信號(hào)與系統(tǒng)講義教案第5章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

1、第5章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 5.0 引言 通過前兩章的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)看到，在信號(hào)與系統(tǒng)的研究中，傅里葉變換是一個(gè)強(qiáng)有力的分析工具，很大程度上是因?yàn)橄喈?dāng)廣泛的信號(hào)都可以表示成復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合，而復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切 LTI 系統(tǒng)的特征函數(shù)。傅里葉變換的理論基礎(chǔ)是將信號(hào)分解為正弦指數(shù)信號(hào)，即和,基于這一原理，也可以將一個(gè)信號(hào)分解為復(fù)指數(shù)信號(hào)和，從而得到拉普拉斯變換和Z變換。將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下一章要討論的中心問題。通過本章及下一章，會(huì)看到拉氏變換和Z變換不僅具有很多與傅里葉變換相同的重要性質(zhì)，不僅能適用于用傅里葉變換的方法可以解決的信號(hào)與系統(tǒng)分析問題，而且還能解決傅

2、里葉分析方法不適用的許多方面,這主要表現(xiàn)在系統(tǒng)函數(shù)及其零極點(diǎn)的應(yīng)用方面。本章將介紹拉氏變換的基本內(nèi)容，從下面的分析可以看出，拉氏變換分析方法是傅里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它的特例。5.1 雙邊拉普拉斯變換5.1.1 雙邊拉普拉斯變換的定義復(fù)指數(shù)信號(hào)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。如果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)，則系統(tǒng)對(duì)產(chǎn)生的響應(yīng)是： 其中 當(dāng)時(shí)，就是傅里葉變換。下面給出拉普拉斯變換的定義： (5.1)稱為的雙邊拉氏變換 ，其中。若，則就是的傅里葉變換。表明：連續(xù)時(shí)間傅里葉變換是拉氏變換在或是在軸上的特例。由于 (5.2)所以拉氏變換是對(duì)傅里葉變換的推廣，的拉氏變換就是的傅里葉變換。只要

3、有合適的存在，就可以使某些本來不滿足狄里赫利條件的信號(hào)在引入后滿足該條件。即有些信號(hào)的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這說明拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。5.1.2 雙邊拉普拉斯變換的收斂域 我們首先來看幾個(gè)常用信號(hào)的例子。例5.1分析右邊信號(hào)的拉普拉斯變換。 由拉普拉斯變換的定義 ，有 (5.3)當(dāng)時(shí)上式收斂，當(dāng)時(shí)，的傅里葉變換存在： (5.4)顯然，在時(shí)，使拉氏變換收斂的區(qū)域（如圖所示），包括了即（軸）。比較和，顯然有： (5.5) 當(dāng)時(shí)， 可知：， (5.6) 圖5.1收斂域（例5.1） 圖5.2收斂域（例5.2）例5.2 分析右邊信號(hào)的拉普拉斯變換。由拉普拉斯變換的定義 ，有

4、 ， (5.7)將例5.1與例5.2進(jìn)行比較，其拉氏變換的表達(dá)式完全相同，但收斂域不同，所以對(duì)應(yīng)的原始信號(hào)也不同?？梢钥闯霎?dāng)拉氏變換表達(dá)式完全相同時(shí)并不能唯一地確定原始信號(hào)，必須結(jié)合收斂域才能唯一確定一個(gè)原始信號(hào)。由以上例子，總結(jié)如下：1、拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。并非任何信號(hào)的拉氏變換都存在，也不是 S 平面上的任何復(fù)數(shù)都能使拉氏變換收斂。2、使拉氏變換積分收斂的那些復(fù)數(shù) S 的集合，稱為拉氏變換的收斂域 ROC（Region of Convergence），常用S平面的陰影部分表示。拉氏變換的 ROC 是非常重要的概念。3、不同的信號(hào)可能會(huì)有完全相同的拉氏變換表達(dá)式，只是它們的

5、收斂域不同。4、只有拉氏變換表達(dá)式連同相應(yīng)的收斂域，才能和信號(hào)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。5、如果拉氏變換的ROC包含軸，則有 。 (5.8)5.1.3拉氏變換的幾何表示：零極點(diǎn)圖 若是有理函數(shù)： (5.9)我們把分子多項(xiàng)式的根稱為零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的根稱為極點(diǎn)。將的全部零點(diǎn)（用“”標(biāo)示）和極點(diǎn)（用“” 標(biāo)示）表示在 S 平面上，就構(gòu)成了零極點(diǎn)圖。零極點(diǎn)圖及其收斂域可以表示一個(gè)，最多與真實(shí)的相差一個(gè)因子M。因此，用在S平面的零點(diǎn)和極點(diǎn)來表示，它結(jié)合收斂域給出了拉氏變換的完整描述。例5.3分析 的拉氏變換及收斂域。 其拉氏變換為圖5.3 對(duì)應(yīng)的收斂域 圖5.4對(duì)應(yīng)的收斂域可見:拉氏變換的收斂域是各個(gè)收斂域

6、的公共部分。求信號(hào)的拉氏變換及收斂域。 解： 零點(diǎn)： 極點(diǎn)： 圖5.5 例5.4的收斂域5.1.4收斂域的特征通過上面的分析可以歸納出ROC的以下性質(zhì)：1、ROC是 S 平面上平行于軸的帶狀區(qū)域。2、在ROC內(nèi)無任何極點(diǎn)。3、時(shí)限信號(hào)的ROC是整個(gè) S 平面。4、右邊信號(hào)的ROC是 S 平面內(nèi)某一條平行于軸的直線的右邊。5、左邊信號(hào)的ROC是S平面內(nèi)的一條平行于 軸的直線的左邊。6、雙邊信號(hào)的ROC如果存在，一定是S平面內(nèi)平行于軸的帶形區(qū)域。例5.5 分析的拉氏變換。 解： 有極點(diǎn)?？疾榱泓c(diǎn)，令，得：顯然在也有一階零點(diǎn)，零極點(diǎn)相抵消，致使整個(gè) S 平面上無極點(diǎn)。所以收斂域?yàn)檎麄€(gè)S平面。 例5.

7、6 分析雙邊信號(hào)的拉氏變換及收斂域。 解： 當(dāng)時(shí)，上述ROC有公共部分：，。收斂域如圖所示。當(dāng)時(shí)，上述ROC無公共部分，表明不存在。圖5.6例5.6收斂域當(dāng)是有理函數(shù)時(shí)，其ROC總是由的極點(diǎn)分割的。 ROC必然滿足下列規(guī)律：1、右邊信號(hào)的ROC一定是最右邊極點(diǎn)的右邊。2、左邊信號(hào)的ROC一定是最左邊極點(diǎn)的左邊。3、雙邊信號(hào)的ROC可以是任意兩相鄰極點(diǎn)之間的帶狀區(qū)域。下面通過一個(gè)例題來看一下收斂域的分布情況。例5.7 分析對(duì)應(yīng)信號(hào)的特征?？梢孕纬扇NROC:(1)ROC：，此時(shí)是右邊信號(hào)。 (2)ROC：，此時(shí)是左邊信號(hào)(3)ROC：，此時(shí)是雙邊信號(hào)。5.2雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)拉氏變換與傅氏變

8、換一樣具有很多重要的性質(zhì)。這里只著重于ROC的討論。1、線性：若 ，；，則，ROC至少是：。 (5.10)當(dāng)與無交集時(shí)，表明不存在。例5.8 ， ，；， 而 ,ROC為整個(gè)S平面 2、時(shí)移性質(zhì)若 ， 則 ，ROC不變。 (5.11)3、S域平移若 ， 則 ，。 (5.12)表明：的ROC是將的ROC平移了一個(gè)。例5.9 已知,，則 ,顯然： 圖5.7 和對(duì)應(yīng)的收斂域4、時(shí)域尺度變換若 ， 則 (5.13)當(dāng)時(shí)，收斂； 當(dāng)，收斂，所以。例5.10 已知 ， (5.14)則 的拉普拉斯變換為 (5.15)即，若信號(hào)在時(shí)域尺度變換，拉氏變換的ROC在S平面上作相反的尺度變換。特例： ，。 (5.16

9、)5、共軛對(duì)稱若 ，則 ， (5.17)當(dāng)為實(shí)信號(hào)時(shí)，；如果是實(shí)信號(hào)且在有極點(diǎn)(或零點(diǎn))，則一定在也有極點(diǎn)（或零點(diǎn)）。表明實(shí)信號(hào)的拉氏變換其復(fù)數(shù)零極點(diǎn)必共軛成對(duì)出現(xiàn)。6、卷積性質(zhì)若 ，；，則 ，包括 (5.18)例5.11 ；則收斂域的交集為 故 ，ROC擴(kuò)大 。 7、時(shí)域微分若 ，則 ,ROC包括R，有可能擴(kuò)大。(5.19)8、S域微分若 ，則 ，(5.20)例5.12 已知，求。解：因?yàn)?，所以?？勺C明： 。 (5.21)9、時(shí)域積分若 ， 則 ，包括。 (5.22)10、復(fù)頻域積分若 ， 則 。 (5.23)11、初值與終值定理 （1）如果是因果信號(hào)，且在不包含奇異函數(shù)，則初值定理(5.2

10、4)（2）如果是因果信號(hào)，且在不包含奇異函數(shù)，除了在可以有單階極點(diǎn)外，其余極點(diǎn)均在S平面的左半邊，則終值定理(5.25)下圖是極點(diǎn)在S平面的分布與終值的關(guān)系:圖5.8極點(diǎn)在S平面的分布與終值的關(guān)系5.3 常用雙邊拉普拉斯變換對(duì)表5. 1 常用雙邊拉普拉斯變換對(duì)信號(hào)變換ROC信號(hào)變換ROC1全部S全部S全部S5.4 雙邊拉普拉斯變換反變換一、拉氏變換反變換的定義由，若在ROC內(nèi)，則：所以： 從而：由，得當(dāng)從時(shí),s從，所以： (5.26)拉氏反變換表明：可以被分解成復(fù)振幅為的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合。二、拉氏反變換的求法對(duì)有理函數(shù)形式的求反變換一般有兩種方法，即部分分式展開法和留數(shù)法。我們這里只介紹最

11、常用的部分分式法。具體如下：1、將展開為部分分式；2、根據(jù)的ROC，確定每一項(xiàng)的ROC；3、利用常用信號(hào)的變換對(duì)與拉氏變換的性質(zhì)對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行反變換。例5.13 已知 ，求其反變換。解： 所以： 5.5 連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析5.5.1 系統(tǒng)函數(shù)以卷積特性為基礎(chǔ)，可以建立LTI系統(tǒng)的拉氏變換分析方法，即 (5.27)其中是的拉氏變換，稱為系統(tǒng)函數(shù)或轉(zhuǎn)移函數(shù)。如果的ROC包括軸，則和的ROC必定包括軸，以代入，即有 (5.28)這就是LTI系統(tǒng)的傅里葉分析。即是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。這些方法之所以成立的本質(zhì)原因在于復(fù)指數(shù)函數(shù)是一LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。當(dāng)以為基底分解信號(hào)時(shí)，LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的響

12、應(yīng)就是，而以為基底分解信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)就是。連同相應(yīng)的ROC也能完全描述一個(gè)LTI系統(tǒng)。系統(tǒng)的許多重要特性在及其ROC中一定有具體的體現(xiàn)。5.5.2 系統(tǒng)函數(shù)與線性常系數(shù)微分方程相當(dāng)廣泛的可實(shí)現(xiàn)的連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，都可以用零初始條件的線性常系數(shù)微分方程來表示，其一般形式為對(duì)其等式兩邊同時(shí)進(jìn)行拉氏變換，可得 (5.29)是一個(gè)有理函數(shù)。的ROC需要由系統(tǒng)的相關(guān)特性來確定。5.5.3系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性在系統(tǒng)分析中，系統(tǒng)函數(shù)起著相當(dāng)重要的作用，借助于系統(tǒng)函數(shù)來表征LTI系統(tǒng)，可以簡(jiǎn)明直觀地確定系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。1、因果性 如果時(shí)，則系統(tǒng)是因果的；如果時(shí)，則系統(tǒng)是反因果的。因此，因果系統(tǒng)的

13、是右邊信號(hào)，其的ROC必是最右邊極點(diǎn)的右邊。反因果系統(tǒng)的是左邊信號(hào)，的ROC必是最左邊極點(diǎn)的左邊。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，由ROC的特征，反過來并不能判定系統(tǒng)是否因果。 ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊并不一定系統(tǒng)因果。只有當(dāng)是有理函數(shù)時(shí)，逆命題才成立。2、穩(wěn)定性如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則必有 因此必存在。意味著的ROC必然包括軸。綜合以上兩點(diǎn)，可以得到：因果穩(wěn)定系統(tǒng)的，其全部極點(diǎn)必須位于S平面的左半邊。例5.14 某系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng),已知該系統(tǒng)是因果的。, 顯然ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊。因?yàn)镽OC包括軸，系統(tǒng)也是穩(wěn)定的, 的全部極點(diǎn)都在S平面的左半邊。例5.15 有某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為的ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊，但是非

14、有理函數(shù),，系統(tǒng)是非因果的。由于ROC包括軸，該系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。對(duì) 仍是非有理函數(shù)，ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊，但，系統(tǒng)顯然是因果的。結(jié)論：1、如果一個(gè)LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且全部極點(diǎn)位于S平面的左半邊，則該系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。2、如果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且系統(tǒng)因果，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊。若系統(tǒng)反因果，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC是最左邊極點(diǎn)的左邊。3、如果LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC必然包括軸。例5.16 求由下列微分方程描述的因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及收斂域 解：由方程可得因系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，故 5.5.4 系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)圖與頻率響應(yīng)的幾何求值可以用零極點(diǎn)圖表征

15、的特征。當(dāng)ROC包括軸時(shí),以代入即可得到。以此為基礎(chǔ)可以用幾何求值的方法從零極點(diǎn)圖求得的特性。這在定性分析系統(tǒng)頻率特性時(shí)有很大用處。單零點(diǎn)情況： 零點(diǎn)要求出時(shí)的，可以作兩個(gè)矢量，如圖所示，則。矢量稱為零點(diǎn)矢量，它的長(zhǎng)度表示，其幅角即為。 圖5.9 單零點(diǎn)情況 圖5.10單極點(diǎn)情況2、單極點(diǎn)情況： 極點(diǎn) 同理，如圖所示，直接由極點(diǎn)向點(diǎn)作矢量（稱為極點(diǎn)矢量），其長(zhǎng)度的倒量為，幅角的負(fù)值即為。3、一般情況：對(duì)有理函數(shù)形式的： (5.30)因此 (5.31) (5.32) (5.33)即：從所有零點(diǎn)向點(diǎn)作零點(diǎn)矢量，從所有極點(diǎn)向點(diǎn)作極點(diǎn)矢量。所有零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度之積除以所有極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度之積即為。所有零點(diǎn)矢量

16、幅角之和減去所有極點(diǎn)矢量幅角之和即為。當(dāng)取為軸上的點(diǎn)時(shí)，即為傅里葉變換的幾何求值。考查在軸上移動(dòng)時(shí)所有零、極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度和幅角的變化，即可得出。例5.17 一階系統(tǒng)： 。，隨著,單調(diào)下降，時(shí)，下降到最大值的，最大值在 時(shí)取得。相位特性，當(dāng)時(shí)，隨著，逐步趨向。該系統(tǒng)表現(xiàn)為低通特性。例5.18 一階全通系統(tǒng)：考查零極點(diǎn)對(duì)稱分布的系統(tǒng) ，零點(diǎn)矢量和極點(diǎn)矢量如圖所示。 （1）、該系統(tǒng)的在任何時(shí)候都等于1，所以稱為全通系統(tǒng)。 （2）、其相位特性： 圖5.11零極點(diǎn)對(duì)稱分布的系統(tǒng)5.6 系統(tǒng)的方框圖表示5.6.1 系統(tǒng)的互聯(lián)一、系統(tǒng)互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)級(jí)聯(lián)：，ROC：包括。 (5.34)并聯(lián)：，ROC：包括。

17、(5.35) 3、反饋聯(lián)結(jié)： (5.36) (5.37)，ROC：包括。 (5.38)(a)級(jí)聯(lián) (b)并聯(lián) (c)反饋聯(lián)結(jié)圖5.12 系統(tǒng)互聯(lián)5.6.2 由微分方程和有理系統(tǒng)函數(shù)描述的因果LTI系統(tǒng)的方框圖表示LTI系統(tǒng)可以由一個(gè)線性常系數(shù)微分方程來描述： (5.39)對(duì)其進(jìn)行拉氏變換有： (5.40)整理可得 (5.41)它是一個(gè)有理函數(shù): (5.42)1、級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)：將的分子和分母多項(xiàng)式因式分解： (5.43) 一個(gè)N階的LTI系統(tǒng)可以分解為若干個(gè)二階系統(tǒng)和一階系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。在N為偶數(shù)時(shí)，可以全部組合成二階系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)形式。 (5.44) 其中 (5.45)如果N為奇數(shù)，則有一個(gè)一階系統(tǒng)出現(xiàn)。

18、 圖5.13 級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)2、并聯(lián)結(jié)構(gòu)：將的分子和分母多項(xiàng)式因式分解，展開為部分分式 (假定的分子階數(shù)不高于分母階數(shù)，所有極點(diǎn)都是單階的)，則有 (5.46)將共軛成對(duì)的復(fù)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的兩項(xiàng)合并： (5.47)N為偶數(shù)時(shí)又可將任兩個(gè)一階項(xiàng)合并為二階項(xiàng)，由此可得出系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu):圖5.14 并聯(lián)結(jié)構(gòu)例5.19 試寫出圖5.15所示系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。圖 5.15例5.19圖解：本例系統(tǒng)由兩個(gè)積分器、兩個(gè)相加器和若干倍乘器組成。為求得系統(tǒng)函數(shù)，可設(shè)一中間變量 ，并寫出與激勵(lì)信號(hào)之間的變換式關(guān)系:于是由圖5.15可知將代入此式中，可求得系統(tǒng)函數(shù)為： （5.48） 式（5.48）是一個(gè)二階系統(tǒng)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，它

19、有兩個(gè)極點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)，只需用兩個(gè)積分器就可實(shí)現(xiàn)。而且，在圖5.15中，極點(diǎn)是以反饋環(huán)路的方式出現(xiàn)，有幾個(gè)極點(diǎn)，就有幾個(gè)反饋環(huán)路。將式（5.48）和圖5.15進(jìn)行比較可以看到，系統(tǒng)函數(shù)中的各項(xiàng)系數(shù)都是很有規(guī)律地直接出現(xiàn)在圖中，具體而言，分子中的系數(shù)按 s 的階次依次出現(xiàn)在前向通路中，而分母中的系數(shù)則依次出現(xiàn)在反饋環(huán)路中，因此，圖5.15這種系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)分式稱為直接實(shí)現(xiàn)形式。這種直接形式的方便之處在于，根據(jù)式（5.48）這種標(biāo)準(zhǔn)形式的結(jié)構(gòu)，可以直接從系統(tǒng)函數(shù)畫出系統(tǒng)框圖，或者直接從系統(tǒng)框圖寫出系統(tǒng)函數(shù)。從原理上講，雖然系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)可以用微分器，也可以用積分器，然而，由于積分器的抗干擾能力優(yōu)于微分器，可

20、實(shí)現(xiàn)的精度也高于微分器，因此，實(shí)際系統(tǒng)往往采用積分器來實(shí)現(xiàn)。一般而言，對(duì)于一個(gè)高階系統(tǒng)，往往將其化成低階系統(tǒng)(如一階系統(tǒng)或二階系統(tǒng))后再通過級(jí)聯(lián)或并聯(lián)的方式來實(shí)現(xiàn)，這樣做的好處是可以降低對(duì)系數(shù)精度的要求。5.7 單邊拉普拉斯變換單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。就是因果信號(hào)的雙邊拉氏變換。單邊拉氏變換對(duì)分析由線性常系數(shù)微分方程描述的增量線性系統(tǒng)具有重要的意義。5.7.1單邊拉普拉斯變換舉例 我們先給出單邊拉普拉斯變換的定義： (5.49)如果是因果信號(hào)，對(duì)其作雙邊拉氏變換和作單邊拉氏變換是完全相同的。 單邊拉氏變換也同樣存在ROC 。其ROC必然遵從因果信號(hào)雙邊拉氏變換時(shí)的要求，即：一定位于最

21、右邊極點(diǎn)的右邊。單邊拉氏變換的反變換一定與雙邊拉氏變換的反變換相同。正因?yàn)檫@一原因，在討論單邊拉氏變換時(shí)，一般不再?gòu)?qiáng)調(diào)其ROC。 例5.20 分析的雙邊和單邊拉氏變換。圖5.16 作雙邊拉氏變換： ， (5.50) 作單邊拉氏變換有： ，(5.51)與不同，是因?yàn)樵诘牟糠謱?duì)有作用，而對(duì)沒有任何作用所致。例5.18 已知，由于其ROC：,求其反變換。解 5.7.2 單邊拉普拉斯變換性質(zhì)單邊拉氏變換具有與雙邊拉氏變換相同的大部分性質(zhì)，也有幾個(gè)不同的性質(zhì)。1、時(shí)域微分若 則 (5.52) (5.53)2、時(shí)域積分 (5.54)3、時(shí)延性質(zhì)當(dāng)是因果信號(hào)時(shí)，單邊拉氏變換的時(shí)延特性與雙邊變換時(shí)一致。即：若 ，則 ， (5.55)當(dāng)不是因果信號(hào)時(shí)， (5.56)5.7.3 利用單邊拉普拉斯變換分析增量線性