑學(xué) 拓?fù)鋷缀闻卸ǚ忾]圖形的“里”與“外”判定方法也可簡(jiǎn)述為： 從外到里，從里到外的路徑與邊界交奇數(shù)次；從外到外，從里到里的路徑與邊界交偶數(shù)次。路徑可以是曲折的，也可以穿過(guò)邊界進(jìn)進(jìn)出出。 對(duì)于建筑而言，房屋就是封閉圖

8、形（體），人流流線就是“路徑”，墻是“邊界”，墻上的門就是“交點(diǎn)”。上圖a.b.c.d四點(diǎn)在曲線內(nèi)部還是外部？莫比烏斯帶與克萊因瓶莫比烏斯帶、克萊因瓶 莫比烏斯（ Augustus F. Mbius ， 17901868）德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家 將一個(gè)長(zhǎng)方形紙條的一端固定，另一端扭轉(zhuǎn)半周后，把兩端粘合在一起 ，得到的曲面就是莫比烏斯帶。 用一種顏色，在紙圈上面涂抹，畫(huà)筆沒(méi)有越過(guò)紙邊，卻把整個(gè)紙圈涂抹成一種顏色，不留下任何空白?；?，一個(gè)螞蟻不越出紙邊，就可以爬過(guò)紙面所有表面。 莫比烏斯帶 Mbius Strip莫比烏斯帶 Mbius Strip試驗(yàn)：在裁好的一條紙帶正中間畫(huà)兩條線（三等分帶子寬度，

9、正反兩面都畫(huà)上線），粘成莫比烏斯帶，然后沿線剪開(kāi)，結(jié)果又會(huì)怎樣？沿著線剪的時(shí)候，要不要剪完一條線，再剪另一條線？ 特性總結(jié)：（1）莫比烏斯帶只存在一個(gè)面。（2）如果沿著莫比烏斯帶的中間剪開(kāi)，將會(huì)形成一個(gè)比原來(lái)的莫比烏斯帶空間大一倍的、具有正反兩個(gè)面的環(huán)。（3）如果再沿著環(huán)的中間剪開(kāi)，將會(huì)形成兩個(gè)具有正反兩個(gè)面的環(huán)，且這兩個(gè)環(huán)是相互套在一起的。 馬清運(yùn)設(shè)計(jì)的莫比烏斯造型雕塑扎哈設(shè)計(jì)的莫比烏斯造型雕塑莫比烏斯的其他應(yīng)用 莫比烏斯帶的建筑造型概念北京設(shè)計(jì)院：北京鳳凰傳媒中心 美國(guó)著名輪胎公司百路馳把傳送帶制成莫比烏斯圈形狀，這樣一來(lái)，整條傳送帶環(huán)面各處均勻地承受磨損，避免了普通傳送帶單面受損的情況，

10、使得其壽命延長(zhǎng)了近一倍。 針式打印機(jī)靠打印針擊打色帶在紙上留下一個(gè)一個(gè)的墨點(diǎn)，為充分利用色帶的全部表面，色帶也常被設(shè)計(jì)成莫比烏斯圈。還有莫比烏斯電阻不會(huì)產(chǎn)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象、莫比烏斯圈循環(huán)往復(fù)的幾何特征，蘊(yùn)含著永恒、無(wú)限的意義，因此常被用于各類標(biāo)志設(shè)計(jì)。廠商Power Architecture的商標(biāo)就是一條莫比烏斯圈，還有Aramov公司的商標(biāo)，甚至垃圾回收標(biāo)志也是由莫比烏斯圈變化而來(lái)。 扭結(jié)三葉結(jié) 旋轉(zhuǎn)三個(gè)半圈的莫比烏斯帶再剪開(kāi)后會(huì)形成一個(gè)三葉結(jié)。三葉結(jié)形態(tài)的應(yīng)用埃舍爾創(chuàng)作的三葉結(jié)國(guó)家科技館的三葉結(jié)雕塑扭結(jié)三葉結(jié) 克萊因瓶Klein Bottle 三維空間中的克萊因瓶，沒(méi)有“內(nèi)部”和“外部”之分

11、。由德國(guó)數(shù)學(xué)家菲利克斯克萊因提出的?？巳R因瓶和莫比烏斯帶非常相像?？巳R因瓶的結(jié)構(gòu)是，一個(gè)瓶子底部有一個(gè)洞，現(xiàn)在延長(zhǎng)瓶子的頸部，并且扭曲地進(jìn)入瓶子內(nèi)部，然后和底部的洞相連接。這個(gè)物體沒(méi)有“邊”，它的表面不會(huì)終結(jié)。一只爬在“瓶外”的螞蟻，可以輕松地通過(guò)瓶頸而爬到“瓶?jī)?nèi)”去?？巳R因瓶是一個(gè)在四維空間中才可能真正表現(xiàn)出來(lái)的曲面， 把克萊因瓶沿著它的對(duì)稱線切下去，得到兩個(gè)莫比烏斯帶。 克萊因瓶Klein Bottle把克萊因瓶投影到平面上，是和中國(guó)陰陽(yáng)圖同構(gòu)的。復(fù)雜的克萊因瓶克萊因瓶Klein BottleThe Lawson-Klein bottle克萊因瓶Klein BottleThe 8-Klei

12、n bottle克萊因瓶Klein Bottle克萊因瓶Klein Bottle七橋、四色問(wèn)題與突變理論七橋問(wèn)題與一筆畫(huà)判定、四色問(wèn)題與地圖染色突變理論與拓?fù)淠Ｐ?哥尼斯堡七橋問(wèn)題 哥尼斯堡城，城中有一座島，普雷格爾河的兩條支流環(huán)繞其旁，并將整個(gè)城市分成北區(qū)、東區(qū)、南區(qū)和島區(qū)4個(gè)區(qū)域，全城共有7座橋?qū)?個(gè)城區(qū)連接起來(lái)，如左圖所示。問(wèn)題是，一個(gè)人是否能在一次步行中穿越全部的七座橋后回到起點(diǎn)，且每座橋只經(jīng)過(guò)一次。 哥尼斯堡七橋問(wèn)題 1736年，當(dāng)人們將這一問(wèn)題向歐拉請(qǐng)教時(shí)，歐拉用A、B、C、D表示4個(gè)城區(qū)，用7條線表示7座橋，將哥尼斯堡七橋問(wèn)題抽象為一個(gè)圖的模型，如右圖所示，求經(jīng)過(guò)圖中每條邊一次且

13、僅一次的回路（歐拉回路），歐拉論證了在哥尼斯堡七橋問(wèn)題中，這樣的回路不存在。 拓?fù)渫瑯?gòu)下減少地下管線的交叉。上圖：水、氣、電供2個(gè)建筑，下圖供3個(gè)建筑。哥尼斯堡七橋問(wèn)題的應(yīng)用 哥尼斯堡七橋問(wèn)題 后來(lái)歐拉將這一問(wèn)題進(jìn)行了一般化處理：對(duì)于任意多的節(jié)點(diǎn)和任意多的連線，給出了是否存在歐拉回路的判定規(guī)則：（1）如果連接奇數(shù)條線的節(jié)點(diǎn)多于兩個(gè)，則不存在歐拉回路；（2）如果連接奇數(shù)條線的節(jié)點(diǎn)只有兩個(gè)，可以從其中之一出發(fā)，到另一節(jié)點(diǎn)結(jié)束，找到歐拉回路；（3）如果沒(méi)有一個(gè)節(jié)點(diǎn)連接奇數(shù)條線，則無(wú)論從哪里出發(fā)，都能找到歐拉回路。 一個(gè)線狀圖能一筆畫(huà)的充分必要條件是：沒(méi)有奇點(diǎn)或者只有兩個(gè)奇點(diǎn)。 一筆畫(huà)判定 一筆畫(huà)判定

14、 一筆畫(huà)判定 1852年，英國(guó)的一個(gè)大學(xué)生格思里（ Francis Guthrie ）在一家科研單位搞地圖著色時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色?！?四色定理。 此后一百多年，四色問(wèn)題仍未解決。1969年，赫切（Heinrich Heesch）發(fā)表了一個(gè)用計(jì)算機(jī)解決此問(wèn)題的方法。直到1976年，美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的阿佩爾(Appel)和哈肯(Haken)在電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，完成了四色定理的證明，轟動(dòng)了世界。 四色定理是第一個(gè)主要由電腦證明的理論，這一證明并不被所有的數(shù)學(xué)家接受，因?yàn)椴捎玫姆椒ú荒苡扇斯ぶ苯域?yàn)

15、證。最終，人們必須對(duì)電腦編譯的正確性以及運(yùn)行這一程序的硬件設(shè)備充分信任。主要是因?yàn)榇俗C明缺乏數(shù)學(xué)應(yīng)有的規(guī)范，以至于有人這樣評(píng)論“一個(gè)好的數(shù)學(xué)證明應(yīng)當(dāng)像一首詩(shī)而這純粹是一本電話簿！”四色定理 雖然四色定理證明了任何地圖可以只用四個(gè)顏色著色，但是這個(gè)結(jié)論對(duì)于現(xiàn)實(shí)上的應(yīng)用卻相當(dāng)有限。現(xiàn)實(shí)中的地圖常會(huì)出現(xiàn)飛地，即兩個(gè)不連通的區(qū)域?qū)儆谕粋€(gè)國(guó)家的情況（例如美國(guó)的阿拉斯加州），而制作地圖時(shí)我們?nèi)詴?huì)要求這兩個(gè)區(qū)域被涂上同樣的顏色，在這種情況下，四個(gè)顏色將會(huì)是不夠用的。四色定理 兩色填充條件單線輪廓三色填充的一般情況四色填充簡(jiǎn)化模型 突變論 catastrophe theory 在自然界和人類社會(huì)活動(dòng)中，除了

16、漸變的和連續(xù)光滑的變化現(xiàn)象外，還存在著大量的突然變化的現(xiàn)象，如水的沸騰、地層的斷裂，火山的噴發(fā)、橋梁的崩塌、細(xì)胞的分裂、生物的變異、人的休克、情緒的波動(dòng)、戰(zhàn)爭(zhēng)、市場(chǎng)變化、經(jīng)濟(jì)危機(jī)等等。 突變論用形象而精確的數(shù)學(xué)模型（拓?fù)淠Ｐ停﹣?lái)描述和預(yù)測(cè)事物的連續(xù)性中斷的突變過(guò)程。突變論是20世紀(jì)60年代末法國(guó)數(shù)學(xué)家托姆提出來(lái)的。1967年托姆發(fā)表形態(tài)發(fā)生動(dòng)力學(xué)一文，闡述突變論的基本思想，1968年發(fā)表生物學(xué)中的拓?fù)淠Ｐ?，用拓?fù)淠Ｐ偷男问奖硎隽松锛?xì)胞分裂中的各種情況，為突變論奠定了基礎(chǔ)。 突變論 catastrophe theory 更為形象地解釋這一理論：假想有一只玻璃瓶放在桌面上， 它處在一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)

17、，沒(méi)有任何變化，此為穩(wěn)定平衡（Stable Equilibrium），用手指輕推瓶頸，不要太用力。這時(shí)變化產(chǎn)生，玻璃瓶晃動(dòng)起來(lái)，它在通過(guò)一種連續(xù)性的方式來(lái)吸收變化， 此為不穩(wěn)定平衡（Unstable Equilibrium）。如果停止推力，玻璃瓶將恢復(fù)到它的理想穩(wěn)定狀態(tài)。然而，如果繼續(xù)用力推下去，在推力達(dá)到一定程度的時(shí)候，玻璃瓶便會(huì)倒下， 由此又進(jìn)入了一種新的穩(wěn)定平衡狀態(tài)。玻璃瓶的狀態(tài)在這一瞬間就發(fā)生了突變， 一個(gè)非連續(xù)性的變化就這樣產(chǎn)生了：在玻璃瓶下跌的過(guò)程中，沒(méi)有任何可能的穩(wěn)定中間狀態(tài)，直到它完全倒伏在桌面上為止。 再比如拆一堵墻，如果從上面開(kāi)始一塊塊地把磚頭拆下來(lái)，整個(gè)過(guò)程就是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的

18、漸變過(guò)程。如果從底腳開(kāi)始拆墻，拆到一定程度，就會(huì)破壞墻的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，墻就會(huì)嘩啦一聲，倒塌下來(lái)，這種結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性就是突變。 托姆詳細(xì)研究了各種突變現(xiàn)象以后，用數(shù)學(xué)拓?fù)淠Ｐ瓦M(jìn)行了描述和分類。他證明并得出結(jié)論，在控制空間不超過(guò)四維的情況下，盡管突變現(xiàn)象形形色色，但總可以歸納為：折疊、尖點(diǎn)、燕尾、蝴蝶、橢圓型臍點(diǎn)、雙曲型臍點(diǎn)、拋物型臍點(diǎn)等七種基本類型，其中每一種都有其基本特征。這樣，他在奇點(diǎn)理論的基礎(chǔ)上，以結(jié)構(gòu)穩(wěn)定這一拓?fù)鋵W(xué)命題為基本概念。1972年，托姆出版了結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和形態(tài)發(fā)生學(xué)一書(shū)，建立了突變理論。突變論 catastrophe theory 尖點(diǎn)型突變蝴蝶型突變 狗咬人是一種進(jìn)攻行為，這種進(jìn)攻

19、行為受兩個(gè)互相矛盾的傾向所約束：發(fā)怒或恐懼。這兩種因素在某種程度上可以測(cè)量出來(lái)，而這兩種行為之間的轉(zhuǎn)變是一種不連續(xù)的變化。一只狗的發(fā)怒情況和張嘴、露齒的程度有關(guān)，而恐懼程度則可以由它的耳朵向后拉平程度反映出來(lái)。把這兩種行為和數(shù)學(xué)模型結(jié)合起來(lái)，就可計(jì)算出狗是進(jìn)攻還是逃跑。 用“突變論”一詞在百度上搜索，可以看到突變論的廣泛應(yīng)用：突變論在經(jīng)濟(jì)預(yù)警中的應(yīng)用淺析突變論對(duì)心理學(xué)的影響試探周易與突變論突變論關(guān)于漢字起源方式的探索突變論在預(yù)防硫化礦自燃中的應(yīng)用研究 基于突變論的林火蔓延分析突變視域下的企業(yè)發(fā)展與管理人類大腦進(jìn)化基因突變論：高智商緣于短下巴多目標(biāo)突變論在城市用地發(fā)展方向決策中的應(yīng)用以撫順市為例

20、突變論 catastrophe theory 拓?fù)鋷缀卧诮ㄖO(shè)計(jì)的應(yīng)用莫比烏斯住宅、丹麥館、哈薩克國(guó)立圖書(shū)館、奔馳博物館 UN Studio將莫比烏斯環(huán)的概念發(fā)展成了一座建筑，位于阿姆斯特丹近郊的莫比烏斯住宅。建筑師以人在一天的活動(dòng)、位移為主線，運(yùn)用數(shù)字技術(shù)，將拓?fù)鋵W(xué)中的莫比烏斯環(huán)作為建筑生成的概念。 左圖描繪了夫婦兩人如何一起生活、分開(kāi)工作又如何相遇在共享空間。兩個(gè)人運(yùn)行自己的軌跡，有時(shí)匯合，有時(shí)甚至可能會(huì)互換角色。這個(gè)住宅混合了多種情況，將不同的行為置于一個(gè)環(huán)形結(jié)構(gòu)之中，工作、家庭生活、獨(dú)處都能在環(huán)形中找到自己的位置。材料（主要是玻璃和混凝土）相互依賴又轉(zhuǎn)換位置，混凝土結(jié)構(gòu)在內(nèi)部成為家具而

21、立面上的玻璃在內(nèi)部成為了隔墻。 莫比烏斯住宅 UN Studio 在這幢住宅里，作為垂直交通的樓梯成為莫比烏斯環(huán)形成的核心，樓梯扭轉(zhuǎn)了上下層的軸線，形成了全新的空間形式。莫比烏斯住宅 UN Studio 莫比烏斯住宅 UN StudioNM別墅 UN Studio 2007ICA 假日之家 UN Studio 2006鳳凰傳媒中心 北京院鳳凰傳媒中心 北京院67鳳凰傳媒中心 北京院 哈薩克斯坦新國(guó)家圖書(shū)館方案競(jìng)賽中，丹麥BIG事務(wù)所的設(shè)計(jì)作品取得了第一名?！霸O(shè)計(jì)是將穿越空間與時(shí)間的四個(gè)世界性經(jīng)典造型圓形、環(huán)形、拱形和圓頂形以莫比烏斯圈的形式融合在了一起。哈薩克斯坦國(guó)家圖書(shū)館 BIG哈薩克斯坦國(guó)家圖書(shū)館 B