數(shù)字信號處理第6章課件

1、第6章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念 6.2 模擬濾波器的設計 6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字低通濾波器 6.4 用雙線性變換法設計IIR數(shù)字低通濾波器 6.5 數(shù)字高通、 帶通和帶阻濾波器的設計 習題與上機題 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)值運算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。因此，數(shù)字濾波的概念和模擬濾波相同，只是信號的形式和實現(xiàn)濾波方法不同。正因為數(shù)字濾波通過數(shù)值運算實現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾波器處理精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實現(xiàn)

2、模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。如果要處理的是模擬信號，可通過A/DC和D/AC，在信號形式上進行匹配轉換，同樣可以使用數(shù)字濾波器對模擬信號進行濾波。 1數(shù)字濾波器的分類按照不同的分類方法，數(shù)字濾波器有許多種類，但總起來可以分成兩大類： 經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。經(jīng)典濾波器的特點是其輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通過一個合適的選頻濾波器濾除干擾，得到純凈信號，達到濾波的目的。例如，輸入信號x(t)中含有干擾，其時域波形和頻譜圖分別如圖6.1.1(a)、(b)所示，由圖可見，信號和干擾的頻帶互不重疊，可用圖6.1.1(c)所示低通濾波器濾除干擾, 得到純信號，如圖

3、6.1.1(d)所示。圖6.1.1 用經(jīng)典濾波器從噪聲中提取信號但是，如果信號和干擾的頻譜相互重疊，則經(jīng)典濾波器不能有效地濾除干擾，最大限度地恢復信號，這時就需要現(xiàn)代濾波器，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器等最佳濾波器?，F(xiàn)代濾波器是根據(jù)隨機信號的一些統(tǒng)計特性，在某種最佳準則下，最大限度地抑制干擾，同時最大限度地恢復信號，從而達到最佳濾波的目的。本書僅介紹經(jīng)典濾波器的設計分析與實現(xiàn)方法，而現(xiàn)代濾波器屬于隨機信號處理范疇，已超出本書學習范圍。 經(jīng)典數(shù)字濾波器從濾波特性上分類，可以分成低通、高通、帶通和帶阻等濾波器。它們的理想幅頻特性如圖6.1.2所示。這種理想濾波器是不可能實現(xiàn)的，因為它

4、們的單位脈沖響應均是非因果且無限長的，我們只能按照某些準則設計濾波器，使之在誤差容限內逼近理想濾波器，理想濾波器可作為逼近的標準。另外，需要注意的是, 數(shù)字濾波器的頻率響應函數(shù)H(ej)都是以2為周期的，低通濾波器的通頻帶中心位于2的整數(shù)倍處，而高通濾波器的通頻帶中心位于的奇數(shù)倍處，這一點和模擬濾波器是有區(qū)別的。一般在數(shù)字頻率的主值區(qū), 描述數(shù)字濾波器的頻率響應特性。圖6.1.2 理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器幅度特性數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡結構或者從單位脈沖響應長度分類，可以分成無限長單位脈沖響應(IIR)濾波器和有限長單位脈沖響應(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為： (6.1.1)式中

5、的H(z)稱為N階IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù); (6.1.2)式中的H(z)稱為N1階FIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。這兩種數(shù)字濾波器的設計方法有很大區(qū)別，因此下面分成兩章分別進行學習。(6.1.1)(6.1.2)根據(jù)濾波器對信號的處理作用又將其分為選頻濾波器和其他濾波器。上述低通、高通、帶通和帶阻濾波器均屬于選頻濾波器，其他濾波器有微分器、希爾伯特變換器、頻譜校正等濾波器。濾波器可用于波形形成、調制解調器、從噪聲中提取信號(見圖6.1.1)、信號分離和信道均衡等。所以學習濾波器的設計與實現(xiàn)是必不可少的。運行本書程序集中的繪圖程序fig611b.m可以清楚地觀察用濾波器分離載波頻率不同的兩路雙邊帶信號

6、的原理。2 數(shù)字濾波器的技術指標常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設數(shù)字濾波器的頻率響應函數(shù)H(ej)用下式表示： H(ej)=|H(ej)|ej()式中，|H(ej)|稱為幅頻特性函數(shù); ()稱為相頻特性函數(shù)。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況，而相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。因此，即使兩個濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不同，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。一般選頻濾波器的技術要求由幅頻特性給出，對幾種典型濾波器(如巴特沃斯濾波器)，其相頻特性是確定的，所以設計過程中，對相頻特性一般不作要求。但如果對輸出波形有要求，則需要考慮相頻

7、特性的技術指標，例如波形傳輸、圖像信號處理等。本章主要研究針對幅頻特性指標的選頻濾波器設計。如果對輸出波形有嚴格要求，則需要設計線性相位數(shù)字濾波器，這部分內容在第7章介紹。 對于圖6.1.2所示的各種理想濾波器，我們必須設計一個因果可實現(xiàn)的濾波器去近似實現(xiàn)。另外，也要考慮復雜性與成本問題，因此實用中通帶和阻帶中都允許一定的誤差容限，即通帶不是完全水平的，阻帶不是絕對衰減到零。此外，按照要求，在通帶與阻帶之間還應設置一定寬度的過渡帶。圖6.1.3表示低通濾波器的幅頻特性，p和s分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率。通帶頻率范圍為0|p，在通帶中要求(11)|H(ej)|1，阻帶頻率范圍為s|，在阻

8、帶中要求|H(ej)|2。從p到s稱為過渡帶，過渡帶上的頻響一般是單調下降的。通常，通帶內和阻帶內允許的衰減一般用分貝數(shù)表示，通帶內允許的最大衰減用p表示，阻帶內允許的最小衰減用s表示。對低通濾波器， p和s分別定義為：顯然，p 越小, 通帶波紋越小，通帶逼近誤差就越??； s越大, 阻帶波紋越小，阻帶逼近誤差就越??； p與s間距越小, 過渡帶就越窄。所以低通濾波器的設計指標完全由通帶邊界頻率p、通帶最大衰減p 阻帶邊界頻率s和阻帶最小衰減s確定。(6.1.3a)(6.1.4a)片段常數(shù)特性： 對于選頻型濾波器，一般對通帶和阻帶內的幅頻響應曲線形狀沒有具體要求，只要求其波紋幅度小于某個常數(shù)，通常

9、將這種要求稱為“片段常數(shù)特性”。所謂片段，是指“通帶”和“阻帶”，常數(shù)是指“通帶波紋幅度1”和“阻帶波紋幅度2”，而通帶最大衰減p和阻帶最小衰減s是與1和2完全等價的兩個常數(shù)。片段常數(shù)特性概念在選頻型濾波器設計中很重要，尤其有助于理解IIR數(shù)字濾波器的雙線性變換設計思想。圖6.1.3所示的單調下降幅頻特性，p和s別可以表示為如果將|H(ej0)|歸一化為1，(6.1.3b)和(6.1.4b)式則表示為：(6.1.3b)(6.1.4b)(6.1.5)(6.1.6)當幅度下降到 時，標記=c，此時 dB，稱c為3 dB通帶截止頻率。p、c和s統(tǒng)稱為邊界頻率，它們是濾波器設計中所涉及到的很重要的參數(shù)

10、。對其他類型的濾波器，(6.1.3b)式和(6.1.4b)式中的H(ej0)應改成 ，0為濾波器通帶中心頻率。圖6.1.3 低通濾波器的幅頻特性指標示意圖 3 數(shù)字濾波器設計方法概述IIR濾波器和FIR濾波器的設計方法完全不同。IIR濾波器設計方法有間接法和直接法，間接法是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。其設計步驟是： 先設計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha (s)，然后將Ha(s)按某種方法轉換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。這是因為模擬濾波器的設計方法已經(jīng)很成熟，不僅有完整的設計公式，還有完善的圖表和曲線供查閱； 另外，還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供我們使用。直接法直接在頻域或者時域中設

11、計數(shù)字濾波器，由于要解聯(lián)立方程，設計時需要計算機輔助設計。FIR濾波器不能采用間接法，常用的設計方法有窗函數(shù)法、頻率采樣法和切比雪夫等波紋逼近法。對于線性相位濾波器，經(jīng)常采用FIR濾波器?？梢宰C明，F(xiàn)IR濾波器的單位脈沖響應滿足一定條件時，其相位特性在整個頻帶是嚴格線性的，這是模擬濾波器無法達到的。當然，也可以采用IIR濾波器，但必須使用全通網(wǎng)絡對其非線性相位特性進行校正，這樣增加了設計與實現(xiàn)的復雜性。本章只介紹IIR濾波器的間接設計方法。為此，我們先介紹模擬低通濾波器的設計，這是因為低通濾波器的設計是設計其他濾波器的基礎。模擬高通、帶通和帶阻濾波器的設計過程是： 先將希望設計的各種濾波器的技

12、術指標轉換為低通濾波器技術指標，然后設計相應的低通濾波器，最后采用頻率轉換法將低通濾波器轉換成所希望的各種濾波器。應當說明，濾波器設計公式較多，計算繁雜。但是，在計算機普及的今天，各種設計方法都有現(xiàn)成的設計程序（或設計函數(shù)）供我們調用。所以，只要掌握了濾波器基本設計原理，在工程實際中采用計算機輔助設計濾波器是很容易的事。6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的理論和設計方法已發(fā)展得相當成熟，且有多種典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Ellipse)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等。這些濾波器都有嚴格的設計公式、

13、現(xiàn)成的曲線和圖表供設計人員使用，而且所設計的系統(tǒng)函數(shù)都滿足電路實現(xiàn)條件。這些典型的濾波器各有特點： 巴特沃斯濾波器具有單調下降的幅頻特性； 切比雪夫濾波器的幅頻特性在通帶或者阻帶有等波紋特性，可以提高選擇性； 貝塞爾濾波器通帶內有較好的線性相位特性； 橢圓濾波器的選擇性相對前三種是最好的，但通帶和阻帶內均呈現(xiàn)等波紋幅頻特性，相位特性的非線性也稍嚴重。設計時，根據(jù)具體要求選擇濾波器的類型。選頻型模擬濾波器按幅頻特性可分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器，它們的理想幅頻特性如圖6.2.1所示。但設計濾波器時，總是先設計低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波器轉換成希望類型的濾波器。下面先介紹低通濾波器的

14、技術指標和逼近方法，然后分別介紹巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器的設計方法。橢圓濾波器的設計理論比較復雜，所以只介紹其MATLAB設計函數(shù)，并舉例說明直接調用MATLAB函數(shù)設計橢圓濾波器的方法。其他濾波器的設計方法請參考文獻9。圖6.2.1 各種理想模擬濾波器幅頻特性 6.2.1 模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法本書中，分別用ha(t)、a(s)、Ha(j)表示模擬濾波器的單位沖激響應、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應函數(shù)，三者的關系如下： 可以用ha(t)、Ha(t)、Ha(j)中任一個描述模擬濾波器，也可以用線性常系數(shù)微分方程描述模擬濾波器。但是設計模擬濾波器時，設計指標一般由幅頻響應函數(shù)|Ha(j)

15、|給出，而模擬濾波器設計就是根據(jù)設計指標，求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。工程實際中通常用所謂的損耗函數(shù)（也稱為衰減函數(shù)）A()來描述濾波器的幅頻響應特性， 對歸一化幅頻響應函數(shù)（本書后面都是針對該情況，特別說明的除外），A()定義如下（其單位是分貝，用dB表示）： （6.2.1） 應當注意，損耗函數(shù)A()和幅頻特性函數(shù)|H(j)|只是濾波器幅頻響應特性的兩種描述方法。損耗函數(shù)的優(yōu)點是對幅頻響應|Ha(j)|的取值非線性壓縮，放大了小的幅度，從而可以同時觀察通帶和阻帶頻響特性的變化情況。二者的特點如圖6.2.2所示。圖6.2.2(a)所示的幅頻響應函數(shù)完全看不清阻帶內取值較?。?.001以下）的波紋，而

16、圖6.2.2(b)所示的同一個濾波器的損耗函數(shù)則能很清楚地顯示出阻帶60 dB以下的波紋變化曲線。 另外，直接畫出的損耗函數(shù)曲線圖正好與幅頻特性曲線形狀相反，所以，習慣將A()曲線稱為損耗函數(shù)(本書中也如此稱謂)，如圖6.2.2（b）所示。圖6.2.2 幅頻響應與損耗函數(shù)曲線的比較模擬低通濾波器的設計指標參數(shù)有 p、p、 s和s。其中p和s分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率， p稱為通帶最大衰減（即通帶0，p中允許A()的最大值）， s稱為阻帶最小衰減（即阻帶s上允許A()的最小值）， p和 s的單位為dB。以上技術指標如圖6.2.3所示, 圖(a)以幅頻特性描述, 圖(b)以損耗函數(shù)描述。圖

17、6.2.3 模擬低通濾波器的設計指標參數(shù)示意圖 由圖6.2.3可見，對于單調下降的幅度特性， p和 s可表示成： (6.2.2)(6.2.3)因為圖6.2.3中，=3 dB，所以c稱為3 dB截止頻率。1和2分別稱為通帶和阻帶波紋幅度，容易得到關系式： (6.2.4)(6.2.5) 濾波器的技術指標給定后，需要設計一個系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標。一般濾波器的單位沖激響應為實函數(shù)，因此如果能由 p、p、 s和s求出|Ha(j)|2，那么就可以求出Ha(s)Ha(s)，由此可求出所需要的Ha(s)。Ha(s)必須是因果穩(wěn)定的，因此極點必須落在s平面的左半平面，相應的Ha(

18、s)的極點必然落在右半平面。這就是由Ha(s)Ha(s)求所需要的Ha(s)的具體原則，即模擬低通濾波器的逼近方法。因此幅度平方函數(shù)在模擬濾波器的設計中起著很重要的作用。對于上面介紹的五種典型濾波器，其幅度平方函數(shù)都有確知表達式，可以直接引用。 (6.2.6)6.2.2 巴特沃斯低通濾波器的設計1 巴特沃斯低通模擬濾波器設計原理巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2用下式表示： (6.2.7)式中，N稱為濾波器的階數(shù)。當=0時，|Ha(j)|=1； =c時， ，c是3 dB截止頻率。在=c附近，隨加大，幅度迅速下降。 幅度特性與和N的關系如圖6.2.4所示。幅度下降的速度與階數(shù)N有關

19、，N愈大，通帶愈平坦，過渡帶愈窄，過渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快, 總的頻響特性與理想低通濾波器的誤差愈小。以s替換j，將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2寫成s的函數(shù)： (6.2.8)復變量s=+j，此式表明幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點sk用下式表示： (6.2.9)式中，k=0，1，2，2N-1。2N個極點等間隔分布在半徑為c的圓上(該圓成為巴特沃斯圓)，間隔是/Nrad。例如N=3，極點間隔為/3 rad，如圖6.2.5所示。圖6.2.4 巴特沃斯低通濾波器幅度特性與 圖6.2.5 三階巴特沃斯濾波器極點分布圖為形成因果穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構成Ha(s)，而

20、右半平面的N個極點構成Ha(s)。Ha(s)的表達式為 (6.2.10) 設N=3，極點有6個，它們分別為取s平面左半平面的極點s0、s1、s2組成系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，即 由于不同的技術指標對應的邊界頻率和濾波器幅頻特性不同，為使設計公式和圖表統(tǒng)一，將頻率歸一化。巴特沃斯濾波器采用對3 dB截止頻率c歸一化，歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為(6.2.11) 令p=+j=s/c，=/c，稱為歸一化頻率， p稱為歸一化復變量，這樣巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 (6.2.12)式中，pk=sk/c, 為歸一化極點，用下式表示： (6.2.13)顯然, 這樣，只要根據(jù)技術指標求出階數(shù)N，按照(6.2.

21、13)式求出N個極點，再按照(6.2.12)式得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)，如果給定c，再去歸一化，即將p=s/c代入Ga(p)中(或由(6.2.14)式求出sk=cpk)，便得到期望設計的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。(6.2.14)將極點表示式(6.2.13)代入(6.2.12)式，得到Ga(p)的分母是p的N階多項式，用下式表示： （6.2.15）歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)的系數(shù)bk，k=0，1，N1，以及極點pk，可以由表6.2.1得到。另外，表中還給出了Ga(p)的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要求出階數(shù)N，查表可得到Ga(p)及各極點, 而且可以選擇級聯(lián)型和直接型結構的系統(tǒng)函數(shù)表示

22、形式，避免了因式分解運算工作。表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 由(6.2.9)式和(6.2.10)式可知, 只要求出巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和3 dB截止頻率c，就可以求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。所以，巴特沃斯濾波器的設計實質上就是根據(jù)設計指標求階數(shù)N和3 dB截止頻率c的過程。下面先介紹階數(shù)N的確定方法。階數(shù)N的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度和過渡帶、阻帶的幅度下降速度，它由技術指標p、 p、s和s確定。將=p代入幅度平方函數(shù)(6.2.7)式中，再將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2代入(6.2.2)式，得到： (6.2.16) 將=s代入(6.2.7)式中，再將|Ha(j)|2

23、代入(6.2.3)式中，得到： (6.2.17)由(6.2.16)和(6.2.17)式得到： 令 (6.2.18a) (6.2.18b) 則N由下式表示： (6.2.18c) 用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應取大于或等于N的最小整數(shù)。關于3 dB截止頻率c，如果技術指標中沒有給出，可以按照(6.2.16)式或(6.2.17)式求出。由(6.2.16)式得到： (6.2.19) 由(6.2.17)式得到：(6.2.20)請注意，如果采用(6.2.19)式確定c，則通帶指標剛好滿足要求，阻帶指標有富余； 如果采用(6.2.20)式確定c，則阻帶指標剛好滿足要求，通帶指標有富余?？偨Y以上，低通巴特沃

24、斯濾波器的設計步驟如下： (1) 根據(jù)技術指標p、 p、s和s，用(6.2.18)式求出濾波器的階數(shù)N。(2) 按照(6.2.13)式，求出歸一化極點pk，將pk代入(6.2.12)式，得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。也可以根據(jù)階數(shù)N直接查表6.2.1得到pk和Ga(p)。 (3) 將Ga(p)去歸一化。將p=s/c代入Ga(p)，得到實際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)這里c為3 dB截止頻率，如果技術指標沒有給出c，可以按照(6.2.19)式或(6.2.20)式求出?！纠?.2.1】 已知通帶截止頻率fp=5 kHz，通帶最大衰減 p=2 dB，阻帶截止頻率fs=12 kHz，阻帶最小衰減 s=30

25、 dB，按照以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。解 (1) 確定階數(shù)N。取N=5(2) 按照(6.2.13)式，其極點為按照(6.2.12)式，歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為上式分母可以展開成五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解式。這里不如直接查表6.2.1簡單，由N=5直接查表得到： 極點：0.3090j0.9511， 0.8090j0.5878, 1.0000歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為式中, b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361分母因式分解形式為以上公式中的數(shù)據(jù)均取小數(shù)點后四位。(3) 為將Ga(p)去歸一化，先求3 dB截

26、止頻率c。按照(6.2.19)式，得到： 將c代入(6.2.20)式，得到:此時算出的比題目中給的s小，因此，過渡帶小于指標要求?；蛘哒f，在s=212 krad/s時衰減大于30 dB，所以說阻帶指標有富余量。將p=s/c代入Ga(p)中, 得到： 2. 用MATLAB工具箱函數(shù)設計巴特沃斯濾波器 MATLAB信號處理工具箱函數(shù)buttap, buttord和butter是巴特沃斯濾波器設計函數(shù)。其5種調用格式如下。1） Z，P, K=buttap(N)該格式用于計算N階巴特沃斯歸一化（3 dB截止頻率c=1）模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點和增益因子。返回長度為N的列向量Z和P，分別給出

27、N個零點和極點的位置，K表示濾波器增益。得到的系統(tǒng)函數(shù)為如下形式: （6.2.21）式中，Z(k)和P(k)分別為向量Z和P的第k個元素。如果要從計算得到的零、極點得到系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量B和A,可以調用結構轉換函數(shù)B, A=zp2tf(Z, P, K)。2） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As)該格式用于計算巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)N和3 dB截止頻率wc。調用參數(shù)wp和ws分別為數(shù)字濾波器的通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值，要求0wp1，0ws1, 1表示數(shù)字頻率（對應模擬頻率Fs/2，F(xiàn)s表示采樣頻率）。Rp和As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減

28、（dB）。當wswp時，為高通濾波器； 當wp和ws為二元矢量時，為帶通或帶阻濾波器，這時wc也是二元向量。N和wc作為butter函數(shù)的調用參數(shù)。3） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As, s) 該格式用于計算巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和3 dB截止頻率wc。wp、ws和wc是實際模擬角頻率（rad/s）。其他參數(shù)與格式2）相同。4） B, A=butter(N, wc, ftype)計算N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母多項式的系數(shù)向量B和A。調用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和3 dB截止頻率的歸一化值（關于歸一化），一般按格式2）調用函數(shù)but

29、tord計算N和wc。由系數(shù)向量B和A可以寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)： （6.2.22）式中，B(k)和A(k)分別為向量B和A的第k個元素。5） B, A=butter(N, wc, ftype, s)計算巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式的系數(shù)向量B和A。調用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)和3 dB截止頻率（實際角頻率）。由系數(shù)向量B和A寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為（6.2.23）由于高通濾波器和低通濾波器都只有一個3 dB截止頻率wc，因此僅由調用參數(shù)wc不能區(qū)別要設計的是高通還是低通濾波器。當然僅由二維向量wc也不能區(qū)分帶通和帶阻。所以用參數(shù)ftype來區(qū)分。ftype

30、=high時，設計3 dB截止頻率為wc的高通濾波器。缺省ftype時默認設計低通濾波器。ftype=stop時，設計通帶3 dB截止頻率為wc的帶阻濾波器，此時wc為二元向量wcl, wcu，wcl和wcu分別為帶阻濾波器的通帶3 dB下截止頻率和上截止頻率。缺省ftype時設計帶通濾波器，通帶為頻率區(qū)間wclwcu。應當注意，設計的帶通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)是2N階的。這是因為帶通濾波器相當于N階低通濾波器與N階高通濾波器級聯(lián)。 【例6.2.2】 調用buttord和butter設計巴特沃斯低通模擬濾波器。要求與例6.2.1相同。設計程序ep622.m如下: wp=2*pi*5000; ws

31、=2*pi*12000; Rp=2; As=30; %設置濾波器參數(shù)N, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s); %計算濾波器階數(shù)N和3 dB截止頻率B, A=butter(N, wc, s); %計算濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù)k=0:511; fk=0:14000/512:14000; wk=2*pi*fk; Hk=freqs(B, A, wk); subplot(2, 2, 1); plot(fk/1000, 20*log10(abs(Hk); grid onxlabel(頻率(kHz); ylabel(幅度(dB)axis(0, 14, -40, 5)運行結果

32、: N=5，wc=3.7792e+004，B=7.7094e+022A =11.2230e+0057.4785e+0092.8263e+0146.6014e+0187.7094e+022將B和A代入（6.2.23）式寫出系統(tǒng)函數(shù)為與例6.2.1計算結果形式相同。濾波器的損耗函數(shù)曲線如圖6.2.6所示。由圖可以看出，阻帶剛好滿足指標要求，通帶指標有富余。這就說明buttord函數(shù)使用（6.2.20）式計算3 dB 截止頻率。圖6.2.6 程序ep622.m運行輸出的損耗函數(shù)(例6.2.1的設計結果)6.2.3 切比雪夫濾波器的設計1 切比雪夫濾波器的設計原理巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通

33、帶還是阻帶都是頻率的單調減函數(shù)。因此，當通帶邊界處滿足指標要求時，通帶內肯定會有較大富余量。因此，更有效的設計方法應該是將逼近精確度均勻地分布在整個通帶內，或者均勻分布在整個阻帶內，或者同時均勻分布在兩者之內。這樣，就可以使濾波器階數(shù)大大降低。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來達到。切比雪夫濾波器的幅頻特性就具有這種等波紋特性。它有兩種形式： 振幅特性在通帶內是等波紋的、在阻帶內是單調下降的切比雪夫型濾波器； 振幅特性在通帶內是單調下降、在阻帶內是等波紋的切比雪夫型濾波器。采用何種形式的切比雪夫濾波器取決于實際用途。圖6.2.7(a)和(b)分別畫出不同階數(shù)的切比雪夫型和型濾波器幅頻特性。

34、圖6.2.7 不同階數(shù)的切比雪夫型和型濾波器幅頻特性 我們這里僅介紹切比雪夫型濾波器的設計方法。其幅度平方函數(shù)用|Ha(j)|2表示： (6.2.24)式中，為小于1的正數(shù)，表示通帶內幅度波動的程度，愈大，波動幅度也愈大; p稱為通帶截止頻率。令=/p，稱為對p的歸一化頻率。CN(x)稱為N階切比雪夫多項式，定義為當N=0時，C0(x)=1； 當N=1時，C1(x)=x； 當N=2時，C2(x)=2x21； 當N=3 時，C3(x)=4x33x。由此可歸納出高階切比雪夫多項式的遞推公式為(6.2.25) 切比雪夫多項式的特性： (1) 切比雪夫多項式的過零點在|x|1的范圍內； (2) 當|x

35、|1時，|CN(x)|1，在|x|1時，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨x單調上升。圖6.2.8 四階切比雪夫型和巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性比較這樣，當|x|1時，在0至2之間波動，函數(shù)1+的倒數(shù)即是幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2。所以|Ha(j)|2在0，p上有等波紋波動，最大值為1，最小值為1/(1+2)。當p時，|Ha(j)|2隨加大，很快接近于零。圖6.2.8分別畫出了四階切比雪夫型和巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性，顯然, 切比雪夫濾波器比巴特沃斯濾波器有較窄的過渡帶。按照(6.2.24)式，幅度平方函數(shù)與三個參數(shù)（、p、N）有關。其中與通帶內允許的波動幅度有關，定義允許的通帶內最大衰減p用下

36、式表示： 式中因此這樣，根據(jù)通帶內最大衰減 p，可以求出參數(shù)。階數(shù)N影響過渡帶的寬度，同時也影響通帶內波動的疏密，因為N等于通帶內最大值與最小值的總個數(shù)。設阻帶的起始點頻率(阻帶截止頻率)用s表示，在s處的|Ha(j)|2用(6.2.24)式確定： (6.2.26)(6.2.27)(6.2.28) 令s=s/p，由s1，有可以解出(6.2.29)(6.2.30)3 dB截止頻率用c表示，按照(6.2.24)式，有通常取c1，因此上式中僅取正號，得到3 dB截止頻率計算公式： (6.2.31)p通常是設計指標給定的，由(6.2.27)和(6.2.29)式求出和N后，可以求出濾波器的極點，并確定歸

37、一化系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)，p=s/p。下面略去繁雜的求解過程， 僅介紹一些有用的結論。設Ha(s)的極點為si=i+ji，可以證明： (6.2.32)式中（6.2.33）(6.2.34)(6.2.33)式是一個橢圓方程，長半軸為pch(在虛軸上)，短半軸為psh(在實軸上)。令bp和ap分別表示長半軸和短半軸，可推導出： 式中(6.2.35)(6.2.36)(6.2.37)因此切比雪夫濾波器的極點就是一組分布在bp為長半軸、ap為短半軸的橢圓上的點。為因果穩(wěn)定，用左半平面的極點構成Ga(p)，即(6.2.38)式中, c是待定系數(shù)。根據(jù)幅度平方函數(shù)(6.2.24)式可導出： c=2N1，代入(6

38、.2.38)式，得到歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為(6.2.39)去歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為(6.2.40)按照以上分析，歸納出切比雪夫型濾波器設計步驟： (1) 確定技術指標參數(shù) p、p、 s和s。 p是=p時的衰減， s是 =s時的衰減，它們滿足這里 p就是前面定義的通帶最大衰減，見(6.2.26)式。(2) 求濾波器階數(shù)N和參數(shù)。歸一化邊界頻率為p=1, s=s/p。由(6.2.24)式得到： (6.2.41)(6.2.42)將以上兩式代入(6.2.41)和(6.2.42)式，得到： 令(6.2.43)則，因此 (6.2.44)這樣，先由(6.2.43)式求出，代入(6.2.44)式，求出階數(shù)N，最后取

39、大于或等于N的最小整數(shù)。按照(6.2.27)式求： (6.2.45)(3) 求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。為求Ga(p)，先按照(6.2.32)式求出歸一化極點pk, k=1，2，N。 (6.2.46)將極點pk代入(6.2.39)式，得到： (4) 將Ga(p)去歸一化，得到實際的Ha(s)，即(6.2.47)【例6.2.2】 設計低通切比雪夫濾波器，要求通帶截止頻率fp=3 kHz，通帶最大衰減 p=0.1 dB，阻帶截止頻率fs=12 kHz，阻帶最小衰減 s=60 dB。解 (1) 濾波器的技術要求： (2) 由(6.2.44)和 (6.2.45)式求階數(shù)N和：(3) 將極點pk、N和代

40、入(6.2.39)式求Ga(p)： 由(6.2.46)式求出N=5時的極點pi，代入上式，得到： (4) 將Ga(p)去歸一化，得到：2. 用MATLAB設計切比雪夫濾波器MATLAB信號處理工具箱函數(shù)cheb1ap，cheb1ord和cheby1是切比雪夫型濾波器設計函數(shù)。其調用格式如下: 1） z, p, k= cheb1ap(N, Rp)2） N, wpo= cheb1ord(wp, ws, Rp, As)3） N, wpo= cheb1ord(wp, ws, Rp, As, s)4） B, A= cheby1(N, Rp, wpo, ftype)5） B, A= cheby1(N, R

41、p, wpo, ftype, s)切比雪夫型濾波器設計函數(shù)與前面的巴特沃思濾波器設計函數(shù)比較，只有兩點不同。一是這里設計的是切比雪夫型濾波器； 二是格式2）和3）的返回參數(shù)與格式4）和5）的調用參數(shù)wpo是切比雪夫型濾波器的通帶截止頻率，而不是3 dB截止頻率。其他參數(shù)含義與巴特沃思濾波器設計函數(shù)中的參數(shù)相同。系數(shù)向量B和A與數(shù)字和模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的關系由（6.2.22）和（6.2.23）式給出。MATLAB信號處理工具箱函數(shù)cheb2ap, cheb2ord和cheby2是切比雪夫型濾波器設計函數(shù)。其調用格式如下: 1） z, p, G= cheb2ap(N, Rs)該格式用于計算N階切比

42、雪夫型歸一化（阻帶截止頻率s=1）模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點和增益因子。返回長度為N的列向量z和p，分別給出N個零點和極點的位置。G表示濾波器增益。Rs是阻帶最小衰減（dB）。2） N, wso= cheb2ord(wp, ws, Rp, As)該格式用于計算切比雪夫型數(shù)字濾波器的階數(shù)N和阻帶截止頻率wso。調用參數(shù)wp和ws分別為數(shù)字濾波器的通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值，要求0wp1，0ws1，1表示數(shù)字頻率（對應模擬頻率Fs/2）。Rp和As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減（dB）。當wswp時, 為高通濾波器； 當wp和ws為二元矢量時, 為帶通或帶阻濾波器，這時wso也是

43、二元向量。N和wso作為cheby2的調用參數(shù)。3） N, wso=cheb2ord(wp, ws, Rp, As, s)該格式用于計算切比雪夫型模擬濾波器的階數(shù)N和阻帶截止頻率wso。wp、 ws和wso是實際模擬角頻率（rad/s）。其他參數(shù)與格式2）相同。4） B, A=cheby2(N, Rs, wso, ftype)該格式用于計算N階切比雪夫型數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量B和A。調用參數(shù)N和wso分別為切比雪夫型數(shù)字濾波器的階數(shù)和阻帶截止頻率的歸一化值（關于歸一化），一般調用函數(shù)cheb2ord計算N和wso。5） B, A=cheby2(N, Rp, wso, ft

44、ype, s)該格式用于計算N階切比雪夫型模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量B和A。調用參數(shù)N和wso分別為N階切比雪夫型模擬濾波器的階數(shù)和阻帶截止頻率（實際角頻率）。ftype的定義與巴特沃思濾波器設計函數(shù)中的ftype 相同?！纠?.2.3】 設計切比雪夫型和切比雪夫型模擬低通濾波器。要求與例6.2.2相同。 解 設計程序ep623.m如下: 例6.2.3設計程序: ep623.m設計切比雪夫型模擬低通濾波器wp=2*pi*3000; ws=2*pi*12000; Rp=0.1; As=60; 設置指標參數(shù)N1, wp1=cheb1ord(wp, ws, Rp, As, s);

45、計算切比雪夫型模擬低通濾波器階數(shù)和通帶邊界頻率B1, A1=cheby1(N1, Rp, wp1, s); 計算切比雪夫型模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)subplot(2, 2, 1); fk=0:12000/512:12000; wk=2*pi*fk; Hk=freqs(B1, A1, wk); plot(fk/1000, 20*log10(abs(Hk); grid onxlabel(頻率(kHz); ylabel(幅度(dB)axis(0, 12, -70, 5)運行結果: N=5切比雪夫型模擬低通濾波器通帶邊界頻率: wp1 =1.8850e+004切比雪夫型模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母

46、多項式系數(shù): B=1.2187e+011A = 1 3.2873e+004 9.8445e+008 1.6053e+013 1.8123e+017 9.7448e+020 濾波器損耗函數(shù)如圖6.2.9所示。圖6.2.9 五階切比雪夫型模擬低通濾波器損耗函數(shù) （例6.2.3的設計結果 6.2.4 橢圓濾波器的設計橢圓（Elliptic）濾波器在通帶和阻帶內都具有等波紋幅頻響應特性。由于其極點位置與經(jīng)典場論中的橢圓函數(shù)有關，所以由此取名為橢圓濾波器。又因為在1931年考爾（Cauer）首先對這種濾波器進行了理論證明，所以其另一個通用名字為考爾（Cauer）濾波器。橢圓濾波器的典型幅頻響應特性曲線如

47、圖6.2.10所示。由圖6.2.10(a)可見，橢圓濾波器通帶和阻帶波紋幅度固定時，階數(shù)越高, 過渡帶越窄； 由圖6.2.10(b)可見，當橢圓濾波器階數(shù)固定時，通帶和阻帶波紋幅度越小, 過渡帶就越寬。所以橢圓濾波器的階數(shù)N由通帶邊界頻率p、阻帶邊界頻率s、通帶最大衰減 p和阻帶最小衰減 s共同決定。后面對五種濾波器的比較將證實，橢圓濾波器可以獲得對理想濾波器幅頻響應的最好逼近，是一種性能價格比最高的濾波器，所以應用非常廣泛。圖6.2.10 橢圓濾波器幅頻響應特性曲線橢圓濾波器逼近理論是復雜的純數(shù)學問題，該問題的詳細推導已超出本書的范圍。只要給定濾波器指標，通過調用MATLAB信號處理工具箱提

48、供的橢圓濾波器設計函數(shù)，就很容易得到橢圓濾波器系統(tǒng)函數(shù)和零極點位置。MATLAB信號處理工具箱提供橢圓濾波器設計函數(shù)ellipap、 ellipord和ellip。其調用格式如下: 1） z, p, k= ellipap(N, Rp, As)用于計算N階歸一化（通帶邊界頻率wp=1）模擬低通橢圓濾波器的零點向量z、極點向量p和增益因子k。Rp和As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減（dB）。返回長度為N的列向量z和p分別給出N個零點和N個極點的位置。 2） N, wpo= ellipord(wp, ws, Rp, As)用于計算滿足指標的橢圓數(shù)字濾波器的最低階數(shù)N和通帶邊界頻率wpo，指標要求由

49、參數(shù)(wp, ws, Rp, As)給定。參數(shù)(wp, ws, Rp, As)的定義與巴特沃思濾波器設計函數(shù)buttord中的相應參數(shù)相同。3） N, wpo= ellipord(wp, ws, Rp, As, s) 用于計算滿足指標的橢圓模擬濾波器的最低階數(shù)N和通帶邊界頻率wpo。4） B, A= ellip(N, Rp, wpo, ftype)當wpo是表示濾波器通帶邊界頻率的標量，而且缺省參數(shù)ftype時，該格式返回N階低通橢圓數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量B和A，濾波器通帶波紋為Rp dB； 當ftype=high時，返回N階高通橢圓數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量B和A。當w

50、po是表示帶通濾波器通帶邊界頻率的二元向量，而且缺省參數(shù)ftype時，該格式返回2N階帶通橢圓數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量B和A，濾波器通帶波紋為Rp dB。當ftype=stop時，返回2N階帶阻橢圓數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量B和A。二元向量參數(shù)wpo表示阻帶上下邊界頻率。5） B, A= ellip(N, Rp, wpo, ftype, s) 計算橢圓模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量B和A。當然，其中的邊界頻率均為實際模擬角頻率值（rad/s）。 【例6.2.4】 設計橢圓模擬低通濾波器。要求與例6.2.2相同。設計程序ep624.m如下: % 橢圓濾波器設計程序wp=2*pi*

51、3000; ws=2*pi*12000; Rp=0.1; As=60; %設置指標參數(shù)N, wpo=ellipord(wp, ws, Rp, As, s); %計算橢圓低通模擬濾波器階數(shù)和通帶邊界頻率B, A=ellip(N, Rp, As, wpo, s); %計算低通模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)省去以下繪圖部分運行結果: 橢圓模擬低通濾波器階數(shù): N=4模擬低通濾波器通帶邊界頻率: wpo=1.8850e+004橢圓模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù): B=0.0010 8.3913e015 2.9126e+007 8.0051e004 1.0859e+017A= 1 3.3792e+00

52、4 9.3066e+008 1.3646e+013 1.0984e+017濾波器損耗函數(shù)如圖6.2.11所示。雖然本例中橢圓濾波器階數(shù)是4，但從圖6.1.11可以看出，四階橢圓模擬低通濾波器的過渡帶寬度小于7 kHz，比指標要求（9 kHz）窄2 kHz。 而例6.2.3中需要五階切比雪夫模擬低通濾波器，且其過渡帶寬度大于7 kHz。對于本例的設計指標，如果用巴特沃斯模擬低通濾波器，計算所要求的階數(shù)N=7。圖6.2.11 四階橢圓模擬低通濾波器損耗6.2.5 五種類型模擬濾波器的比較 前面討論了四種類型的模擬低通濾波器（巴特沃思、切比雪夫型、切比雪夫型和橢圓濾波器）的設計方法，這四種濾波器是主

53、要考慮逼近幅度響應指標的濾波器，第五種（貝塞爾濾波器）是主要考慮逼近線性相位特性的濾波器。為了正確地選擇濾波器類型以滿足給定的幅頻響應指標，必須比較四種幅度逼近濾波器的特性。為此，下面比較相同階數(shù)的歸一化巴特沃思、切比雪夫型、切比雪夫型和橢圓濾波器的頻率響應特性。調用MATLAB濾波器設計函數(shù)，很容易驗證: 當階數(shù)相同時，對相同的通帶最大衰減 p和阻帶最小衰減s，巴特沃思濾波器具有單調下降的幅頻特性，過渡帶最寬。兩種類型的切比雪夫濾波器的過渡帶寬度相等，比巴特沃思濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。切比雪夫型濾波器在通帶具有等波紋幅頻特性，過渡帶和阻帶是單調下降的幅頻特性。切比雪夫型濾

54、波器的通帶幅頻響應幾乎與巴特沃思濾波器相同，阻帶是等波紋幅頻特性。橢圓濾波器的過渡帶最窄，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。相位逼近情況: 巴特沃思和切比雪夫濾波器在大約3/4的通帶上非常接近線性相位特性，而橢圓濾波器僅在大約半個通帶上非常接近線性相位特性。貝塞爾濾波器在整個通帶逼近線性相位特性，而其幅頻特性的過渡帶比其他四種濾波器寬得多。復雜性: 在滿足相同的濾波器幅頻響應指標條件下，巴特沃思濾波器階數(shù)最高，橢圓濾波器的階數(shù)最低，而且階數(shù)差別較大。所以，就滿足濾波器幅頻響應指標而言，橢圓濾波器的性能價格比最高，應用較廣泛。由上述比較可見，五種濾波器各具特點。工程實際中選擇哪種濾波器取決于對濾波器

55、階數(shù)（階數(shù)影響處理速度和實現(xiàn)的復雜性）和相位特性的具體要求。例如，在滿足幅頻響應指標的條件下希望濾波器階數(shù)最低時，就應當選擇橢圓濾波器。6.2.6 頻率變換與模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設計高通、帶通、帶阻濾波器的幅頻響應曲線及邊界頻率分別如圖6.2.12(a)、 (b)和(c)所示。低通、高通、帶通和帶阻濾波器的通帶最大衰減和阻帶最小衰減仍用 p和 s表示。圖6.2.12中，ph表示高通濾波器的通帶邊界頻率; pl和pu分別表示帶通和帶阻濾波器的通帶下邊界頻率和通帶上邊界頻率; sl和su分別表示帶通和帶阻濾波器的阻帶下邊界頻率和阻帶上邊界頻率。 圖6.2.12 各種濾波器幅頻特性曲線及邊界

56、頻率示意圖從原理上講，通過頻率變換公式，可以將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)Q(p)變換成希望設計的低通、高通、帶通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(s)。在模擬濾波器設計手冊中，各種經(jīng)典濾波器的設計公式都是針對低通濾波器的，并提供從低通到其他各種濾波器的頻率變換公式。所以，設計高通、帶通和帶阻濾波器的一般過程是: (1) 通過頻率變換公式，先將希望設計的濾波器指標轉換為相應的低通濾波器指標； (2) 設計相應的低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)； (3) 對Q(p)進行頻率變換，得到希望設計的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(s)。設計過程中涉及的頻率變換公式和指標轉換公式較復雜，其推導更為復雜。幸好一些學者已經(jīng)開發(fā)出根據(jù)設計指標直接

57、設計高通、帶通和帶阻濾波器的CAD程序函數(shù)，只要根據(jù)設計指標直接調用CAD程序，就可以得到高通、帶通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)。前面所提到的MATLAB信號處理工具箱函數(shù)butter, cheby1, cheby2和ellip都具有這樣的功能。 本節(jié)先簡要介紹模擬濾波器的頻率變換公式，再舉例說明調用MATLAB信號處理工具箱函數(shù)直接設計高通、帶通和帶阻濾波器的方法。后面的設計舉例將說明, 如果低通濾波器Q(p)是關于某邊界頻率的 “歸一化低通濾波器”, 則設計計算將大大簡化。這里，“歸一化低通濾波器”是指關于某個邊界頻率歸一化的低通濾波器, 其系統(tǒng)函數(shù)就用Q(p)表示。歸一化頻率根據(jù)設計需要而定，對

58、巴特沃斯濾波器關于3 dB截止頻率歸一化的系統(tǒng)函數(shù)稱為巴特沃斯歸一化低通原型（記為G(p)），而切比雪夫和橢圓濾波器的歸一化低通原型一般是關于通帶邊界頻率p歸一化的低通系統(tǒng)函數(shù)（即Q(p)的通帶邊界頻率為1）。為了敘述方便，定義p=+j為Q(p)的歸一化復變量，其通帶邊界頻率記為p，稱為歸一化頻率。用Hd(s)表示希望設計的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，s=+j表示Hd(s)的復變量。例如，一階巴特沃斯低通原型系統(tǒng)函數(shù)為顯然, 其3 dB截止頻率p=1, 是關于3 dB截止頻率歸一化的。 模擬濾波器設計手冊中給出了各種模擬濾波器歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)的參數(shù)（零、極點位置，分子、分母多項式系數(shù)等）。 （6.

59、2.48） （6.2.49） 1 模擬高通濾波器設計從低通到高通濾波器的映射關系為（6.2.50）下面簡單介紹各種頻率變換公式。從p域到s域映射的可逆變換記為p=F(s)。低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)與Hd(s)之間的轉換關系為在虛軸(頻率軸)上該映射關系簡化為如下頻率變換公式: 式中，ph為希望設計的高通濾波器HHP(s)的通帶邊界頻率。頻率變換公式（6.2.51）意味著將低通濾波器的通帶0, p映射為高通濾波器的通帶, ph，而將低通濾波器的通帶p, 0映射為高通濾波器的通帶ph, 。（6.2.51）同樣，將低通濾波器的阻帶s, 映射為高通濾波器的阻帶sh, 0，而將低通濾波器的阻帶, s映射為高

60、通濾波器的阻帶0, sh。映射關系式（6. 2.50）確保低通濾波器Q(p)通帶p, p上的幅度值出現(xiàn)在高通濾波器HHP(s)的通帶ph|上。同樣，低通濾波器Q(p)阻帶s|上的幅度值出現(xiàn)在高通濾波器HHP(s)的阻帶s, s上。所以只要將（6.2.50）式代入（6.1.48）式，就可將通帶邊界頻率為p的低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Q(p)轉換成通帶邊界頻率為ph的高通濾波器系統(tǒng)函數(shù): （6.2.52）【例6.2.5】 設計巴特沃思模擬高通濾波器，要求通帶邊界頻率為4 kHz，阻帶邊界頻率為1 kHz，通帶最大衰減為0.1 dB，阻帶最小衰減為40 dB。解 (1） 通過映射關系式（6.2.51），將