教學項目4 數(shù)值分析法模型ppt課件

1、數(shù)學建模與實驗嚴可頌 主講 教學工程四 數(shù)值分析法模型4.1 插值法建模 拉格朗日插值分段線性插值三次樣條插值一、插值的定義二、插值的方法三、用Matlab解插值問題知 n+1個節(jié)點其中互不一樣，無妨設求任一插值點處的插值節(jié)點可視為由產(chǎn)生，表達式復雜，或無封鎖方式，或未知。4.1.1 插值法的定義 構(gòu)造一個(相對簡單的)函數(shù)經(jīng)過全部節(jié)點, 即再用計算插值，即4.1.2 插值的方法 知函數(shù)f(x)在n+1個點x0,x1,xn處的函數(shù)值為 y0,y1,yn 。求一n次多項式函數(shù)Pn(x)，使其滿足：拉格朗日(Lagrange)插值 稱為拉格朗日插值基函數(shù)。 處理此問題的拉格朗日插值多項式公式如下其

2、中Li(x) 為n次多項式：特殊情況兩點一次(線性)插值多項式:三點二次(拋物)插值多項式: 采用拉格朗日多項式插值：選取不同插值節(jié)點個數(shù)n+1，其中n為插值多項式的次數(shù)，當n取10時，繪出插值結(jié)果圖形.例分段線性插值計算量與n無關(guān);n越大，誤差越小.xjxj-1xj+1x0 xnxoy比分段線性插值更光滑。xyxi-1 xiab 在數(shù)學上，光滑程度的定量描畫是：函數(shù)(曲線)的k階導數(shù)存在且延續(xù)，那么稱該曲線具有k階光滑性。 光滑性的階次越高，那么越光滑。能否存在較低次的分段多項式到達較高階光滑性的方法？三次樣條插值就是一個很好的例子。三次樣條插值 三次樣條插值g(x)為被插值函數(shù)。用MATL

3、AB作插值計算一維插值函數(shù)：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法被插值點插值節(jié)點xi處的插值結(jié)果nearest ：最臨近插值linear ： 線性插值；spline ： 三次樣條插值；cubic ： 立方插值。缺省時： 分段線性插值。留意：一切的插值方法都要求x是單調(diào)的，并且xi不可以超越x的范圍。 例：在1-12的11小時內(nèi)，每隔1小時丈量一次溫度，測得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計每隔1/10小時的溫度值。hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:

4、0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); (直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的)plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作圖xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)xy實驗習題 知飛機下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x每改動0.1時的y值。機翼下輪廓線4.2 擬合法簡介 2.擬合的根本原理1. 擬合問題引例擬 合 問 題 引 例 1溫度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7電阻R() 765 826 873 942 1032知熱敏電阻數(shù)據(jù)：求600C時的電阻R。 設 R=at+ba,b

5、為待定系數(shù)擬 合 問 題 引 例 2 t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg)求血藥濃度隨時間的變化規(guī)律c(t).作半對數(shù)坐標系(semilogy)下的圖形曲 線 擬 合 問 題 的 提 法知一組二維數(shù)據(jù)，即平面上 n個點xi,yi) i=1,n, 尋求一個函數(shù)曲線y=f(x), 使 f(x) 在某種準那么下與一切數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好。 +xyy=f(x)(xi,yi)ii 為點xi,y

6、i) 與曲線 y=f(x) 的間隔擬合與插值的關(guān)系 函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學方法上是完全不同的。 實例：下面數(shù)據(jù)是某次實驗所得，希望得到X和 f之間的關(guān)系？問題：給定一批數(shù)據(jù)點，需確定滿足特定要求的曲線或曲面處理方案：假設不要求曲線面經(jīng)過一切數(shù)據(jù)點，而是要求它反映對象整體的變化趨勢，這就是數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合。假設要求所求曲線面經(jīng)過所給一切數(shù)據(jù)點，就是插值問題；最臨近插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果：曲線擬合問題最常用的解法線性最小二乘法的根本思緒第一步:先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), rm(x),

7、m0)模型假設1. 機體看作一個房室，室內(nèi)血藥濃度均勻一室模型模型建立 在此，d=300mg，t及ct在某些點處的值見前表，需經(jīng)擬合求出參數(shù)k、v用線性最小二乘擬合c(t)計算結(jié)果：d=300;t=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2)程序：給藥方案 設計cc2c10t 設每次注射劑量D, 間隔時間 血藥濃度c(t) 應c1 c(t) c2 初次劑量D0 應加大給藥方案記為：2、1、計算結(jié)果：

8、給藥方案：c1=10,c2=25k=0.2347v=15.02故可制定給藥方案：即: 初次注射375mg， 其他每次注射225mg， 注射的間隔時間為4小時。估計水塔的流量2、解題思緒3、算法設計與編程1、問題 某居民區(qū)有一供居民用水的園柱形水塔，普通可以經(jīng)過丈量其水位來估計水的流量，但面臨的困難是，當水塔水位下降到設定的最低水位時，水泵自動啟動向水塔供水，到設定的最高水位時停頓供水，這段時間無法丈量水塔的水位和水泵的供水量通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時.水塔是一個高12.2米，直徑17.4米的正園柱按照設計，水塔水位降至約8.2米時，水泵自動啟動，水位升到約10.8米時水泵停頓任務表1

9、 是某一天的水位丈量記錄，試估計任何時辰包括水泵正供水時從水塔流出的水流量，及一天的總用水量流量估計的解題思緒擬合水位時間函數(shù)確定流量時間函數(shù)估計一天總用水量 擬合水位時間函數(shù) 丈量記錄看，一天有兩個供水時段以下稱第1供水時段和第2供水時段，和3個水泵不任務時段以下稱第1時段t=0到t=8.97，第2次時段t=10.95到t=20.84和第3時段t=23以后對第1、2時段的丈量數(shù)據(jù)直接分別作多項式擬合，得到水位函數(shù)為使擬合曲線比較光滑，多項式次數(shù)不要太高，普通在36由于第3時段只需3個丈量記錄，無法對這一時段的水位作出較好的擬合 2、確定流量時間函數(shù) 對于第1、2時段只需將水位函數(shù)求導數(shù)即可，

10、對于兩個供水時段的流量，那么用供水時段前后水泵不任務時段的流量擬合得到，并且將擬合得到的第2供水時段流量外推，將第3時段流量包含在第2供水時段內(nèi)3、一天總用水量的估計 總用水量等于兩個水泵不任務時段和兩個供水時段用水量之和，它們都可以由流量對時間的積分得到。算法設計與編程1、擬合第1、2時段的水位，并導出流量2、擬合供水時段的流量3、估計一天總用水量4、流量及總用水量的檢驗 1、擬合第1時段的水位，并導出流量 設t，h為已輸入的時辰和水位丈量記錄水泵啟動的4個時辰不輸入，第1時段各時辰的流量可如下得：1 c1=polyfitt1：10，h1：10，3； %用3次多項式擬合第1時段水位，c1輸出

11、3次多項式的系數(shù)2a1=polyderc1； % a1輸出多項式系數(shù)為c1導數(shù)的系數(shù) 3tp1=0：0.1：9； x1=-polyvala1，tp1； % x1輸出多項式系數(shù)為a1在tp1點的函數(shù)值取負后邊為正值，即tp1時辰的流量 4流量函數(shù)為： 2、擬合第2時段的水位，并導出流量 設t，h為已輸入的時辰和水位丈量記錄水泵啟動的4個時辰不輸入，第2時段各時辰的流量可如下得：1 c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3)； %用3次多項式擬合第2時段水位，c2輸出3次多項式的系數(shù)2 a2=polyder(c2)； % a2輸出多項式系數(shù)為c2導數(shù)的系數(shù) 3tp2=1

12、0.9:0.1:21; x2=-polyval(a2,tp2); % x2輸出多項式系數(shù)為a2在tp2點的函數(shù)值取負后邊為正值，即tp2時辰的流量4流量函數(shù)為： 3、擬合供水時段的流量 在第1供水時段t=911之前即第1時段和之后即第2時段各取幾點，其流量曾經(jīng)得到，用它們擬合第1供水時段的流量為使流量函數(shù)在t=9和t=11延續(xù)，我們簡單地只取4個點，擬合3次多項式即曲線必過這4個點，實現(xiàn)如下： xx1=-polyvala1，8 9； %取第1時段在t=8,9的流量 xx2=-polyvala2，11 12； %取第2時段在t=11,12的流量 xx12=xx1 xx2； c12=polyfit

13、8 9 11 12，xx12，3； %擬合3次多項式 tp12=9：0.1：11； x12=polyvalc12，tp12； % x12輸出第1供水時段 各時辰的流量擬合的流量函數(shù)為： 在第2供水時段之前取t=20，20.8兩點的流水量，在該時辰之后第3時段僅有3個水位記錄，我們用差分得到流量，然后用這4個數(shù)值擬合第2供水時段的流量如下： dt3=difft(22：24)； %最后3個時辰的兩兩之差 dh3=diffh(22：24)； %最后3個水位的兩兩之差 dht3=-dh3./dt3； %t(22)和t(23)的流量 t3=20 20.8 t(22) t(23)； xx3=-polyva

14、l(a2，t3(1：2)，dht3)； %取t3各時辰的流量 c3=polyfitt3，xx3，3； %擬合3次多項式 t3=20.8：0.1：24； x3=polyvalc3，tp3；% x3輸出第2供水時段 外推至t=24各時辰的流量擬合的流量函數(shù)為： 3、一天總用水量的估計 第1、2時段和第1、2供水時段流量的積分之和，就是一天總用水量雖然諸時段的流量已表為多項式函數(shù)，積分可以解析地算出，這里仍用數(shù)值積分計算如下： y1=0.1*trapz(x1)； %第1時段用水量仍按高 度計，0.1為積分步長 y2=0.1*trapz(x2)； %第2時段用水量 y12=0.1*trapz(x12)； %第1供水時段用水量 y3=0.1*trapz(x3)； %第2供水時段用水量 y=y1+y2+y12+y3*237.8*0.01； %一天總用水量 計算結(jié)果：y1=146.2, y2=266.8, y12=47.4, y3=77.3，y=1250.4 4、流量及總用水量的檢驗 計算出的各時辰的流量可用水位記錄的數(shù)值微分來檢驗用水量y1可用第1時段水位丈量記錄中下降高度968-822=146來檢驗，類似地，y2用1082-822=260檢驗供水時段流量的一種檢驗方法如下：供水時段的用水量加上水位上升值260是該時段泵入的水量，除以時段長度得到水泵的功率單位時間泵