09建筑與幾何學三新第九講

1、 建筑與幾何學（三）橡皮幾何與拓撲變換張 弘清華大學建筑學院建筑數(shù)學第九講拓撲幾何概述拓撲幾何是與平面幾何、立體幾何等其他類型幾何學研究截然不同的幾何門類。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質(zhì)。而拓撲幾何研究的過程卻并不用知道棱長及定量關系、不用計算面積、體積，也沒有復雜的計算公式，事實上，拓撲幾何對于研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量關系都無關。它思考問題的基本出發(fā)點是:僅需考慮點和線的個數(shù)，以及相互順序關系。在拓撲學中沒有不能彎曲的元素,每一個圖形的大小、形狀都可改變，因此，拓撲幾何也叫橡皮幾何，本課主要內(nèi)容包括橡皮幾何與拓撲變換、莫

2、比烏斯帶、以及與拓撲理念相關的建筑設計案例等。橡皮幾何與拓撲變換橡皮幾何、拓撲同構、拓撲變換拓撲幾何找出與其他三張不同的一張拓撲幾何“橡皮幾何” 以色列的一位城市規(guī)劃學者在清華建筑學院做講座，說到老北京的街道都是南北正交，而中東的城市街道彎曲。兩者的街道形態(tài)在拓撲上“同構”的，每一個交叉口都是兩條街道相交。 一個幾何圖形任意“拉扯”（就像畫在橡皮上），只要不發(fā)生割裂和粘接，可做任意變形，稱為“拓撲變形”。兩個圖形通過“拓撲變形”可以變得相同，則稱這兩個圖形是“拓撲同構” 。 拓撲幾何研究幾何圖形在一對一連續(xù)變換中不變的性質(zhì)。不考慮幾何圖形的尺寸、面積、體積等度量性質(zhì)和具體形狀。 北大方正的王選

3、就是研究漢字的拓撲結構，找到了表達和識別漢字的一種優(yōu)化方法，發(fā)明了激光照排系統(tǒng)。 上述圓、三角形、方形和任意封閉曲線同構 在拓撲變換中封閉圍線的“內(nèi)”和“外”的區(qū)分不變，邊線上點的順序不變。 上述四個圖形不同構：封閉曲線，開口曲線，有一個三叉點的開口曲線，有一個四叉點和兩個封閉域的封閉曲線 在拓撲變換中。端點、三叉點、四叉點、封閉域數(shù)量不變。拓撲幾何拓撲同構 歐美小住宅和中國四合院的拓撲結構不同，前者與球同構，后者與輪胎同構。球和立方體同構，與輪胎不同構。拓撲幾何拓撲同構 放射形街道方格形街道拓撲幾何從拓撲同構到拓撲同胚上述兩張圖片是否可以通過拓撲變換互相轉化？在拓撲學中，兩個流形，如果可以通

4、過彎曲、延展、變形等操作把其中一個變?yōu)榱硪粋€，則認為兩者是拓撲同胚的（簡稱同胚）。如：圓和正方形是同胚的，而球面和環(huán)面就不是同胚的。拓撲幾何拓撲同胚的判定?拓撲幾何拓撲同胚的判定 上堂課曾提到，對于柏拉圖多面體有:V：頂點數(shù)；F：面數(shù)；E：棱邊數(shù)拓撲幾何拓撲同胚判定的歐拉公式 歐拉注意到如果一個閉曲面能連續(xù)地形變到一個閉的多面體，那么 這里 h 是環(huán)柄個數(shù)（也叫虧格數(shù)）2(1-h) 稱為歐拉數(shù)拓撲幾何拓撲同胚判定的歐拉公式右圖上下對應圖形為拓撲同胚造型，自左到右各組造型的環(huán)柄數(shù)分別為 1, 2, 3拓撲幾何地鐵時空地圖變換中的拓撲同胚拓撲幾何地鐵時空地圖變換中的拓撲同胚 頭顱拓撲比較，看動物的

5、進化。拓撲幾何拓撲同構的應用 封閉圍線構成一個封閉圖形，如何判別“里”與“外”呢？在圖形的“外”部確定一點，這容易判定，只要它離圖形足夠遠。從這一點出發(fā)到需判定的點的路徑，如果和圍線（邊界）相交奇數(shù)次，則需判定的點在“里”，如果和圍線（邊界）相交偶數(shù)次，則需判定的點在“外”。當然首選的出發(fā)點在“里”，從此點到需判定的點的路徑，如果和圍線（邊界）相交奇數(shù)次，則需判定的點在“外”，如果和圍線（邊界）相交偶數(shù)次，則需判定的點在“里”。拓撲幾何應用封閉圖形的“里”與“外”拓撲幾何只存在5種正多面體的證明解上述不等式得：i） n=3時，m=3、4、5ii） n=4時，m=3iii) n=5時，m=3若以

6、 表示這個正多面體，則（3，3）正四面體 、（3、4）正八面體 、（3、5）正二十面體（4、3）正六面體 、（5、3）正十二面體拓撲幾何只存在5種正多面體的證明平行投影錐形投影拓撲變換首先可以把立體幾何問題轉化為平面幾何問題 正4-面體正8-面體正6-面體正12-面體正20-面體拓撲幾何只存在5種正多面體的證明拓撲幾何只存在5種正多面體的證明拓撲證明：頂點數(shù) V、棱數(shù) E 和面數(shù) F 的性質(zhì)都可以由每個面上的邊（棱）的數(shù)目 p 和每個頂點出發(fā)的棱的數(shù)目 q 給出。由于每條棱有兩個頂點又在兩個面上，因此： 另一個關系是歐拉公式: 綜合上面等式，得到：于是由于 ， 因此：注意到 p 和 q 必須大

7、于等于 3，我們可以容易地找到所有五組 (p, q)：高校教材中國建筑史第五版 P229 “拓撲同構圖”拓撲幾何拓撲同構與建筑學 高校教材中國建筑史第五版 P228 “四、同構關系與自然秩序”拓撲幾何拓撲同構與建筑學 門廳傭人房廚房餐廳客廳書房臥室臥室臥室WCWCWC功能分析圖拓撲幾何拓撲同構與建筑學 萊特設計的三個住宅的平面是拓撲同構的。參見建筑設計與人文科學拓撲幾何拓撲同構與建筑學 拓撲幾何判定封閉圖形的“里”與“外”判定方法也可簡述為： 從外到里，從里到外的路徑與邊界交奇數(shù)次；從外到外，從里到里的路徑與邊界交偶數(shù)次。路徑可以是曲折的，也可以穿過邊界進進出出。 對于建筑而言，房屋就是封閉圖

8、形（體），人流流線就是“路徑”，墻是“邊界”，墻上的門就是“交點”。上圖a.b.c.d四點在曲線內(nèi)部還是外部？莫比烏斯帶與克萊因瓶莫比烏斯帶、克萊因瓶 莫比烏斯（ Augustus F. Mbius ， 17901868）德國數(shù)學家、天文學家 將一個長方形紙條的一端固定，另一端扭轉半周后，把兩端粘合在一起 ，得到的曲面就是莫比烏斯帶。 用一種顏色，在紙圈上面涂抹，畫筆沒有越過紙邊，卻把整個紙圈涂抹成一種顏色，不留下任何空白?；颍粋€螞蟻不越出紙邊，就可以爬過紙面所有表面。 莫比烏斯帶 Mbius Strip莫比烏斯帶 Mbius Strip試驗：在裁好的一條紙帶正中間畫兩條線（三等分帶子寬度，

9、正反兩面都畫上線），粘成莫比烏斯帶，然后沿線剪開，結果又會怎樣？沿著線剪的時候，要不要剪完一條線，再剪另一條線？ 特性總結：（1）莫比烏斯帶只存在一個面。（2）如果沿著莫比烏斯帶的中間剪開，將會形成一個比原來的莫比烏斯帶空間大一倍的、具有正反兩個面的環(huán)。（3）如果再沿著環(huán)的中間剪開，將會形成兩個具有正反兩個面的環(huán)，且這兩個環(huán)是相互套在一起的。 馬清運設計的莫比烏斯造型雕塑扎哈設計的莫比烏斯造型雕塑莫比烏斯的其他應用 莫比烏斯帶的建筑造型概念北京設計院：北京鳳凰傳媒中心 美國著名輪胎公司百路馳把傳送帶制成莫比烏斯圈形狀，這樣一來，整條傳送帶環(huán)面各處均勻地承受磨損，避免了普通傳送帶單面受損的情況，

10、使得其壽命延長了近一倍。 針式打印機靠打印針擊打色帶在紙上留下一個一個的墨點，為充分利用色帶的全部表面，色帶也常被設計成莫比烏斯圈。還有莫比烏斯電阻不會產(chǎn)生電磁感應現(xiàn)象、莫比烏斯圈循環(huán)往復的幾何特征，蘊含著永恒、無限的意義，因此常被用于各類標志設計。廠商Power Architecture的商標就是一條莫比烏斯圈，還有Aramov公司的商標，甚至垃圾回收標志也是由莫比烏斯圈變化而來。 扭結三葉結 旋轉三個半圈的莫比烏斯帶再剪開后會形成一個三葉結。三葉結形態(tài)的應用埃舍爾創(chuàng)作的三葉結國家科技館的三葉結雕塑扭結三葉結 克萊因瓶Klein Bottle 三維空間中的克萊因瓶，沒有“內(nèi)部”和“外部”之分

11、。由德國數(shù)學家菲利克斯克萊因提出的?？巳R因瓶和莫比烏斯帶非常相像?？巳R因瓶的結構是，一個瓶子底部有一個洞，現(xiàn)在延長瓶子的頸部，并且扭曲地進入瓶子內(nèi)部，然后和底部的洞相連接。這個物體沒有“邊”，它的表面不會終結。一只爬在“瓶外”的螞蟻，可以輕松地通過瓶頸而爬到“瓶內(nèi)”去?？巳R因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現(xiàn)出來的曲面， 把克萊因瓶沿著它的對稱線切下去，得到兩個莫比烏斯帶。 克萊因瓶Klein Bottle把克萊因瓶投影到平面上，是和中國陰陽圖同構的。復雜的克萊因瓶克萊因瓶Klein BottleThe Lawson-Klein bottle克萊因瓶Klein BottleThe 8-Klei

12、n bottle克萊因瓶Klein Bottle克萊因瓶Klein Bottle七橋、四色問題與突變理論七橋問題與一筆畫判定、四色問題與地圖染色突變理論與拓撲模型 哥尼斯堡七橋問題 哥尼斯堡城，城中有一座島，普雷格爾河的兩條支流環(huán)繞其旁，并將整個城市分成北區(qū)、東區(qū)、南區(qū)和島區(qū)4個區(qū)域，全城共有7座橋?qū)?個城區(qū)連接起來，如左圖所示。問題是，一個人是否能在一次步行中穿越全部的七座橋后回到起點，且每座橋只經(jīng)過一次。 哥尼斯堡七橋問題 1736年，當人們將這一問題向歐拉請教時，歐拉用A、B、C、D表示4個城區(qū)，用7條線表示7座橋，將哥尼斯堡七橋問題抽象為一個圖的模型，如右圖所示，求經(jīng)過圖中每條邊一次且

13、僅一次的回路（歐拉回路），歐拉論證了在哥尼斯堡七橋問題中，這樣的回路不存在。 拓撲同構下減少地下管線的交叉。上圖：水、氣、電供2個建筑，下圖供3個建筑。哥尼斯堡七橋問題的應用 哥尼斯堡七橋問題 后來歐拉將這一問題進行了一般化處理：對于任意多的節(jié)點和任意多的連線，給出了是否存在歐拉回路的判定規(guī)則：（1）如果連接奇數(shù)條線的節(jié)點多于兩個，則不存在歐拉回路；（2）如果連接奇數(shù)條線的節(jié)點只有兩個，可以從其中之一出發(fā)，到另一節(jié)點結束，找到歐拉回路；（3）如果沒有一個節(jié)點連接奇數(shù)條線，則無論從哪里出發(fā)，都能找到歐拉回路。 一個線狀圖能一筆畫的充分必要條件是：沒有奇點或者只有兩個奇點。 一筆畫判定 一筆畫判定

14、 一筆畫判定 1852年，英國的一個大學生格思里（ Francis Guthrie ）在一家科研單位搞地圖著色時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色?！?四色定理。 此后一百多年，四色問題仍未解決。1969年，赫切（Heinrich Heesch）發(fā)表了一個用計算機解決此問題的方法。直到1976年，美國伊利諾斯大學的阿佩爾(Appel)和哈肯(Haken)在電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，完成了四色定理的證明，轟動了世界。 四色定理是第一個主要由電腦證明的理論，這一證明并不被所有的數(shù)學家接受，因為采用的方法不能由人工直接驗

15、證。最終，人們必須對電腦編譯的正確性以及運行這一程序的硬件設備充分信任。主要是因為此證明缺乏數(shù)學應有的規(guī)范，以至于有人這樣評論“一個好的數(shù)學證明應當像一首詩而這純粹是一本電話簿！”四色定理 雖然四色定理證明了任何地圖可以只用四個顏色著色，但是這個結論對于現(xiàn)實上的應用卻相當有限?，F(xiàn)實中的地圖常會出現(xiàn)飛地，即兩個不連通的區(qū)域?qū)儆谕粋€國家的情況（例如美國的阿拉斯加州），而制作地圖時我們?nèi)詴筮@兩個區(qū)域被涂上同樣的顏色，在這種情況下，四個顏色將會是不夠用的。四色定理 兩色填充條件單線輪廓三色填充的一般情況四色填充簡化模型 突變論 catastrophe theory 在自然界和人類社會活動中，除了

16、漸變的和連續(xù)光滑的變化現(xiàn)象外，還存在著大量的突然變化的現(xiàn)象，如水的沸騰、地層的斷裂，火山的噴發(fā)、橋梁的崩塌、細胞的分裂、生物的變異、人的休克、情緒的波動、戰(zhàn)爭、市場變化、經(jīng)濟危機等等。 突變論用形象而精確的數(shù)學模型（拓撲模型）來描述和預測事物的連續(xù)性中斷的突變過程。突變論是20世紀60年代末法國數(shù)學家托姆提出來的。1967年托姆發(fā)表形態(tài)發(fā)生動力學一文，闡述突變論的基本思想，1968年發(fā)表生物學中的拓撲模型，用拓撲模型的形式表述了生物細胞分裂中的各種情況，為突變論奠定了基礎。 突變論 catastrophe theory 更為形象地解釋這一理論：假想有一只玻璃瓶放在桌面上， 它處在一個穩(wěn)定的狀態(tài)

17、，沒有任何變化，此為穩(wěn)定平衡（Stable Equilibrium），用手指輕推瓶頸，不要太用力。這時變化產(chǎn)生，玻璃瓶晃動起來，它在通過一種連續(xù)性的方式來吸收變化， 此為不穩(wěn)定平衡（Unstable Equilibrium）。如果停止推力，玻璃瓶將恢復到它的理想穩(wěn)定狀態(tài)。然而，如果繼續(xù)用力推下去，在推力達到一定程度的時候，玻璃瓶便會倒下， 由此又進入了一種新的穩(wěn)定平衡狀態(tài)。玻璃瓶的狀態(tài)在這一瞬間就發(fā)生了突變， 一個非連續(xù)性的變化就這樣產(chǎn)生了：在玻璃瓶下跌的過程中，沒有任何可能的穩(wěn)定中間狀態(tài)，直到它完全倒伏在桌面上為止。 再比如拆一堵墻，如果從上面開始一塊塊地把磚頭拆下來，整個過程就是結構穩(wěn)定的

18、漸變過程。如果從底腳開始拆墻，拆到一定程度，就會破壞墻的結構穩(wěn)定性，墻就會嘩啦一聲，倒塌下來，這種結構不穩(wěn)定性就是突變。 托姆詳細研究了各種突變現(xiàn)象以后，用數(shù)學拓撲模型進行了描述和分類。他證明并得出結論，在控制空間不超過四維的情況下，盡管突變現(xiàn)象形形色色，但總可以歸納為：折疊、尖點、燕尾、蝴蝶、橢圓型臍點、雙曲型臍點、拋物型臍點等七種基本類型，其中每一種都有其基本特征。這樣，他在奇點理論的基礎上，以結構穩(wěn)定這一拓撲學命題為基本概念。1972年，托姆出版了結構穩(wěn)定性和形態(tài)發(fā)生學一書，建立了突變理論。突變論 catastrophe theory 尖點型突變蝴蝶型突變 狗咬人是一種進攻行為，這種進攻

19、行為受兩個互相矛盾的傾向所約束：發(fā)怒或恐懼。這兩種因素在某種程度上可以測量出來，而這兩種行為之間的轉變是一種不連續(xù)的變化。一只狗的發(fā)怒情況和張嘴、露齒的程度有關，而恐懼程度則可以由它的耳朵向后拉平程度反映出來。把這兩種行為和數(shù)學模型結合起來，就可計算出狗是進攻還是逃跑。 用“突變論”一詞在百度上搜索，可以看到突變論的廣泛應用：突變論在經(jīng)濟預警中的應用淺析突變論對心理學的影響試探周易與突變論突變論關于漢字起源方式的探索突變論在預防硫化礦自燃中的應用研究 基于突變論的林火蔓延分析突變視域下的企業(yè)發(fā)展與管理人類大腦進化基因突變論：高智商緣于短下巴多目標突變論在城市用地發(fā)展方向決策中的應用以撫順市為例

20、突變論 catastrophe theory 拓撲幾何在建筑設計的應用莫比烏斯住宅、丹麥館、哈薩克國立圖書館、奔馳博物館 UN Studio將莫比烏斯環(huán)的概念發(fā)展成了一座建筑，位于阿姆斯特丹近郊的莫比烏斯住宅。建筑師以人在一天的活動、位移為主線，運用數(shù)字技術，將拓撲學中的莫比烏斯環(huán)作為建筑生成的概念。 左圖描繪了夫婦兩人如何一起生活、分開工作又如何相遇在共享空間。兩個人運行自己的軌跡，有時匯合，有時甚至可能會互換角色。這個住宅混合了多種情況，將不同的行為置于一個環(huán)形結構之中，工作、家庭生活、獨處都能在環(huán)形中找到自己的位置。材料（主要是玻璃和混凝土）相互依賴又轉換位置，混凝土結構在內(nèi)部成為家具而

21、立面上的玻璃在內(nèi)部成為了隔墻。 莫比烏斯住宅 UN Studio 在這幢住宅里，作為垂直交通的樓梯成為莫比烏斯環(huán)形成的核心，樓梯扭轉了上下層的軸線，形成了全新的空間形式。莫比烏斯住宅 UN Studio 莫比烏斯住宅 UN StudioNM別墅 UN Studio 2007ICA 假日之家 UN Studio 2006鳳凰傳媒中心 北京院鳳凰傳媒中心 北京院67鳳凰傳媒中心 北京院 哈薩克斯坦新國家圖書館方案競賽中，丹麥BIG事務所的設計作品取得了第一名?！霸O計是將穿越空間與時間的四個世界性經(jīng)典造型圓形、環(huán)形、拱形和圓頂形以莫比烏斯圈的形式融合在了一起。哈薩克斯坦國家圖書館 BIG哈薩克斯坦國家圖書館 B